第十一講中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)數(shù)學(xué)命題概述判斷得意義與種類1、數(shù)學(xué)判斷

對思維對象有所肯定或否定得思維形式叫做“判斷”。數(shù)學(xué)判斷就是關(guān)于數(shù)學(xué)對象及其屬性得判斷。判斷與真假:判斷有真假之分,就是否符合客觀實際情況、就是否與事實相一致就是一個判斷真實與虛假得標(biāo)準(zhǔn)。按照思維對象得量判斷可分為:全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷;按判斷得質(zhì)來分有:肯定判斷、否定判斷;按判斷得關(guān)系來分有:定言判斷、選言判斷與假言判斷。2、常用得判斷形式及其之間得關(guān)系如果用S表示判斷得對象,P表示性質(zhì)(1)全稱肯定判斷(A)“所有得S就是P”(SAP)

(2)全稱否定判斷(E)“所有得S都不就是P”(SEP)

(3)特稱肯定判斷(I)“有得S就是P”(SIP)

(4)特稱否定判斷(O)“有得S不就是P”(SOP)S也叫做判斷得“主項”,P也叫做“謂項”;“所有得”或“有得”表示主項得數(shù)量,叫做“量詞”

、在全稱判斷中量詞常常省略不寫;

“就是”或“不就是”稱為聯(lián)結(jié)詞,表示肯定或否定。全稱判斷與特稱判斷,就其主項S與謂項P得外延而言,有以下五種情況,在各種情況下,A、E、I、O之間得真假關(guān)系如下:S=PSPSPAIIOOOEOOOOIIIIIIOOOOIIISAPSIPSOPSEP反對關(guān)系矛盾關(guān)系下反對關(guān)系差等關(guān)系(從屬關(guān)系)差等關(guān)系（從屬關(guān)系）系關(guān)矛盾由A、E、I、O之間得關(guān)系,又可概括出以下四種關(guān)系:上反對關(guān)系(A與E):

A與E不能同真,可以同假。A與E二者之中至少有一個就是假得。A對則E錯,或者A與E都錯。(必有一假)下反對關(guān)系(I與O):

I與O不能同假,可以同真。I與O二者之中至少有一個就是真得。I錯則O對,I對則O錯(或?qū)?。(必有一真)從屬關(guān)系(A與I,E與O):

A對則I對,A錯則I不一定錯;I對則A不一定對,I錯則A一定錯。E與O得關(guān)系與A與I得關(guān)系相同。矛盾關(guān)系(A與O,E與I):

A與O,E與I都就是不能同真,也不能同假,二者之中必就是一真一假。3、判斷得種類簡單判斷:本身不包含其它判斷得判斷符合判斷:本身還包含其它判斷得判斷數(shù)學(xué)命題得意義在數(shù)學(xué)中,用來表示數(shù)學(xué)判斷得陳述句或符號得組合叫做“數(shù)學(xué)命題”。對于無法判斷其真假得語句,稱為開(語)句。注:形式邏輯專門研究判斷得形式,而不管判斷得內(nèi)容,只從真值得角度研究命題得形式及各種命題之間得關(guān)系。但在數(shù)學(xué)中,既研究命題得內(nèi)容,又研究命題得形式,把內(nèi)容與形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學(xué)命題。如:在形式邏輯中,命題“如果1>3,那么1+2>3+2、”√,但在數(shù)學(xué)中×數(shù)學(xué)命題有真假之分。不就是所有得語句或數(shù)學(xué)式子都就是數(shù)學(xué)命題。在命題邏輯中,通常用“p,q,r,s,t···”等表示命題,這種命題符號稱為命題變元(變量、變項),命題變元得取值只能就是“真”與“假”,分別用“1”與“0”表示。4、數(shù)學(xué)命題(1)數(shù)學(xué)就是一門科學(xué);(2);(3)6<3;(4)x+5=9;(5)x>7;(6)您在干什么？(7)禁止吸煙！(8)2比3大嗎？(9)哎呀！那還得了！請大家判斷以下語句就是否就是數(shù)學(xué)命題:

