第02講集合間的基本關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.2.記法：A?B（或B?A）.3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.6.圖形表示：知識(shí)點(diǎn)2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.2.記法：A?B（或BA）.3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性質(zhì)：對(duì)于集合A，B，C，①如果A?B,B?C,則A?C=2\*GB3②如果A?B，B?C，則A?C；5.圖形表示：6.如果集合A中含有n個(gè)元素，則有（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集【思考】任何兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個(gè)集合就沒有包含關(guān)系．【特別提醒】符號(hào)“∈”與“?”的區(qū)別：符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系，而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)3空集1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．②空集是任何集合的子集（即??A）；2、0，{0}，?，{?}的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}【思考】{0}與?表示同一集合嗎？提示：{0}表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠?.知識(shí)點(diǎn)4Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)5集合的相等與子集的關(guān)系1.定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等2.圖形表示：3.如果A?B，且B?A則A=B.4.如果A=B則A?B且B?A.（2）對(duì)集合A和集合B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時(shí)B?A，那么就說這兩個(gè)集合相等，記作A＝B．（3）對(duì)于兩個(gè)有限數(shù)集A＝B，則這兩個(gè)有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等；②兩個(gè)集合的元素之和相等；③兩個(gè)集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個(gè)集合相等的依據(jù)．【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．常用解題方法1.集合與集合之間的關(guān)系判斷是通過兩個(gè)集合間的元素是否相同，注意跟集合與元素之間的屬于關(guān)系進(jìn)行區(qū)分，通過集合的列舉、描述、圖示法等進(jìn)行判斷.2.判斷集合關(guān)系的方法.（1）觀察法：一一列舉觀察.（2）元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.提醒：若A?B和AB同時(shí)成立，則AB更能準(zhǔn)確表達(dá)集合A，B之間的關(guān)系.3.求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的3個(gè)步驟4.子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的4個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．5．兩集合相等常見考法及解法：(1)若兩個(gè)集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關(guān)，但要注意檢驗(yàn)，排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形．(2)若兩個(gè)集合中元素均有無限多個(gè)，則要看兩集合的代表元素是否一致，再看代表元素滿足的條件是否一致．若均一致，則兩集合相等．(3)證明集合A與B相等的常用思路是“證A?B且B?A”．6．集合與集合之間的關(guān)系，元素與集合之間的關(guān)系是用不同的符號(hào)表示的，特別注意空集是不含有任何元素的集合，且規(guī)定???.7．求解含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時(shí)，應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況，因此本題求解的易錯(cuò)之處是忽視集合B為空集的特殊情況而導(dǎo)致漏解．本題若改為A?B時(shí)，則不需要考慮集合B為空集的特殊情況．8.利用集合的關(guān)系求參數(shù)問題(1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問題．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．題型1：判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)A．7個(gè) B．6個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】列舉出集合的子集即可得解.