上海高中數學2020必修第三冊第11章空間直線與平面（預修課程）專題13球知識點1.球的定義名稱定義圖形表示相關概念球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球如圖可記作：球O球心：半圓的圓心半徑：連接球心和球面上任意一點的線段直徑：連接球面上兩點并經過球心的線段；知識點2球的對稱性球具有豐富的對稱性，所有經過球心的直線都可以作為球的旋轉軸，每條旋轉軸與球面交點之間的線段都是球的直徑；知識點3平面截球球的截面均是圓面，球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．知識點4.地球的經緯度用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圓（如圖）的圓周稱為緯線，按照南北方向分為南緯和北緯；過球心的大圓的半圓周（如圖）稱為經線；按照約定，通過英國倫敦格林尼治天文臺原址的那條經線稱為０度經線；知識點5.球的體積公式球的體積：設球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.知識點6.球的表面積球的表面積：設球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；知識點7球的性質圓的主要性質球的主要性質1平面內與定點距離等于定長的點集（軌跡）空間與定點距離等于定長的點集（軌跡）是球面2同圓（或等圓）的半徑相等，直徑是半徑的2倍同球（或等球）的半徑相等，直徑是半徑的2倍3與弦垂直的直徑過弦的中點，圓半徑2＝圓心到弦距離2＋弦長的一半2與截面積垂直的直徑過截面圓的圓心，球半徑2＝球心到截面圓距離2＋截面圓的半徑24不過圓心的弦小于直徑；經過圓心的弦是直徑，是最大的弦不過球心的截得的是球的小圓，其半徑和面積都小于球的大圓的半徑和面積；經過球心的截面截得的是球的大圓，是最大的截面圓5過切點的圓半徑垂直于圓的切線過切點的球半徑垂直于球的切面6圓周長＝2π×圓半徑大圓周長＝2π×球半徑題型1：球的結構特征辨析【例1】下列命題中，真命題的是．（選填序號）①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；②球的任意兩個大圓的交點的連線是球的直徑；③用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓；④以半圓的直徑所在直線為軸旋轉形成的曲面叫做球；⑤空間中到定點的距離等于定長的所有的點構成的曲面是球面．【跟蹤訓練】1．有下列說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點間的連線段；③用一個平面截一個球，得到的是一個圓；④不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.則正確命題的序號是.題型2：球的截面性質及計算【方法點撥】球的截面的性質：球的截面是圓面；球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；設球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離就是球心到截面圓心O1的距離，則有OO1＝eq\r(R2－r2)；【例2】已知球的半徑為10cm，若它的一個截面圓的面積為36πcm2，則球心與截面圓圓心的距離是cm.【跟蹤訓練】2．（2023上?！の挥袑W高二期中）已知球的半徑為25,有兩個平行平面截球所得的截面面積分別是49和400,則這兩個平行平面間的距離為___________題型3：球面距離【方法點撥】球面上兩點間的距離是指過這兩點的球的大圓上兩點間的劣弧長，求球面距離的步驟是先求兩點間的直線距離，在大圓中求球心角，再求球面距離；【例4】已知地球半徑為，處于同一經度上的甲乙兩地，甲地緯度為北緯75°，乙地緯度為北緯15°，則甲乙兩地的球面距離是【跟蹤訓練】1．地球半徑為R，則南緯30°的緯線圈長為________________________題型4：球的體積【例5】已知兩球體積之比為27：1，它們的半徑之比為【例6】已知圓臺上?下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比為.【跟蹤訓練】1．（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為，則球的體積為．2．個平面截一個球得到面積為的圓面，球心到這個圓面的距離等于球半徑的一半，則該球的體積等于.題型5：球的表面積【例7】已知球的體積為，則該球的表面積為.【例8】在邊長為1的正方形中裁去一個如圖所示的扇形，再將剩余的陰影部分繞AB旋轉一周，則所得幾何體的表面積為．【跟蹤訓練】1．若球的體積是，則球的表面積是.2．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）兩個球的體積之比為8：27，那么這兩個球的表面積的比為．3．已知半球的半徑為2，如圖，截面圓平行于半球的底面的，以該截面圓為底面挖去一個圓柱，則剩下的幾何體的表面積的最大值為.

題型6：球的切、接問題【例9】已知正方體的棱長為1，則該正方體外接球的體積與其內切球表面積之比為（）【例10】已知長方體的棱長分別為3，4，5，長方體的各個頂點都在一個球面上，則該球的表面積等于_______________．【例11】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的表面積為（）【跟蹤訓練】A． B． C． D．2．如圖，半徑為的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的體積與該圓柱的體積之比是（）3．（2021·上海·高二專題練習）古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，若球的表面積等于圓柱的側面積，則球的體積與圓柱的體積之比為_________.題型7：球的綜合【例12】（2022秋·上海靜安·高二上海市回民中學?？计谥校┤鐖D，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘的表面積；(2)若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結果精確到mm）.【跟蹤訓練】1．在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈．(1)請在圖中畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結構特征；(2)求所得幾何體的表面積和體積．2．（2023秋·高二課時練習）如圖，圓柱內接于球O，已知球O的半徑R＝2，設圓柱的底面半徑為r．(1)以r為變量，表示圓柱的表面積和體積；(2)當r為何值時，該球內接圓柱的側面積最大，最大值是多少？一、填空題1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是________cm.3．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谀┕畔ＥD數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發(fā)現，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球．該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是，現在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為．4．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習）一個與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為，則球的體積為．8．（2023秋·高二課時練習）已知正三棱柱的所有頂點都在同一個半徑為的球面上，則該三棱柱側面積的最大值為.二、選擇題13．（2022秋·上海徐匯·高二位育中學?？计谀┤绻麅蓚€球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：914．（2023春·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知球的半徑為5，球心到平面的距離為3，則平面截球所得的小圓的半徑長是（

）

A．2 B．3 C． D．415．（2020?新課標Ⅰ）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A．64π B．48π C．36π D．32πA．1 B． C． D．2三、解答題17．（1）已知球的直徑為2，求它的表面積和體積；（2）已知球的體積為eq\f(108π,3)，求它的表面積；18．（2022秋·上海靜安·高二上海市市西中學?？计谀┤鐖D，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知半球的直徑是6cm，圓柱筒長2cm．(1)這種“浮球