小題提速練(六)“12選擇＋4填空”80分練(時(shí)間：45分鐘分值：80分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4A[∵(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故選A.]2．設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝(0，＋∞)，B＝{x|x2－1＜0}＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.]3．(2017·廣東惠州二模)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是()A．y＝1－x2 B．y＝log2|x|C．y＝－eq\f(1,x) D．y＝x3－1A[函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．選項(xiàng)B中的函數(shù)是偶函數(shù)，但其單調(diào)性不符合；選項(xiàng)C中的函數(shù)為奇函數(shù)，不符合要求；選項(xiàng)D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合要求．只有選項(xiàng)A符合要求．故選A.]4．在△ABC中，a＝4，b＝eq\f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，則角B的大小為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804217】A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(5,6)πA[由5cos(B＋C)＋3＝0得cosA＝eq\f(3,5)，則A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(4,\f(4,5))＝eq\f(\f(5,2),sinB)，sinB＝eq\f(1,2).又a＞b，B必為銳角，所以B＝eq\f(π,6).]5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是()①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若m∥n，m⊥α，則n⊥α；③若m∥α，α∩β＝n，則m∥n；④若m⊥α，m?β，則α⊥β.A．1 B．2C．3 D．4C[對(duì)于①，由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，故①為真命題；對(duì)于②，兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故②為真命題；對(duì)于③，直線m與直線n可能異面，也可能平行，故③為假命題；對(duì)于④，由面面垂直的判定定理可知④為真命題．故選C.]6．某四面體的三視圖如圖15所示，其中正視圖、俯視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中的最大面的面積為()圖15A．2eq\r(2) B．4C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)C[將幾何體放在正方體中考慮，可知該幾何體為三棱錐S-ABD，它的四個(gè)面中面SBD的面積最大，三角形SBD是邊長(zhǎng)為2eq\r(2)的等邊三角形，所以此四面體的四個(gè)面中的最大面的面積為eq\f(\r(3),4)×8＝2eq\r(3).]7．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期為π，其圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，則|φ|的最小值為()A.eq\f(π,12) B．eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D．eq\f(5π,12)B[由題意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，|φ|取得最小值eq\f(π,6)，故選B.]8．已知A，B是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()A．1＜e≤2 B．e≥2C．1＜e≤eq\r(2) D．e≥eq\r(2)B[設(shè)點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，并設(shè)雙曲線左頂點(diǎn)為E，則2|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|，可化為4|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤2c(2c為雙曲線的焦距)，|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤eq\f(1,2)c，易證|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥a，于是a≤eq\f(1,2)c，所以e≥2.故選B.]9．若曲線y＝f(x)＝lnx＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)D[f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＝eq\f(2ax2＋1,x)(x＞0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即2a≥－eq\f(1,x2)(x＞0)恒成立，所以a≥0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D.]10．從1,2,3,4,5中挑出三個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，則其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次(例如，12332)的概率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804218】A.eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C.eq\f(4,7) D．eq\f(5,7)B[從1,2,3,4,5中挑出三個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，共有Ceq\o\al(3,5)(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝1500(種)不同選法，其中有兩個(gè)數(shù)字各用兩次的選法有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝900(種)，所以所求概率P＝eq\f(900,1500)＝eq\f(3,5).]11．如圖16所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()圖16A.eq\f(9,16)π B．eq\f(25,16)πC.eq\f(49,16)π D．eq\f(81,16)πD[連接AC，BD交于點(diǎn)G，連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)G1，易知S，G，G1在同一直線上，連接SG1.設(shè)O為球心，OG1＝x，連接OB1，則OB1＝SO＝2－x，由正方體的性質(zhì)知B1G1＝eq\f(\r(2),2)，則在Rt△OB1G1中，OBeq\o\al(2,1)＝G1Beq\o\al(2,1)＋OGeq\o\al(2,1)，即(2－x)2＝x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up10(2)，解得x＝eq\f(7,8)，所以球的半徑R＝OB1＝eq\f(9,8)，所以球的表面積S＝4πR2＝eq\f(81,16)π.]12．已知橢圓C：eq\f(x2,3)＋y2＝1，設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為eq\f(\r(3),2)，則△AOB面積的最大值為()A.eq\f(\r(3),4) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)B[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝eq\r(3).(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m.由已知得eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，則m2＝eq\f(3,4)(k2＋1)．把y＝kx＋m代入橢圓方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3m2－1,3k2＋1).所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(36k2m2,3k2＋12)－\f(12m2－1,3k2＋1)))＝eq\f(12k2＋13k2＋1－m2,3k2＋12)＝eq\f(3k2＋19k2＋1,3k2＋12)＝3＋eq\f(12k2,9k4＋6k2＋1).當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|2＝3＋eq\f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)≤3＋eq\f(12,2×3＋6)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)9k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±eq\f(\r(3),3)時(shí)等號(hào)成立．綜上所述|AB|max＝2，所以當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值S＝eq\f(1,2)×|AB|max×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N(90，σ2)．若分?jǐn)?shù)在(70,110]內(nèi)的概率為0.7，估計(jì)這次考試分?jǐn)?shù)不超過(guò)70的人數(shù)為_(kāi)_______．[解析]記考試成績(jī)?yōu)棣?，則考試成績(jī)的正態(tài)曲線關(guān)于直線ξ＝90對(duì)稱．因?yàn)镻(70＜ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ＞110)＝eq\f(1,2)×(1－0.7)＝0.15，所以這次考試分?jǐn)?shù)不超過(guò)70的人數(shù)為1000×0.15＝150.[答案]15014．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋eq\r(3)μ的最大值為_(kāi)_______．[解析]以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1，eq\r(3))，D(0，eq\r(3))．設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))．由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ，,y＝\r(3)μ.))又因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤\f(\r(3),2)，,x2＋y2＝\f(3,4)，))所以λ＋eq\r(3)μ＝x＋y≤eq\r(2x2＋y2)＝eq\f(\r(6),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝\f(\r(6),4)時(shí)取得最大值)).[答案]eq\f(\r(6),2)15．已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))若z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，則a的值是________．[解析]畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a))表示的可行域如圖所示：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＝2))得A(1,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝x))得B(a，a)．當(dāng)直線z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)A(1,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)B(a，a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y取得最小值，最小值為3a.因?yàn)?＝3×3a，所以a＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)16．已知△ABC中，角A，eq\f(3,2)B，C成等差數(shù)列