故選：C.A．16B．8C．7D．4【答案】BA．4B．8C．15D．16【答案】D【答案】5.【分析】列舉出滿足條件的集合即可得答案.則滿足條件的集合有5個(gè).故答案為：5.A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A故選：A.A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.故選：A.A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由條件分析集合的元素的特征，列舉滿足條件的的個(gè)數(shù)即可得解.故選：B．A．3種 B．5種 C．7種 D．9種【答案】C【分析】由集合的包含關(guān)系討論A所含元素的可能性即可.故選：C【答案】43【分析】分別求出集合A，B，根據(jù)集合間的包含關(guān)系求出集合C即可.故答案為：4；3．A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【分析】求得集合，即可求得結(jié)果.故選：B11.集合A=1,2,3，B=x,y|x∈A,y∈A,且xy∈A，則集合BA．5 B．15 C．31 D．32【解題思路】根據(jù)題意，寫出集合B，根據(jù)集合B所包含的元素個(gè)數(shù)，得到其真子集的個(gè)數(shù).【解答過程】由A=1,2,3，所以B=1,1,所以集合B的真子集個(gè)數(shù)為25-1=31故選：C.A．3 B．5 C．7 D．15【答案】C故選：CA． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，利用集合的真子集個(gè)數(shù)公式可求得集合的真子集個(gè)數(shù).故選：A.A．4 B．16 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)條件，先化簡集合A，再利用子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.故選：B.【答案】31【分析】利用列舉法表示集合，進(jìn)而求出其真子集個(gè)數(shù).故答案為：31題型2：根據(jù)子集（真子集）個(gè)數(shù)求參數(shù)【答案】【分析】通過集合有且僅有兩個(gè)子集，可知集合中只有一個(gè)元素，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為分類討論.故答案為：【答案】（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）.3.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a＝．【解答】解：若A恰有兩個(gè)子集，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，①當(dāng)a＝1時(shí)，，滿足題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝8a+1＝0，所以，綜上所述，a＝1或．故答案為：1或．4.已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有兩個(gè)非空真子集，則m的值可以是．（說明：寫出滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值）【解答】解：集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有兩個(gè)非空真子集，則集合A中含有2個(gè)元素，即方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，∴，解得m＞﹣且m≠1．故答案為：2．（答案不唯一）．(1)若是，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得集合有且僅有兩個(gè)子集，若存在，求出實(shí)數(shù)及對(duì)應(yīng)的子集，若不存在，說明理由．（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，可求實(shí)數(shù)的值．（2）要使集合A有且僅有兩個(gè)子集，則集合A有且只有一個(gè)元素，即對(duì)應(yīng)的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，題型3：求集合的子集（真子集）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】寫出集合的所有子集即可得解.故選：ABD【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組求解方程組的根，進(jìn)而可得集合,由子集的性質(zhì)即可求解.故選：B【分析】由題意可知B是由A集合的子集構(gòu)成的集合，利用列舉法寫出集合B即可.【分析】根據(jù)子集和真子集的定義求解即可.【分析】先由條件確定集合的元素，再根據(jù)子集的定義寫出其所有子集.(1)求的值；(2)寫出集合的所有真子集.(1)寫出集合的子集，真子集；(2)求集合的子集數(shù)，非空真子集數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)16，14【分析】（1）根據(jù)集合的子集和真子集的概念即可求解；（2）利用集合的子集和非空真子集個(gè)數(shù)的求解公式，即可得出其相應(yīng)的個(gè)數(shù)．(1)寫出集合A的所有子集；(2)若B為非空集合，求a的值．(2)3題型4：判斷兩個(gè)集合是否相等1.給出以下集合，其中是相等集合的有（