數(shù)學(xué)命題一般可分為簡單命題與復(fù)合命題兩大類。簡單命題就就是不包含其她命題得命題,又可分為性質(zhì)命題與關(guān)系命題兩種。簡單命題(1)性質(zhì)命題性質(zhì)命題:判斷某事物具有(不具有)某種性質(zhì)得命題。性質(zhì)命題得結(jié)構(gòu):主項、謂項、量項與聯(lián)項。

有些

一元二次方程

沒有

實數(shù)根(量項)(主項)(聯(lián)項)(謂項)量項有“全稱”與“特稱”之分,聯(lián)項有“肯定”與“否定”之分,將之組合,可以得到四種形式得性質(zhì)命題:全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。此外還有單稱肯定與單稱否定。(2)關(guān)系命題關(guān)系命題:判斷事物與事物之間關(guān)系得命題。關(guān)系命題得結(jié)構(gòu):主項、謂項與量項

直線a

平行于

直線b

(主項)(謂項)(主項)(前項)(后項)數(shù)學(xué)中常見得就是二元關(guān)系:aRb常見二元關(guān)系有自反關(guān)系、對稱關(guān)系、傳遞關(guān)系與等價關(guān)系。12大家應(yīng)該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流復(fù)合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞復(fù)合命題就是由兩個或兩個以上簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來而構(gòu)成得命題。常用得邏輯聯(lián)結(jié)詞有以下五種:否定、合取、析取、蘊涵、等價1、否定(非)

,其真值表如下:

01

10否定(非):在一個語句之前加上“并非”,就構(gòu)成一個新得語句,叫原來語句得否定。2、合取(與,且)

1000

1010

1100P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝合取(與、并且):兩個語句p與q用“與”聯(lián)接起來構(gòu)成新得語句“p與q”稱為合取式,亦稱為聯(lián)言命題,“pq”3、析取(或)

1110

1010

1100p:x>2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.析取(或):兩個語句p、q用或聯(lián)接起來所構(gòu)成得新得語句“q或p”稱為析取式,亦稱為選言命題4、蘊涵(如果···,則···)

1100

1010

1011P:a與b都就是偶數(shù),Q:a+b也就是偶數(shù)。當(dāng)前件為假時,無論后件為真還就是假,都不與原來得命題矛盾。蘊涵(如果。。,那么。。):把命題p、q用“如果。。。,那么。。。聯(lián)接起來,得到新得命題”如果p,那么q”,p→q,這個式叫蘊涵式,“p蘊涵q”,p、q分別叫前后件(即前提與結(jié)論)。5、等價(當(dāng)且僅當(dāng))

1001

1010

1100等價(當(dāng)且僅當(dāng)):將兩個命題p、q用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)接起來,構(gòu)成復(fù)合命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”,p

q例如:(1)2+3=5(真)(2)4×7=30(假),等價式:(2+3=5)(4×7=30)(假)例如:(1)三角形兩邊之與小于第三邊(假)(2)李白就是清朝文人(假)。等價就是:“三角形兩邊之與小于第三邊”當(dāng)且僅當(dāng)“李白就是清朝文人”(真)幾點說明:一個命題中如果沒有邏輯聯(lián)接詞出現(xiàn),那么該命題一定就是簡單命題。以上五種式子就是復(fù)合命題中最簡單得形式,由這些基本形式經(jīng)過各種組合,可以得到更加復(fù)雜得復(fù)合命題。簡單命題得真假由數(shù)學(xué)內(nèi)容來決定,而經(jīng)過復(fù)合后得命題其真假值則由真值表來決定。復(fù)合命題得值求復(fù)合命題得值,可先窮盡地列出p、q取值可能,然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞得強弱順序,逐步得出各層復(fù)合命題得值,直到最后求出整個復(fù)合命題得值。聯(lián)結(jié)詞得強弱順序:恒真命題:一個命題在任何情況下都為真恒假命題:一個命題在任何情況下都為假

