人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）離散型隨機(jī)變量的均值第七章隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量

X

………

Ω

………作用：隨機(jī)變量將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化.特點(diǎn)：(1)取值依賴于樣本點(diǎn)；

(2)所有可能取值是明確的．復(fù)習(xí)回顧離散型隨機(jī)變量的分布列：

……

1－

兩點(diǎn)分布或0－1分布：復(fù)習(xí)回顧學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過(guò)實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)．2、會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．3、會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．思考：你還記得什么是一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值及其意義嗎？引入：離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫(huà)了這個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律.但在解決有些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，直接使用分布列并不方便。例如，要比較不同要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分班級(jí)某次考試成績(jī)，通常會(huì)比較平均成績(jī)；要比較兩名射箭運(yùn)動(dòng)員的射擊水平，一般會(huì)比較他們射箭的成績(jī)(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征.

平均分用于體現(xiàn)數(shù)據(jù)的總體水平閱讀課本P62-P65，5分鐘后完成下列問(wèn)題：1.什么是數(shù)學(xué)期望？數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的什么特征？2.兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)是什么？

F1：按照糖果的最高價(jià)格定價(jià)F2：按照這三種糖果的平均價(jià)格定價(jià)F3：按照這三種糖果的加權(quán)平均價(jià)格定價(jià)權(quán)數(shù)是起權(quán)衡輕重作用的數(shù)值；加權(quán)平均是指在計(jì)算若干個(gè)數(shù)量的平均數(shù)時(shí)，考慮到每個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù)．定價(jià)為：36元/千克

思考：什么是權(quán)數(shù)？什么是加權(quán)平均數(shù)？問(wèn)題1

甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示?環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2對(duì)于兩組數(shù)據(jù)的比較：首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性（即方差）.思考1：如何比較他們射箭水平的高低呢？思考2：不知道具體環(huán)數(shù)，如何由分布列計(jì)算射中的平均環(huán)數(shù)呢？

問(wèn)題1

甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示?環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2思考2：不知道具體環(huán)數(shù)，如何由分布列計(jì)算射中的平均環(huán)數(shù)呢？

當(dāng)n足夠大時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率

從加權(quán)平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.1.離散型隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列如表所示，

1.離散型隨機(jī)變量的均值兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望：

01

思考：離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有何區(qū)別與聯(lián)系？(1)區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，

而樣本平均值是一個(gè)隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化.(2)聯(lián)系：對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值

越來(lái)越接近于總體的均值.例2

已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的均值E(X)等于（

）故選C.C例3

袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中記為0號(hào)的有4個(gè)，記為n號(hào)的有n個(gè)

(n＝1,2,3).現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號(hào)，求E(X)？解：由題意，可知X的所有可能取值為0,1,2,3.

X0123P0.40.10.20.3求均值E(X)41確定X取值2求P(X＝k)概率3寫(xiě)分布列求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟：

41

2

3

例4

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即X的均值)?解:(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，故X的分布列為:X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬(wàn)元).求均值E(X)41確定X取值2求P(X＝k)概率3寫(xiě)分布列探究2

已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及數(shù)學(xué)期望？X12345P0.10.30.40.10.1解：因?yàn)閅=3X+2，所以Y的取值為：5，8，11，14，17，分布列如下：X58111417P0.10.30.40.10.1

E(X)=2.8思考：Y=3X+2，那E(X)與E(3X＋2)有何關(guān)系呢？E(3X＋2)=3E(X)+2

Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):

特別地：(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b(2)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X)例1設(shè)ξ的分布列為又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于()D例2(多選)已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則()

A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1D.E(bX＋a)＝2.62X4a9P0.50.1b解：由題意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，

解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，

故ABC正確.ABC例4.根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3：不采取措施.

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？解：用X，Y，Z分別表示3個(gè)方案的損失.從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2.練5若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量ξ的分布列如下表，則E(ξ)的最大值為（

）

B練6

某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：已知E(X)＝8.9，則y的值為

____.0.4X78910Px0.10.3y練7

離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，則a＝____，b＝___.0.1X1234Pa＋b2a＋b3a＋b4a＋b0解：E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，

即30a＋10b＝3.又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1；

解得：a=0.1，b=0.

(1)課本P70的練習(xí)1——3題；(2)課本P71的習(xí)題7.3的第1、5、7、8題.作業(yè)布置

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（2）離散型隨機(jī)變量的方差第七章隨機(jī)變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)123理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布的方差的求法．能計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．各個(gè)數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的偏差平方的平均值思考：你能否類比上式歸納得到隨機(jī)變量X的方差？各個(gè)數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的偏差平方的加權(quán)平均值若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：隨機(jī)變量X的方差為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為：意義：方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；

方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.1.離散型隨機(jī)變量的方差①若Y=aX+b，則D(Y)=a2D(X)，與b無(wú)關(guān).②若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)=p(1－p).例5.拋擲質(zhì)地均勻的一枚骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.

k=1，2，3，4，5，6.例6.投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如表所示.(1)投資哪種股票的期望收益大？

(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)高？解：(1)股票A的期望收益為E(X)=(?1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，股票B的期望收益為E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.∵E(X)>E(Y)，∴投資股票A的期望收益較大.(2)股票A的收益的方差為D(X)=(?1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29，股票B的收益的方差為D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.∵E(X)和E(Y)相差不大，但D(X)>D(Y)，∴投資A股票比投資B股票的風(fēng)險(xiǎn)高.隨機(jī)變量的方差是刻畫(huà)了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，或者說(shuō)反映隨機(jī)變量的離散程度.在不同的實(shí)際問(wèn)題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果隨機(jī)變量是某項(xiàng)技能的測(cè)試成績(jī)，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低.P71-8.甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y(單位:s)，其分布列如下，試比較甲、乙兩種品牌手表的性能.P91-5.已知隨機(jī)變量X取可能的值1,2,…,n是等可能的，且E(X)=10，求n的值.P91-8.某商場(chǎng)要在國(guó)慶節(jié)開(kāi)展促銷活動(dòng)，促銷活動(dòng)可以在商場(chǎng)內(nèi)舉行，也可以在商場(chǎng)外舉行.統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國(guó)慶節(jié)商場(chǎng)內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲得利潤(rùn)2萬(wàn)元；商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)，如果不遇到有雨天氣可獲得利潤(rùn)8萬(wàn)元，如果遇到有雨天氣則會(huì)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失3萬(wàn)元.9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國(guó)慶節(jié)當(dāng)?shù)氐慕邓怕适?0%,商場(chǎng)應(yīng)該選擇哪種促銷方式?11.某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者.假設(shè)攜帶病毒的人占5%，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.

統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn).如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.(1)按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎?(參考數(shù)據(jù)：0.955≈0.7738,0.956≈0.735)11.某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者.假設(shè)攜帶病毒的人占5%,如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn).如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.(1)按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎?(2)如果攜帶病毒的人只占2%，按照k個(gè)人一組，k取多大時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少?(2023江蘇模擬)某小區(qū)有2000名居民，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者.假設(shè)攜帶病毒的人占a%，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)2000次.為減輕工作量，隨機(jī)按n人一組分組，然后將各組n個(gè)人的血樣混合在一起化驗(yàn).若混合血樣呈陰性，說(shuō)明這n個(gè)人全部陰性；若混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.(1)若a=0.2，n=20，試