）【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的定義逐項(xiàng)判斷即可.故，不是相等的集合；和都只有兩個(gè)元素，，所以和是相等的集合．故選：D．2．下列每組集合是相等集合的是（

）【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的概念判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.故選：D.【答案】A【分析】根據(jù)集合包含關(guān)系的定義和集合相等的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)集合的概念可知集合表示所有被除余的數(shù)以及所構(gòu)成的集合，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，故選：A4.（多選）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）【答案】BC【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通過此定義逐一判定各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，是點(diǎn)集,是數(shù)集，所以不是相等集合；對(duì)于選項(xiàng)B,,都表達(dá)的是奇數(shù)集，所以是相等集合；故選：BC.5．（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【分析】根據(jù)相同集合的意義，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閚∈Z，則n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶數(shù)組成的集合，A正確，對(duì)于D，集合M的元素是實(shí)數(shù)，集合P的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此D不正確.故選：ABC【答案】①②【分析】解方程組可化簡①，由偶次根式有意義可計(jì)算②，分別研究為奇數(shù)、為偶數(shù)可計(jì)算③，由N的定義可得④，依次判斷即可求得結(jié)果．故答案為：①②.【答案】D8.下面關(guān)于集合的表示正確的序號(hào)是.【答案】③④故答案為：③④.9.已知集合N=xx=n2-13,n∈ZA．NP B．N=P C．PN D．N與P交集為空集【解題思路】首先變形兩個(gè)集合的形式，再根據(jù)特殊數(shù)集，進(jìn)行比較，即可判斷選項(xiàng).【解答過程】N=xx因?yàn)閚-1,n∈Z，表示整數(shù)，故選：B.題型5：根據(jù)集合相等求參數(shù)A．或2 B．或1 C． D．1【答案】D【分析】由集合相等即可求得結(jié)果.故選：D.A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等結(jié)合集合的互異性可得的值，即可得結(jié)果.故選：C.【答案】1【分析】先根據(jù)分式有意義可得到的值，再根據(jù)相等集合以及集合元素的互異性得到的值，即可求得結(jié)果.故答案為：1.A．B．C．0D．【答案】AB故答案為:5.已知集合A=1,m，B=2m-2,1，若A=B，則實(shí)數(shù)m=（A．0 B．1 C．1或2 D．2【解題思路】利用集合的確定性和互異性，翻譯集合相等這一條件即可.【解答過程】由題意可知m=2m故選：D.【答案】【分析】根據(jù)集合相等解方程即可求得結(jié)果.即實(shí)數(shù)的值是.故答案為：【答案】故答案為：A．0B．1C．D．【答案】C【分析】由集合相等的定義一一討論元素對(duì)應(yīng)關(guān)系即可.【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.（2）讓中元素分別等于，求得，然后檢驗(yàn)；的值為0或.實(shí)數(shù)的值為.題型6：空集的概念判斷以及性質(zhì)與應(yīng)用1.下列四個(gè)集合中是空集的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)空集的定義進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，不是空集，故A錯(cuò)誤；

故選：B.2.下列四個(gè)集合中是空集的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)空集的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A,集合中有一個(gè)元素，故不是空集，故選：B．3.下列集合中為的是（

）A． B．【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；故選：C.4.下列四個(gè)說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；④任何集合至少有兩個(gè)子集．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)判斷即可.【詳解】①空集是任何集合的子集，所以①錯(cuò)；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯(cuò)；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯(cuò)；④空集只有自己本身一個(gè)子集，所以④錯(cuò).故選：A.5．下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個(gè)集合的真子集C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集【答案】D【解析】根據(jù)集合的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果【詳解】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；故選：D.【答案】ACD故選：ACD.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空集的意義，結(jié)合一元二次方程根的情況求得答案.故選：BA．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)子集個(gè)數(shù)確定是空集，然后由方程無實(shí)數(shù)解得參數(shù)范圍，確定正確選項(xiàng)．【詳解】由集合A有且僅有1個(gè)子集可知，A是，故選：C．11.下列集合中為的是（

）A． B．【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；故選：C.A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：所以①②③④⑥正確.故選：C【分析】根據(jù)不等式的解集為空集，比較左右端點(diǎn)值的大小，列式即可求解.【分析】利用判別式小于0求解16.已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范圍；（2）若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2﹣3x+2＝0化為﹣3x+2＝0，解集非空；當(dāng)a≠0時(shí)，要使A是空集，則Δ＝（﹣3）2﹣8a＜0，解得a＞．∴使A是空集的a的取值范圍是（）；（2）當(dāng)a＝0，集合A中有一個(gè)元素；當(dāng)a≠0時(shí)，若A中有兩個(gè)元素，則Δ＝（﹣3）2﹣8a＞0，解得a＜．綜上，使A中至多只有一個(gè)元素的a的取值范圍是{0}∪[）．題型7：Venn圖表示集合的關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．【答案】B故選B【點(diǎn)睛】本題考查列舉法表示集合,Venn圖表示集合之間的關(guān)系【答案】D【分析】由集合關(guān)系與Venn圖的關(guān)系判斷．故選：D．A． B．C． D．【答案】B【分析】本題先解出中的一元二次方程，再利用集合間關(guān)系的判斷以及用venn圖表示集合的關(guān)系即可得出答案.故選：B.A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】確定集合，的關(guān)系，然后選擇合適的圖象即可.所以，選項(xiàng)B符合，故選：B.5.下列Venn圖能正確表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

