8.推理證明、復數、算法■要點重溫…………·1．歸納推理和類比推理共同點：兩種推理的結論都有待于證明．不同點：歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．[應用1](1)某校舉行了以“重溫時代經典，唱響回聲嘹亮”為主題的“紅歌”歌詠比賽．該校高一年級有1,2,3,4四個班參加了比賽，其中有兩個班獲獎．比賽結果揭曉之前，甲同學說：“兩個獲獎班級在2班、3班、4班中”，乙同學說：“2班沒有獲獎，3班獲獎了”，丙同學說：“1班、4班中有且只有一個班獲獎”，丁同學說：“乙說得對”．已知這四人中有且只有兩人的說法是正確的，則這兩人是()A．乙，丁 B．甲，丙C．甲，丁 D．乙，丙(2)圖32(1)有面積關系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則圖32(2)有體積關系：________.【導學號：07804197】圖32(1)圖32(2)[解析](1)根據題意，由于甲乙丙丁四人中有且只有兩人的說法是正確的，假設乙的說法是正確的，則丁也是正確的，那么甲丙的說法都是錯誤的，如果丙同學說：“1班、4班中有且只有一個班獲獎”是錯誤的，那么1班、4班都獲獎或1班、4班都沒有獲獎，與乙的說法矛盾，故乙的說法是錯誤，則丁同學說：“乙說得對”也是錯誤的；故說法正確的是甲、丙，故選B.(2)∵在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，由面積的性質類比推理到體積性質．故由eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)(面積的性質)結合圖(2)可類比推理出：體積關系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).[答案](1)B(2)eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)2．證明方法：綜合法由因導果，分析法執(zhí)果索因．反證法是常用的間接證明方法，利用反證法證明問題時一定要理解結論的含義，正確進行反設．[應用2]用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設________．[答案]三角形三個內角都大于60°3．數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．上述證明方法叫做數學歸納法．[應用3]用數學歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N且n>1)第一步要證的不等式是________．[解析]當n＝2時，左邊＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)，右邊＝2，故填1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2.[答案]1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<24．復數的概念對于復數a＋bi(a，b∈R)，a叫做實部，b叫做虛部；當且僅當b＝0時，復數a＋bi(a，b∈R)是實數a；當b≠0時，復數a＋bi叫做虛數；當a＝0且b≠0時，復數a＋bi叫做純虛數．[應用4]當實數m為何值時，z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2＋5m＋6)i.(1)為實數；(2)為虛數；(3)為純虛數；(4)復數z對應的點在復平面內的第二象限？[答案](1)m＝－2；(2)m≠－2且m≠－3；(3)m＝3；(4)m＜－3或－2＜m＜35．復數的運算復數的運算法則與實數運算法則相同，主要是除法法則的運用，另外復數中的幾個常用結論應記熟：(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[應用5]已知復數z＝eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i)，eq\x\to(z)是z的共軛復數，則|eq\x\to(z)|＝________.[答案]16．(1)循環(huán)結構中幾個常用變量：①計數變量：用來記錄某個事件發(fā)生的次數，如i＝i＋1.②累加變量：用來計算數據之和，如s＝s＋i.③累乘變量：用來計算數據之積，如p＝p×i.(2)處理循環(huán)結構的框圖問題，關鍵是理解認清終止循環(huán)結構的條件及循環(huán)次數．[應用6]執(zhí)行如圖33的程序框圖，輸出S的值為________.【導學號：07804198】圖33[解析]由算法知，記第k次計算結果為Sk，則有S1＝eq\f(1,1－2)＝－1，S2＝eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)，S3＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2，S4＝eq\f(1,1－2)＝－1＝S1，因此{Sk}是周期數列，周期為3，輸出結果為S2017＝S1＝－1.[答案]－1■查缺補漏…………·1．如果復數z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．z的共軛復數為1＋i B．z的實部為1C．|z|＝2 D．z的虛部為－1D[z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，因此z的共軛復數為－1＋i，實部為－1，虛部為－1，模為eq\r(2)，選D.]2．若復數z滿足(1＋i)z＝2＋i，則復數z的共軛復數eq\x\to(z)在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[z＝eq\f(2＋i,1＋i)＝eq\f(2＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i，eq\x\to(z)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i，共軛復數所對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，為第一象限點，故選A.]3．