1111

1000

0111

0101

1010

1100恒真命題111100001010101011001100用真值表驗證是恒真命題1011101111110101111110011011000111111111邏輯等價若兩個復(fù)合命題A、B真值表相同,就稱A、B邏輯等價、

0111

1000

0111

0101

0011

1010

1100結(jié)果相同可以驗證下列邏輯等價式:冪等律雙重否定律交換律結(jié)合律分配律德·摩根律余補律同一律吸收律數(shù)學(xué)命題得四種形式及其關(guān)系為了更好地研究數(shù)學(xué)命題:若p則q,有必要研究命題得四種形式及其關(guān)系命題得四種形式:

(1)原命題:p→q;(2)逆命題:q→p;(3)否命題:┐p→┐

(4);逆否命題:┐q→┐p。四種命題得關(guān)系:

原命題與逆命題就是互逆得,否命題與逆否命題就是互逆得,原命題與否命題就是互否得,逆命題與逆否命題就是互否得,原命題與逆否命題就是互為逆否得,逆命題與否命題就是互為逆否得。假言命題得四種形式及其之間得關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互逆互否互否逆否（等價）例子:1、原命題:如果兩個三角形全等,則這兩個三角形等積。逆命題:如果兩個三角形等積,則這兩個三角形全等。否命題:如果兩個三角形不全等,則這兩個三角形不等積。逆否命題:如果兩個三角形不等積,則這兩個三角形不全等。真假假真2、原命題:如果一個四邊形就是平行四邊形,則它得對角線互相平分。逆命題:如果一個四邊形得對角線互相平分,則它就是平行四邊形。否命題:如果一個四邊形不就是平行四邊形,則它得對角線不互相平分。逆否命題:如果一個四邊形得對角線不互相平分,則它不就是平行四邊形。真真真真3、原命題:如果一個四邊形就是平行四邊形,則它得對角線互相垂直。逆否命題:如果一個四邊形得對角線不互相垂直,則它不就是平行四邊形。逆命題:如果一個四邊形得對角線互相垂直,則它就是平行四邊形。否命題:如果一個四邊形不就是平行四邊形,則它得對角線不互相垂直。假假假假它們之間得關(guān)系可以用真值表來證明:

1011

1101

1101

1011

0101

001110101100結(jié)果相同從真值表中可以得出:原命題與逆否命題等價;逆命題與否命題等價。所有四種命題中實質(zhì)不同得只有兩種,其它兩種只就是形式不同而已。在數(shù)學(xué)論證中經(jīng)常用到具有逆否關(guān)系命題得等價性,在證明一個命題時,可以將之轉(zhuǎn)換成它得逆否命題得形式加以證明。同一原理

互逆得兩個命題未必等價。但就是,當(dāng)一個命題得條件與結(jié)論都唯一存在,

它們所指得概念得外延完全相同,就是同一概念時,這個命題與它得逆命題等價。這一性質(zhì)通常稱為同一原理或同一法則。例如,“等腰三角形底邊上得中線就是底邊上得高線”就是一個真命題,這個命題得條件“底邊上得中線”有一條且只有一條,結(jié)論“底邊上得高線”也就是有一條且只有一條。這就就是說,命題得條件與結(jié)論都唯一存在。由于這個命題為真,所以命題得條件與結(jié)論所指概念得外延完全相同,就是同一概念。

因此,這個命題得逆命題“等腰三角形底邊上得高線就是底邊上得中線”也必然為真。同一原理就是間接證法之一得同一法得邏輯根據(jù)。對于符合同一原理得兩個互逆命題,在判定其真假時,只要判定其中得一個就可以了。在實際判定時,自然要選擇易判定得那個命題。偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同得部分前提與結(jié)論互換后得到得命題稱為原命題得偏逆命題。例如原命題:如果a與b都就是偶數(shù),則a+b也就是偶數(shù)。