【解題思路】確定集合M，N的關(guān)系，然后選擇合適的圖象即可.【解答過程】N=xx2所以NM，選項(xiàng)B符合，故選：B.6.已知集合M=x|a?x<a+1,a∈Z，P=x|logA．-2,-1,1,2 B．-3,-2,-1,0,1,2C．-2,-1,0,1,2 D．-3,-2,-1,1,2【解題思路】先化簡集合P，注意x≠0，由題意可知，M?P【解答過程】∵P={x|∴∴{a≥-3a+1<0或{a又∵a∈Z故選D.題型8：判斷元素與集合，集合與集合的關(guān)系1.若A=x|xA．?}?A B．1}=AC．-1,1}?A D．0}?A【解題思路】求出集合A后，根據(jù)集合間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】A=x|1≠0,1，故B錯(cuò)誤；-1?0,1故選：D.【答案】A【分析】用列舉法寫出集合A，利用集合間的基本關(guān)系判斷．故選：A.3.下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）【答案】A【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷即可.故選：A4.下列關(guān)系式正確的為（）【答案】CD【詳解】對(duì)于A.元素與集合間是屬于與不屬于的關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.含有一個(gè)元素0，不是空集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C.集合的元素具有無序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正確；對(duì)于D.空集是任何集合的子集，故D正確.5.下列集合之間關(guān)系正確的是（

）【答案】B【分析】化簡各選項(xiàng)中的集合，利用集合相等和集合的包含關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.故選：B.6．下列各式正確的是（

）【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.故選：D.C．? D．?【答案】C故選：CA．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)子集的定義判斷；②根據(jù)集合中的元素的特征判斷；③根據(jù)集合中有一個(gè)元素0判斷；④根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷；⑤根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷；⑥根據(jù)空集是任意集合的子集判斷.【詳解】依據(jù)子集定義，任何集合都是自身的子集，①正確；集合中的元素具有無序性，②正確；集合中有一個(gè)元素0，不是空集，③正確；空集和集合兩個(gè)集合的關(guān)系為包含關(guān)系不是屬于關(guān)系，⑤錯(cuò)誤；故選：C【答案】C【分析】解方程確定集合，然后由子集、真子集的定義判斷．故選：C．10．指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合子集的定義，理解的倍數(shù)一定是的倍數(shù)，的倍數(shù)不一定是的倍數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合子集的定義，注意奇數(shù)1即可求解．的倍數(shù)一定是的倍數(shù)，的倍數(shù)不一定是的倍數(shù)，11.已知集合P=x∣x=m2+1,m∈N*,Q=A．P=Q B．P?Q C．Q?P D．P?Q【解題思路】分別求出集合P和Q，根據(jù)集合間的基本關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【解答過程】由題意可知，P=則?x∈P，都有x∈Q；而1∈Q，且故選：B.12.已知集合M=x|x=2m+13,m∈Z,N=x|x=n-2A．M=N?P B．M?N=PC．M?N?P D．N?P?M【解題思路】將集合M,P化為與【解答過程】由M=x|而2m+1為奇數(shù)，p+1所以M?N=故選：B.13.若P=yyA．P=Q B．P?Q【答案】C【解析】先判斷P是實(shí)數(shù)集合，再判斷Q是點(diǎn)集，然后得出結(jié)果.【詳解】P=而Q=x,故選：C.【答案】ABD【分析】將兩個(gè)集合化簡后比較分子的關(guān)系可得兩個(gè)集合的關(guān)系.故選：ABD.【答案】A題型9：根據(jù)集合的包含關(guān)系求參【答案】A故選：AA．1 B． C．1或0 D．1或【答案】D故選：D．【答案】D【分析】利用集合間的包含關(guān)系求解.故選:D.【答案】C【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系分類討論計(jì)算求參即可.故選：C．【答案】故答案為：【答案】或0綜上，的值為或.(2)若的子集有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值集合.（2）因?yàn)榈淖蛹袃蓚€(gè)，所以集合中只有一個(gè)元素，【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系得出不等式組計(jì)算即可.(1)求集合；【答案】(1)【分析】（1）先解不等式確定集合A，再由元素個(gè)數(shù)計(jì)算非空真子集即可；（2）根據(jù)集合間的基本關(guān)系，分類討論B是否為空集計(jì)算即可.13.已知全集U為實(shí)數(shù)集，集合A=x-1<x<6，