觀察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結論是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2B[1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以歸納：等式左邊為連續(xù)自然數的和，有2n－1項，且第一項為n，則最后一項為3n－2，等式右邊均為2n－1的平方．]4．某同學為實現“給定正整數N，求最小的正整數i，使得7i>N”，設計程序框圖如圖34，則判斷框中可填入()圖34A．x≤N? B．x<N?C．x>N? D．x≥N?C[D.x判斷框回答否，才進入循環(huán)，所以A，B被排除，若是D.x≥N，那就是求最小的正整數i，使得7i＋1>N不符合題意，只有C.x>N，才滿足條件，故選C.]5．考拉茲猜想又名3n＋1猜想，是指對于每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1；如果它是偶數，則對它除以2.如此循環(huán)，最終都能得到1.閱讀如圖35所示的程序框圖，運行相應程序，輸出的結果i＝()圖35A．4 B．5C．6 D．7D[模擬算法：開始：a＝10，i＝1，a＝1不成立；a是奇數，不成立，a＝5，i＝2，a＝1不成立；a是奇數，成立，a＝16，i＝3，a＝1不成立；a是奇數，不成立，a＝8，i＝4，a＝1不成立；a是奇數，不成立，a＝4，i＝5，a＝1不成立；a是奇數，不成立，a＝2，i＝6，a＝1不成立；a是奇數，不成立，a＝1，i＝7，a＝1成立；輸出i＝7，結束算法．故選D.]6.“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如圖36的程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”，執(zhí)行該程序框圖(圖中“aMODb”表示a除以b的余數)，若輸入的a，b分別為675,125，則輸出的a＝()【導學號：07804199】圖36A．0 B．25C．50 D．75C[輸入a＝675，b＝125,675＝125×5＋50，c＝50；a＝125，b＝50,125＝50×2＋25，c＝25；a＝50，b＝25,50＝25×2，c＝0；輸出a＝50.]7．遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．下圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿七進一，根據圖37可知，孩子已經出生的天數是()圖37A．336B．510C．1326D．3603B[由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數，化為十進制數為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510，故選B.]8．在一次國際學術會議上，來自四個國家的五位代表被安排坐在一張圓桌，為了使他們能夠自由交談，事先了解到的情況如下：甲是中國人，還會說英語．乙是法國人，還會說日語．丙是英國人，還會說法語．丁是日本人，還會說漢語．戊是法國人，還會說德語．則這五位代表的座位順序應為()A．甲丙丁戊乙B．甲丁丙乙戊C．甲乙丙丁戊D．甲丙戊乙丁D[這道題實際上是一個邏輯游戲，首先要明確解題要點：甲乙丙丁戊5個人首尾相接，而且每一個人和相鄰的兩個人都能通過語言交流，而且4個備選答案都是從甲開始的，因此，我們從甲開始推理．思路一：正常的思路，根據題干來作答．甲會說中文和英語，那么甲的下一鄰居一定是會說英語或者中文的，以此類推，得出答案．思路二：根據題干和答案綜合考慮，運用排除法來解決，首先，觀察每個答案中最后一個人和甲是否能夠交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A錯誤，因此，D正確．]9．用數學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)時，從“n＝k到n＝k＋1”時，左邊應增添的代數式為________．2(2k＋1)[假設n＝k時，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3…×(2k－1)成立；那么n＝k＋1時左邊應為[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k－1][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，即從“n＝k到n＝k＋1”時，左邊應添乘的式子是eq\f([k＋k＋1][k＋1＋k＋1],k＋1)＝eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．]10．所有真約數(除本身之外的正約數)的和等于它本身的正整數叫做完全數(也稱為完備數、完美數)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數次冪之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此規(guī)律，8128可表示為________．26＋27＋…＋212[因為8128＝26×127，又由eq\f(1－2n,1－2)＝127，解得n＝7.所以8128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.]11．如圖38是網絡工作者經常用來解釋網絡運作的蛇形模型：數字1出現在第1行；數字2,3出現在第2行；數字6,5,4(從左至右)出現在第3行；數字7,8,9,10出現在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數字應是________.【導學號：07804200】圖38194[由題意