第1課時(shí)合情推理[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P22～P29的內(nèi)容，回答下列問題．(1)哥德巴赫提出猜想的推理過程是什么？提示：通過對(duì)一些偶數(shù)的驗(yàn)證，他發(fā)現(xiàn)它們總可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，而且沒出現(xiàn)反例．于是提出猜想——“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”．(2)觀察教材P24～P25的幾個(gè)實(shí)例，這幾個(gè)推理是歸納推理嗎？它們有什么共同特點(diǎn)？提示：這幾個(gè)推理不是歸納推理．它們的共同特點(diǎn)是兩類事物間的推理．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)歸納推理①歸納推理的定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．②歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．(2)類比推理①類比推理的定義由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理．②類比推理的特征類比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理①含義：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．②合情推理的過程：eq\x(從具體問題出發(fā))eq\x(\a\al(觀察、分析,比較、聯(lián)想))eq\x(歸納、類比)eq\x(\a\al(提出,猜想))[問題思考](1)歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠．(2)eq\f(2,3)<eq\f(2＋1,3＋1)，eq\f(2,3)<eq\f(2＋2,3＋2)，eq\f(2,3)<eq\f(2＋3,3＋3)，…由此猜想：eq\f(2,3)<eq\f(2＋m,3＋m)(m為正實(shí)數(shù))．上述推理是歸納推理還是類比推理？提示：歸納推理．(3)由平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，猜想：空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行．此推理是歸納推理還是類比推理？提示：類比推理．[課前反思](1)歸納推理的定義和特征各是什么？(2)類比推理的定義和特征各是什么？(3)歸納推理和類比推理有什么不同？角度一：數(shù)(式)中的歸納推理講一講1．(1)觀察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．(2)(鏈接教材P23－例2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,n＋12)(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測(cè)出f(n)的表達(dá)式．[嘗試解答](1)左邊各項(xiàng)冪的底數(shù)→右邊各項(xiàng)冪的底數(shù)1→1，1,2→3，1,2,3→6，1,2,3,4→10，由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系：1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，可得一般性結(jié)論：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.(2)∵an＝eq\f(1,n＋12)，∴a1＝eq\f(1,4)，a2＝eq\f(1,9)，a3＝eq\f(1,16).∴f(1)＝1－a1＝eq\f(3,4)，f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(4,6)，f(3)＝eq\f(3,4)×eq\f(8,9)×eq\f(15,16)＝eq\f(5,8).∴推測(cè)f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋2).[答案](1)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2(1)根據(jù)給出的幾個(gè)具體等式歸納其一般結(jié)論時(shí)，要注意從等式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、分式的分子與分母各自的特點(diǎn)及變化規(guī)律入手進(jìn)行歸納，要注意等式中項(xiàng)數(shù)、次數(shù)等與等式序號(hào)n的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后用含有字母的等式表示一般性結(jié)論．(2)數(shù)列中的歸納推理的方法：①通過所給的條件求得數(shù)列中的前幾項(xiàng)；②觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明．練一練1．觀察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為___________________．解析：觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)角度二：圖形中的歸納推理講一講2．(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26B．31C．32D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是________．[嘗試解答](1)法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6塊有紋正六邊形圍繞(第一個(gè)圖案)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B.(2)第七個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案](1)B(2)28解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個(gè)方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系．(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化．練一練2．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正方形(如圖)．則第n個(gè)正方形數(shù)是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2解析：選C觀察前5個(gè)正方形數(shù)，恰好是序號(hào)的平方，所以第n個(gè)正方形數(shù)應(yīng)為n2.講一講3．三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形．(2)三角形可以看做平面上一條線段外一點(diǎn)與這條直線段上的各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形．通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心三角形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑)[嘗試解答]三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中截面，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球．具體見下表：三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊四面體的中截面的面積等于第四個(gè)面面積的eq\f(1,4)，且平行于第四個(gè)面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑)四面體的體積為V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)(1)類比推理的一般步驟：①找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；②用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)明確的命題(猜想)．(2)運(yùn)用類比推理的關(guān)鍵是確定類比對(duì)象，常見的類比對(duì)象有：①平面幾何與立體幾何：能進(jìn)行類比的基本元素有：②實(shí)數(shù)相等關(guān)系與不等關(guān)系；方程與不等式的性質(zhì)．③實(shí)數(shù)滿足的運(yùn)算律與向量滿足的運(yùn)算律．④等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)．⑤圓錐曲線的定義及性質(zhì)．練一練3．如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖所示，在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別為△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面積，α，β，γ分別為側(cè)面PAB，側(cè)面PBC，側(cè)面PAC與底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面體P-ABC中，S＝S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ.———————————[課堂歸納——感悟提升]—————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是歸納推理和類比推理的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)歸納推理、類比推理結(jié)論的真假判定．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)(式)中的歸納推理，見講1；(2)圖形中的歸納推理，見講2；(3)類比推理的應(yīng)用，見講3.課下能力提升(三)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1數(shù)(式)中的歸納推理1．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是()A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2kB．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2kD．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2解析：選D利用歸納推理可知，第k項(xiàng)中第一個(gè)數(shù)為ak－1，且第k項(xiàng)中有k項(xiàng)，且次數(shù)連續(xù)，故第k項(xiàng)為ak－1＋ak＋…＋a2k－2.2．如圖所示，n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下：根據(jù)規(guī)律，從2014到2016的箭頭方向依次為()A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓解析：選B觀察總結(jié)規(guī)律為：以4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，箭頭方向重復(fù)出現(xiàn)．因此，2014到2016的箭頭方向和2到4的箭頭方向是一致的．故選B.3．根據(jù)給出的等式猜測(cè)×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝A．B．C．D．解析：選B由題中給出的等式猜測(cè)，應(yīng)是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)題組2圖形中的歸納推理5．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：選A由圖，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36顆珠子的顏色為白色．6．