(1)若a=3，求圖中陰影部分的集合M；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】（1）由題圖知M=?U（2）討論B=?、B≠?，根據(jù)集合的包含關(guān)系列【解答過程】（1）解：a=3時(shí)，B=x因?yàn)锳=x-1<所以M=（2）當(dāng)B=?時(shí)，3a-1<a+1當(dāng)B≠?時(shí)，3a-1≥因?yàn)锽?A，所以a+1>-1所以1≤a綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,714.已知集合A=(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值(2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍(3)若A?0,+∞，求【解題思路】（1）分a=0和a（2）分A中有一個(gè)元素或A=?（3）分類討論A是否為空集以及a是否為0，結(jié)合二次方程的Δ判別式和韋達(dá)定理分析求解.【解答過程】（1）若a=0時(shí)，A當(dāng)a≠0時(shí)，可知方程ax2-3x綜上所述：a=0或a（2）若A中至多有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)元素或A=?若A中有一個(gè)，由（1）可知：a=0或a若A=?，則a≠0Δ綜上所述：a的取值范圍為0∪9（3）因?yàn)锳?若A=?，由（2）可知：a若A≠?若a=0時(shí)，由（1）可知A當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ=9-8a綜上所述：a的取值范圍為0,+∞.【答案】(1)254(3)若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少?【分析】利用集合相等的性質(zhì)及集合的包含關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸法求解即可.

（3）因?yàn)锽?A，如圖，

(2)若?，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系，建立不等式組，解得答案.（2）因?yàn)?，（一）由集合間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍（必考）1.已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}?A，則m＝．【解答】解：因?yàn)榧螦＝{﹣2，3，6m﹣6}，且{3，6}?A，則6m﹣6＝6，得m＝2，2.已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A?B，則a≥3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．3.已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A?B，則a＝．【解答】解：，當(dāng)A＝?時(shí)，A?B成立，此時(shí)a＝0，當(dāng)A≠?時(shí)，，因?yàn)锳?B，所以，得a＝4，綜上a＝0或a＝4，故答案為：0或4．（二）數(shù)形結(jié)合思想（利用數(shù)軸求參數(shù)的取值范圍）（必考）【答案】B【詳解】由題意知，，2.設(shè)集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≥﹣1 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，A?B，則畫出數(shù)軸如下，∴a≥2，故選：B．（三）分類討論思想（必考）1.若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1【解答】解：當(dāng)k＝0時(shí)，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，滿足條件．當(dāng)k≠0時(shí)，由判別式等于0可得16﹣16k＝0，解得k＝1，此時(shí)，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，滿足條件．綜上可得，實(shí)數(shù)k的值為0或1．故選：A．【答案】(1)5易錯(cuò)點(diǎn)1：忽視空集導(dǎo)致出錯(cuò)1．已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，求m的取值范圍．【答案】m≤1．【詳解】∵B?A，若B＝?，則m≤0，滿足B?A，若B≠?，則m＞0，由B?A，得m≤1，解得，0＜m≤1．綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤1．2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【錯(cuò)解】由題意得，A＝{x|－1≤x≤6}．因?yàn)锽?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).【錯(cuò)因】忽略了集合B為空集的情況。【正解】由題意得，A＝{x|－1≤x≤6}．當(dāng)B＝?時(shí)，m－1>2m＋1，即m<－2，滿足B?A.當(dāng)B≠?時(shí)，若B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上，m＜－2或0≤m≤eq\f(5,2).易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視高次項(xiàng)系數(shù)導(dǎo)致出錯(cuò)【錯(cuò)因】忽略了對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)a的討論。易錯(cuò)點(diǎn)3：忽視判別式導(dǎo)致出錯(cuò)【錯(cuò)因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的個(gè)數(shù)。題型10：集合關(guān)系的新定義1.定義集合運(yùn)算A