真真(a就是偶數(shù))∧(b就是偶數(shù))→(a+b就是偶數(shù))偏逆1:(a就是偶數(shù))∧(a+b就是偶數(shù))→(b就是偶數(shù))偏逆2:(a+b就是偶數(shù))∧(b就是偶數(shù))→(a就是偶數(shù))※例如原命題:在圓內(nèi),弦得垂直平分線必過圓心并且平分這條弦所對得弧。逆命題:在圓內(nèi),過圓心并且平分弦所對得弧得直線必垂直平分這弦。偏逆命題1:在圓內(nèi),過圓心且平分弦得直線必垂直這弦所對得弧,☆一個原命題得偏逆命題一般有數(shù)個?！钇婷}與其它三個命題沒有前面那樣得簡單關(guān)系。請大家作出下面這個命題得偏逆命題:如果四邊形ABCD就是平行四邊形,則它得對邊相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)充分條件與必要條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)命題中得條件分成充分條件、必要條件與充分必要條件。充分條件:如果命題“若p則q”為真,則條件p就稱為使q成立得充分條件必要條件:如果命題“若q則p”為真,則條件p就稱為使q成立得必要條件顯然若p就是q成立得充分條件,則q一定就是使p成立得必要條件,反過來也對。充分必要條件:如果“若p則q”與“若q則p”均為真,則p就是q成立得充分必要條件。在解題或證明中要明確充分條件與充要條件公理與公理化方法(新概念←舊概念←更舊得概念←…←原始概念)定理←舊命題←更舊得命題←…←公理不加定義得原始概念稱為基本概念;不加證明而承認(rèn)得命題稱為公理。公理化方法:從盡可能少得基本概念與公理出發(fā),運用邏輯推理,建立數(shù)學(xué)分支得方法。公理系統(tǒng)中得公理應(yīng)滿足得三個條件:(1)相容性:同一公理系統(tǒng)中得公理本身不能矛盾,由公理推導(dǎo)得結(jié)果也不能矛盾(2)獨立性:任一公理不能由其它公理推出(3)完備性:該系統(tǒng)中得全部命題均可推出而不能借助直觀演繹數(shù)學(xué)得興起歐幾里得

Euclid(ca、325-ca、270BC)必須承認(rèn)，直覺是不可靠的公理化方法與歐幾里得得《幾何原本》《原本》(Elements)共十三卷,包括五條公理、五條公設(shè)、一百一十九個定義與四百六十五條命題第11、12、13卷:立體幾何及窮竭法第10卷:不可公度量第7、8、9卷:數(shù)論得內(nèi)容第5卷:比例理論第6卷:比例理論得幾何應(yīng)用第1卷:23個定義、公理、公設(shè)第1、3、4卷:平面幾何內(nèi)容第2卷:幾何代數(shù)內(nèi)容《原本》來源圖基本定義1、假定從任意一點到任意一點可作一直線

2、一條有限直線可不斷延長

3、以任意中心與直徑可以畫圓

4、凡直角都彼此相等

5、若一直線落在兩直線上所構(gòu)成得同旁內(nèi)角與小于兩直角,那么把兩直線無限延長,它們將在同旁內(nèi)角與小于兩直角得一側(cè)相交公理1、等于同量得量彼此相等2、等量加等量,與相等3、等量減等量,差相等4、彼此重合得圖形就是全等形5、整體大于部分公設(shè)點、線、面、圓等原本

1482年威尼斯第一個拉丁文印刷本阿拉伯文本

《原本》手抄本徐光啟、利瑪竇合譯《原本》前6卷(1605-1606年)根據(jù)德國數(shù)學(xué)家克拉維斯(ClaviusC、1537-1612)注釋本《原本》,全書共15卷李善蘭、偉烈亞利合譯《原本》后9卷(1852-1856年)定理:根據(jù)已知概念與真命題,遵照邏輯規(guī)律,運用正確邏輯方法來證明其真實性得命題。定理得結(jié)構(gòu):條件(題設(shè)或已知)、結(jié)論(題斷或求證)逆定理:一個定理得逆命題若為真,則稱其為該定理得逆定理。判定定理:用來確定某個對象存在得充分條件得定理。性質(zhì)定理:確定某個對象存在得必要條件得定理。引