如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝3n－1B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2nD．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3解析：選A∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.7．如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分．猜想：在圓內(nèi)畫n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？解：設(shè)圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分．f(1)＝1＝12，g(1)＝2；f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝2＋2；f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝2＋2＋3；f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝2＋2＋3＋4；猜想：f(n)＝n2，g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋eq\f(1＋nn,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2).即圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割為n2條線段，將圓最多分割為eq\f(n2＋n＋2,2)部分．題組3類比推理8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：選D等比數(shù)列中的積(乘方)類比等差數(shù)列中的和(積)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________．解析：平面中的面積類比到空間為體積，故eq\f(S△AEC,S△BEC)類比成eq\f(VA-CDE,VB-CDE).平面中的線段長類比到空間為面積，故eq\f(AC,BC)類比成eq\f(S△ACD,S△BDC).故有eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)10．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明．解：如圖①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是類比到長方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，證明如下：如圖②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.[能力提升綜合練]1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72016的末兩位數(shù)字為()A．01B．43C．07D．49解析：選A因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，75＝16807,76＝，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2016＝4×504，所以72016的末兩位數(shù)字與74的末兩位數(shù)字相同，為01.2．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對(duì)應(yīng)下列4個(gè)圖形：那么下列4個(gè)圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A．(1)，(2)B．(1)，(3)C．(2)，(4)D．(1)，(4)解析：選C由①②③④可歸納得出：符號(hào)“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：選C記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項(xiàng)公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn＝n2.將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1225.4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．答案：eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)5．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516……則在表中數(shù)字2016出現(xiàn)在第________行，第________列．解析：第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，∴2016在第45行．又2025－2016＝9，且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字，∴2016在第89－9＝80列．答案：45806．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明．解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n)．因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在已知的雙曲線上，所以eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，得n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理，y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，則y2－n2＝eq\f(b2,a2)(x2－m2)．所以kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．所以kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．7．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)．(1)寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5，…時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)；(2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求a10，并說明a10表示的實(shí)際意義；(4)已知an＝9900，問an是數(shù)列第幾項(xiàng)？解：(1)當(dāng)m＝2時(shí)，表示一個(gè)2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m＝3,4,5，…時(shí)的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，….(2)因?yàn)閍1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×132.a132.a10表示11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項(xiàng)，此時(shí)方陣為99行100列．第2課時(shí)演繹推理[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P30～P33的內(nèi)容，回答下列問題．閱讀教材中的5個(gè)推理(如下所示)，并回答問題：①所有的金屬都能夠?qū)щ?，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ?；②太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，天王星是太陽系的行星，因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行；③一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除；④三角函數(shù)都是周期函數(shù)，tanα是三角函數(shù)，因此tanα是周期函數(shù)；⑤兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么∠A＋∠B＝180°.(1)以上五個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)？提示：都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論．(2)以上五個(gè)推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名稱是什么？提示：第一段稱為“大前提”，第二段稱為“小前提”，第三段稱為“結(jié)論”．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)演繹推理的概念從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．(2)三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷．“三段論”可以表示為：大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.[問題思考](1)“三段論”就是演繹推理嗎？提示：不是．三段論是演繹推理的一般模式．(2)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：因?yàn)檠堇[推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確．(3)如何在演繹推理中分清大前提、小前提和結(jié)論？提示：在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷．例如，平行四邊形對(duì)角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對(duì)角線互相平分，這是特例具有的一般意義．[課前反思](1)演繹推理的定義是什么？；(2)“三段論”的內(nèi)容是什么？；(3)演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？..[思考]如何將演繹推理寫成三段論的形式？名師指津：三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提．講一講1．把下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃時(shí)，水會(huì)沸騰；(2)一切偶數(shù)都能被2整除，256是偶數(shù)，所以256能被2整除；(3)函數(shù)y＝x＋5的圖象是一條直線．[嘗試解答](1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，大前提在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃，小前提水會(huì)沸騰．結(jié)論(2)一切偶數(shù)都能被2整除，大前提256是偶數(shù)，小前提256能被2整除．結(jié)論(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，大前提y＝x＋5是一次函數(shù)，小前提所以y＝x＋5的圖象是一條直線．結(jié)論將演繹推理寫成三段論的方法(1)用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提．(2)用三段論寫推理過程中，有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略．(3)在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．練一練1．試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行；(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時(shí)發(fā)熱；(3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有an＝pn＋q(p，q是常數(shù))的形式，數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式．