B=c|c=a+b,a∈A,b∈B，若A=0,1,2,B=A．14 B．0 C．31 D．32【解題思路】列舉出滿足條件的元素a，b并求出其和a+b，【解答過程】因?yàn)锳=0,1,2,所以A

可知集合A

所以集合A

B的所有子集的個(gè)數(shù)為故選：D.2.定義A*B=ZZ=xy+1,x∈A,y∈B，設(shè)集合A=0,1，集合B=1,2,3，則A．14 B．15 C．16 D．17【解題思路】根據(jù)題中定義，運(yùn)用列舉法、集合子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)锳*所以A*B集合的子集的個(gè)數(shù)是故選：C.3.定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知集合A=4,26,81,153,370，B=x∈Ax是自戀數(shù)，則A．16 B．8 C．4 D．2【解題思路】利用自戀數(shù)的定義和子集的個(gè)數(shù)求解.【解答過程】解：因?yàn)?1因?yàn)?2因?yàn)?2因?yàn)?3因?yàn)?3所以B=則子集個(gè)數(shù)為23故選：B.A．2 B．4C．6 D．8【答案】C故選：CB．將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集【答案】ABD【分析】通過對(duì)不同階數(shù)完美集的子集情況進(jìn)行分析來確定集合個(gè)數(shù)，同時(shí)依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型，關(guān)鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，再借助舊知解題即可.【答案】【分析】先列舉出兩個(gè)元素和的取值，再結(jié)合條件，進(jìn)行分類討論，即可求解.【詳解】集合中任取兩個(gè)元素和對(duì)應(yīng)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果如下表：000010100111所以和的四個(gè)對(duì)應(yīng)位置都為1的恰有1個(gè)或3個(gè)，若中不含第②類元素，則中至多1個(gè)元素，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為5，故答案為：.(3)若中有3個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．而此方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故不成立；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于集合中的新定義問題，解答問題的關(guān)鍵在于對(duì)定義的理解；前兩問通過將新定義的集合中元素關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程問題進(jìn)行直接求解；第三問需要對(duì)可能成立的方程組進(jìn)行是否有解的分析與判斷，注意元素的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系.(2)證明見詳解；(3)4.假設(shè)集合中還有第4個(gè)元素，則由題意知：故假設(shè)不成立，即.綜上所述，的最大值為4.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在理解相關(guān)新概念、新定義時(shí)，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，此題的落腳點(diǎn)仍然是集合中元素的互異性，確定性，無序性.鞏固練習(xí)一、單選題【答案】D【分析】本題主要考查集合間的包含關(guān)系，根據(jù)題意，分析集合之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷即可.故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤.故選：D.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C故選：CA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.故集合為包含元素和，且為的子集，故選：B.A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B故選：B．二、多選題5．關(guān)于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【答案】ABC【分析】由圖形可知集合間的包含關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行判斷.集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項(xiàng)正確；集合A、B、U中有相同的元素，B選項(xiàng)正確；集合U中有元素不在集合B中，C選項(xiàng)正確；集合A、B、U不相等，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.6．下列說法正確的有（

