課下能力提升(八)[學業(yè)水平達標練]題組1面積、體積的最值問題1．如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)πB.eqB.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,3)))eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)πD.eqD.eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)π2．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個鐵盒．所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm題組2成本最低(費用最省)問題3．做一個容積為256m3的方底無蓋水箱，所用材料最省時，它的高為()A．6mB．8mC．4mD．2m4．某公司一年購買某種貨物2000噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為eq\f(1,2)x2萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則x＝________．5．甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關于速度v(千米/時)的函數(shù)是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程運輸成本Q(元)關于速度v的函數(shù)關系式；(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大的速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．題組3利潤最大問題6．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件7．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q與零售價p有如下關系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入—進貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元8．某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經(jīng)預測，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為0.048，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0，0.048))，為使銀行獲得最大收益，則存款利率應定為________．9．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交4元的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元(8≤x≤11)時，一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x之間的函數(shù)關系式；(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值．[能力提升綜合練]1．將8分為兩個非負數(shù)之和，使兩個非負數(shù)的立方和最小，則應分為()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不對2．設底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A.eq\r(3,V)B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)3．某廠要圍建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為()A．32m，16mB．30m，15mC．40m，20mD．36m，18m4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x(0≤x≤390)，則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．3005．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為________cm.6．如圖，內接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________．7．某工廠共有10臺機器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術水平等因素限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗知道，每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元．(利潤＝盈利－虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù)；(2)當每臺機器的日產(chǎn)量x(萬件)為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？8．某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為y，x軸，建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y＝eq\f(a,x2＋b)(其中a，b為常數(shù))模型．(1)求a，b的值；(2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．答案題組1面積、體積的最值問題1．解析：選A設圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2)，V＝πr2h＝eq\f(1,2)πr2l－2πr3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<r<\f(l,4))).則V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l,6)，而r>0，∴r＝eq\f(l,6)是其唯一的極值點．當r＝eq\f(l,6)時，V取得最大值，最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)π.2．解析：選B設截去的小正方形的邊長為xcm，鐵盒的容積Vcm3.由題意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24)，V′＝12(x－24)(x－8)，令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)．當x∈(0，8)時，V′>0；當x∈(8，24)時，V′<0.∴當x＝8時，V取得最大值．題組2成本最低(費用最省)問題3．解析：選C設底面邊長為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．4．解析：設該公司一年內總共購買n次貨物，則n＝eq\f(2000,x)，總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋eq\f(1,2)x2＝eq\f(8000,x)＋eq\f(1,2)x2，令f′(x)＝x－eq\f(8000,x2)＝0，解得x＝20.且當0<x<20時f′(x)<0，當x>20時f′(x)>0，故x＝20時，f(x)最?。鸢福?05．解：(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0<v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，當0<v<80時，Q′<0；當80<v≤100時，Q′>0，∴v＝80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．題組3利潤最大問題6．解析：選C因為y′＝－x2＋81，所以當∈(9，＋∞)時，y′<0；當x∈(0，9)時，y′>0，所以函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調遞減，在(0，9)上單調遞增，所以x＝9時函數(shù)取最大值．7．解析：選D設毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此時，L(30)＝23000.因為在p＝30附近的左側L′(p)>0，右側L′(p)<0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．8．解析：存款利率為x，依題意：存款量是kx2，銀行應支付的利息是kx3，貸款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又當0<x<0.032時，y′>0；當0.032<x<0.048時，y′<0，所以當x＝0.032時，y取得最大值．答案：0.0329．解：(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x之間的關系為：L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，令L′(x)＝0得x＝12或x＝eq\f(26,3)，由于x∈[8，11]，所以取x＝eq\f(26,3)，當x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(26,3)))時，L′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(26,3)，11))時，L′(x)<0，所以當x＝eq\f(26,3)時，L(x)在[8，11]上取得極大值，也是最大值，Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(26,3)))＝eq\f(500,27)(萬元)．故當每件售價為eq\f(26,3)元時，分公司一年的利潤L最大，最大利潤是eq\f(500,27)萬元．[能力提升綜合練]1．解析：選B設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當0≤x<4時，y′<0；當4<x≤8時，y′>0.所以當x＝4時，y最小．2．解析：選C設底面邊長為x，高為h，∴eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，∴h＝eq\f(4V,\r(3)x2)＝eq\f(4\r(3)V,3x2).∴S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3x·h＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′(x)＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′(x)＝0可得eq\r(3)x＝eq\f(4\r(3)V,x2)，x3＝4V，x＝eq\r(3,4V).當0<x<eq\r(3,4V)時，S′(x)<0；當x>eq\r(3,4V)時，S′(x)>0，∴當x＝eq\r(3,4V)時，S(x)最小．3．解析：選A設建堆料場與原墻平行的一邊邊長為xm，其他兩邊邊長為ym，則xy＝512，堆料場的新砌墻的長l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一負根舍去)，當0<y<16時，l′<0；當y>16時，l′>0，所以當y＝16時，函數(shù)取得極小值，也就是最小值，此時x＝eq\f(512,16)＝32.4．解析：選D由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300＝0，得x＝300.當0≤x<300時，P′(x)>0；當300<x≤390時，P′(x)<0，所以當x＝300時，P(x)最大．5．解析：設高為h，則底面半徑r＝eq\r(400－h(huán)2)，0<h<20，V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·(400－h(huán)2)·h＝eq\f(400,3)πh－eq\f(π,3)h3.由V′＝eq\f(400,3)π－πh2＝0得h2＝eq\f(400,3)，h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)，因為當0<h<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0，當h>eq\f(20\r(3),3)時，V′<0，所以當h＝eq\f(20\r(3),3)時，V最大．答案：eq\f(20\r(3),3)6．解析：設CD＝x，則點C坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))，∴矩形ACBD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時，f′(x)>0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時，f′(x)<0，f(x)是遞減的，∴當x＝eq\f(2\r(3),3)時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)7．解：(1)由題意得，所獲得的利潤為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－2（3x＋8）（x－6）,x).當4≤x<6時，y′＞0，函數(shù)在[4，6)上為增函數(shù)；當6<x≤12時，y′＜0，函數(shù)在(6，12]上為減函數(shù)，所以當x＝6時，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤為y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(萬元)．故當每臺機器的日產(chǎn)量為6萬件時所獲得的利潤最大，最大利潤為(96ln6－78)萬元．8．解：(1)由題意知，M點的坐標為(5，40)，N點的坐標為(20，2.5)，代入曲線C的方程y＝eq\f(a,x2＋b)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40＝\f(a,52＋b)，,2.5＝\f(a,202＋b).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1000，,b＝0.))(2)①由(1)知曲線C的方程為y＝eq\f(1000,x2)(5≤x≤20)，y′＝－eq\f(2000,x3)，所以y′eq\a\vs4\al(|)x＝t＝－eq\f(2000,t3)即為l的斜率．又當x＝t時，y＝eq\f(1000,t2)，所以P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1000,t2)))，所以l的方程為y－eq\f(1000,t2)＝－eq\f(2000,t3)(x－t)．令x＝0，得y