解：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，大前提海王星是太陽系中的大行星，小前提海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行．結(jié)論(2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，大前提鐵是導(dǎo)體，小前提鐵通電時(shí)發(fā)熱．結(jié)論(3)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，大前提函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，小前提y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．結(jié)論(4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有an＝pn＋q的形式，大前提數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，小前提數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式．結(jié)論講一講2．(鏈接教材P31—例6)如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演繹推理．[嘗試解答]因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.結(jié)論因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提所以ED＝AF.結(jié)論(1)用“三段論”證明命題的格式eq\x(\a\al(××××××大前提,××××××小前提,××××××結(jié)論))(2)用“三段論”證明命題的步驟①理清證明命題的一般思路；②找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因；③把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來．練一練2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.證明：三角形的中位線平行于第三邊，大前提點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，小前提所以EF∥BD.結(jié)論若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則此直線與此平面平行，大前提EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.結(jié)論講一講3．(鏈接教材P32—例7)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，求證：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．[嘗試解答]對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)．大前提設(shè)x1，x2是(－1，＋∞)上的任意兩實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝ax1＋eq\f(x1－2,x1＋1)－ax2－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(x1－2,x1＋1)－eq\f(x2－2,x2＋1)＝ax1－ax2＋eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．小前提∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．結(jié)論使用三段論應(yīng)注意的問題(1)應(yīng)用三段論證明問題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論．(2)證明中常見的錯(cuò)誤：①條件分析錯(cuò)誤(小前提錯(cuò))．②定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤(大前提錯(cuò))．③推理過程錯(cuò)誤等．練一練3．已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且lga1，lga2，lga4成等差數(shù)列，又bn＝eq\f(1,a2n)(n＝1,2,3，…)．求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．證明：因?yàn)閘ga1，lga2，lga4成等差數(shù)列，所以2lga2＝lga1＋lga4，即aeq\o\al(2,2)＝a1a4.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2，從而d(d－a1)＝0.①若d＝0，數(shù)列{an}為常數(shù)列，故數(shù)列{bn}也是常數(shù)列，此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為1的等比數(shù)列．②若d＝a1≠0，則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，所以bn＝eq\f(1,a2n)＝eq\f(1,2nd).所以當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(\f(1,2nd),\f(1,2n－1d))＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{bn}是以eq\f(1,2d)為首項(xiàng)、eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列．綜上，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．———————————[課堂歸納——感悟提升]—————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是三段論，難點(diǎn)是用三段論證明有關(guān)問題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)用三段論表示演繹推理，見講1；(2)用三段論證明幾何、代數(shù)問題，見講2和講3.3．在數(shù)學(xué)問題的證明題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，只要推理形式準(zhǔn)確，就能恰當(dāng)準(zhǔn)確地解決問題．在解決問題時(shí)，會(huì)涉及到數(shù)學(xué)中的一般性原理，主要是指數(shù)學(xué)中的公式、公理、定理、性質(zhì)等，這就要求我們基礎(chǔ)牢固，對(duì)涉及的相關(guān)知識(shí)能靈活應(yīng)用，并能進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化．課下能力提升(四)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1用三段論表示演繹推理1．“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理方法屬于()A．演繹推理B．類比推理C．合情推理D．歸納推理答案：A2．“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是()A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形答案：B3．下面幾種推理中是演繹推理的是()A．因?yàn)閥＝2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝2x經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)B．猜想數(shù)列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)C．由“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中垂直于同一平面的兩平面平行”D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2解析：選AA是演繹推理，B是歸納推理，C，D是類比推理.題組2用三段論證明幾何問題4．有一段演繹推理是這樣的：“若一直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．非以上錯(cuò)誤解析：選A“直線與平面平行”，不能得出“直線平行于平面內(nèi)的所有直線”，即大前提錯(cuò)誤．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求證：AB⊥DE.證明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB)＝2eq\r(3).∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.又平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.6．如圖所示，三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影．求證：O為△BCD的垂心．證明：如圖，連接BO，CO，DO.∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴AD⊥BC.∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，又AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO，∴O為△BCD的垂心．題組3用三段論證明代數(shù)問題7．用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2＞0”，你認(rèn)為這個(gè)推理()A．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤D．是正確的解析：選A這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a2＞0”．顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤．8．已知推理：“因?yàn)椤鰽BC的三邊長依次為3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是________．解析：大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三邊長依次為3,4,5，滿足32＋42＝52；結(jié)論：△ABC是直角三角形．答案：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形9．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)證明：因?yàn)閤，y∈R時(shí)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y(tǒng)＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(2)設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在[－3,3]上的最大值為f(－3)，最小值為f(3)．因?yàn)閒(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值為6，最小值為－6.[能力提升綜合練]1．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C．由三角形的性質(zhì)，推測(cè)四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式解析：選AB項(xiàng)是歸納推理，C項(xiàng)是類比推理，D項(xiàng)是歸納推理．2．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故該奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)．”上述推理是()A．小前提錯(cuò)誤B．結(jié)論錯(cuò)誤C．正確的D．大前提