）【答案】BCD【分析】根據(jù)集合的真子集個(gè)數(shù)公式判斷A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷B、C、D.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；故選：BCD.【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用集合相等的概念，結(jié)合集合中元素的互異性可解．故選：BCD．8．（2223高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)系中正確的有（

）【答案】ABC【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及空集的性質(zhì)、集合相等的定義判斷各項(xiàng)的正誤.故選：ABC【答案】ABC【分析】解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．故選：ABC．A． B．0 C．1 D．【答案】ABC故選：ABC.三、填空題【答案】63【分析】依題意求出集合，即可求得其真子集個(gè)數(shù)．故答案為：63.【答案】7【分析】化簡集合，結(jié)合求集合的子集的結(jié)論即可求得結(jié)果.故答案為：7.四、解答題13．指出下列各組集合之間的關(guān)系：【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關(guān)系；（2）利用集合所表示的含義即可判斷；（3）求出集合即可判斷.【詳解】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知．（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴．14．確定下列每組兩個(gè)集合的包含關(guān)系或相等關(guān)系：(2)為的真子集【分析】（1）用列舉法表示出集合可得答案；（2）根據(jù)集合與里元素的性質(zhì)可得答案.所以為.的真子集.【答案】答案見解析【分析】解出集合，按元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類寫出其子集即可.由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為；【分析】由集合的包含關(guān)系，列不等式求m的取值范圍.(2)(3)不存在，理由見解析（2）由集合的包含關(guān)系，列不等式求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）由集合的相等關(guān)系，列方程組求實(shí)數(shù)m的值.此時(shí)m的取值范圍是．(2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）結(jié)合A是B的真子集列出不等式組即可求解.(2)若，求的值組成的集合．【答案】(1)，是的真子集；所以B是A的真子集．【答案】(1)(1)若A中只有一個(gè)元素，求a的值(2)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍【答案】(1)0或（3）分類討論A是否為空集以及是否為0，結(jié)合二次方程的判別式和韋達(dá)定理分析求解.(2)若集合是集合的一個(gè)子集，求的取值范圍.由已知，得應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是的一個(gè)真子集，A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)“孤立元”概念，分類討論求解即可.“孤立元”為的集合為，綜上：滿足題意的集合有13個(gè).故選：D24．定義A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．(1)求集合A?B的所有元素之和．(2)寫出集合A?B的所有真子集．【答案】(1)9(2)?，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}【分析】（1）分別將A，B中的元素代入，從而求出A?B中的元素，進(jìn)而求出元素之和；（2）由（1）A?B＝{0，4，5}，逐項(xiàng)寫出即可．【詳解】（1）因?yàn)锳?B＝{0，4，5}，所以集合所有元素和9（2）?，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}共7種可能．【答案】120故答案為：120【答案】(1)12；(2)672.（2）根據(jù)提示可計(jì)算每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)求所有非空子集的元素和的總和.集合，，的交替和分別為1，2，3，從而中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，【點(diǎn)睛】新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.A．1005 B．1006 C．1007 D．1008【答案】B【分析】假設(shè)B中元素最大是2012，再將其余元素分組，再結(jié)合抽屜原理即可得解.【詳解】假設(shè)B中元素最大是2012，若B中元素多于1006個(gè)，由抽屜原理可知，必有兩個(gè)數(shù)在同一組，兩數(shù)和為2012，與已知矛盾，所以B中元素最多為1006個(gè)，同理可知，當(dāng)B中最大元素小于2012時(shí)，元素個(gè)數(shù)不超過1006個(gè)，所以B中元素個(gè)數(shù)的最大值為1006．故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，找出便于理解的處理方式，當(dāng)然此題解法不唯一，可以討論極限情況，可以分類列舉觀察規(guī)律.【答案】D故選：D．30.判斷下列集合、是否表示同