江西高考03年數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B?A，則a的值為？

A.1

B.1或2

C.-1或-2

D.0或1

3.不等式|2x-1|<3的解集是？

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

4.已知點A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是？

A.x-y=1

B.x+y=3

C.x-y=-1

D.x+y=-1

5.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，則a?的值為？

A.11

B.12

C.13

D.14

7.拋擲兩個均勻的骰子，點數(shù)之和為7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

8.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.已知直線l?:2x+y=1和直線l?:ax-y=2，若l?平行于l?，則a的值為？

A.2

B.-2

C.1/2

D.-1/2

10.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=2，則AB的值為？

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是？

A.y=32?

B.y=log?/?x

C.y=-x2+1

D.y=√(x+1)

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，下列命題正確的是？

A.若a>0，則函數(shù)圖像開口向上

B.若b=0，則函數(shù)圖像關于y軸對稱

C.若Δ=b2-4ac<0，則函數(shù)圖像與x軸無交點

D.若a<0，則函數(shù)的最小值為(c-b2/4a)

3.下列命題中，正確的是？

A.命題“p或q”為真，則p、q中至少有一個為真

B.命題“p且q”為假，則p、q中至少有一個為假

C.命題“非p”為真，則p為假

D.命題“若p則q”為假，則p為假

4.已知三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是AB、AC、AD、BC的中點，則下列結論正確的是？

A.四邊形EFGH是平行四邊形

B.四邊形EFGH是矩形

C.四邊形EFGH是菱形

D.四邊形EFGH是正方形

5.已知圓O?:x2+y2=4和圓O?:(x-2)2+(y-1)2=1，則下列結論正確的是？

A.兩圓相切

B.兩圓相交

C.兩圓相離

D.兩圓內(nèi)含

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為________。

2.在等比數(shù)列{a?}中，a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項公式a?=________。

3.已知向量a=(1,k)，向量b=(3,-2)，若a⊥b，則實數(shù)k的值為________。

4.圓x2+y2-6x+4y-12=0的圓心到直線2x-y+5=0的距離為________。

5.執(zhí)行以下算法語句：

S=0

i=1

WHILEi<=10

S=S+i

i=i+2

WEND

則S的值為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)在區(qū)間[-1,4]上的最大值和最小值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=√7，c=2，求角B的大小（用反三角函數(shù)表示）。

4.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a?，并判斷它是否為等差數(shù)列。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，解得x>1，即定義域為(1,+∞)。

2.B

解析：集合A={1,2}。若B=?，則B?A恒成立，此時a=0。若B≠?，則B={1}或B={2}，由ax=1得a=1或a=1/2，但a=1/2時B={2}?A，故a=1或a=1/2。綜上，a=1或a=2。

3.A

解析：|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

4.C

解析：線段AB的中點M為(2,1)，k_AB=(0-2)/(3-1)=-1，故垂直平分線的斜率為1。由點斜式方程得y-1=1(x-2)，即x-y=1。

5.A

解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

6.C

解析：a?=a?+4d=2+4*3=14。

7.A

解析：總共有6*6=36種等可能結果，點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，故概率為6/36=1/6。

8.C

解析：圓方程化為標準式：(x-2)2+(y+3)2=10，圓心坐標為(2,-3)。

9.A

解析：直線l?的斜率k?=-2。l?平行于l?，則l?的斜率k?=-2，即a*(-1)=-2，解得a=2。

10.B

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得AB/sin60°=BC/sin45°，即AB/√3/2=2/√2，解得AB=2√2*(√3/2)/(√2/2)=√6*√2/√2=√12=2√3。

二、多項選擇題答案及解析

1.AD

解析：y=3?是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，單調(diào)遞增。y=log?/?x是指數(shù)函數(shù)底數(shù)為1/2小于1，單調(diào)遞減。y=-x2+1是開口向下的拋物線，先增后減。y=√(x+1)在定義域(-1,+∞)上單調(diào)遞增。

2.ABC

解析：二次函數(shù)開口方向由a決定，a>0開口向上，a<0開口向下，故A對。若b=0，則函數(shù)圖像關于y軸對稱，即f(-x)=f(x)，故B對。Δ=b2-4ac表示判別式，Δ<0時方程無實根，即圖像與x軸無交點，故C對。若a<0，函數(shù)開口向下，有最大值，為-c+b2/4a，不是最小值，故D錯。

3.ABC

解析：根據(jù)邏輯運算規(guī)則，“p或q”為真，只要p真或q真或都真，“至少有一個為真”正確，故A對?！皃且q”為假，表示p假或q假或都假，“至少有一個為假”正確，故B對。非p為真，即p為假，故C對。“若p則q”為假，即p真q假，此時p不一定為假，故D錯。

4.A

解析：在空間中，連接三角形中點的線段平行且等于第三邊的一半。連接頂點與對邊中點的線段也平行且等于第三邊的一半。因此，四邊形EFGH中，EF平行且等于GH，F(xiàn)G平行且等于HE。由平行四邊形定義，四邊形EFGH是平行四邊形。無法判斷是否矩形、菱形或正方形，除非給出角度或邊長相等的額外條件。

5.B

解析：圓O?:x2+y2=4的圓心O?(0,0)，半徑r?=2。圓O?:(x-2)2+(y-1)2=1的圓心O?(2,1)，半徑r?=1。計算圓心距|O?O?|=√((2-0)2+(1-0)2)=√(4+1)=√5。由于r?-r?<|O?O?|<r?+r?，即2-1<√5<2+1，即1<√5<3，所以兩圓相交。

三、填空題答案及解析

1.-2

解析：f'(x)=3ax2-3。由題意，x=1處取得極值，則f'(1)=0，即3a*12-3=0，解得a=1。檢驗：f''(x)=6ax。f''(1)=6a=6。若a=1，f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點，符合題意。若a=-1，f''(1)=-6<0，故x=1處為極大值點，也符合題意。但由f'(1)=0得a=1或a=-1。若a=-1，則f(x)=-x3-3x+1，f'(x)=-3x2-3，f'(-1)=0，且f''(-1)=-6<0，x=-1處為極大值點，符合題意。若a=1，則f(x)=x3-3x+1，f'(x)=3x2-3，f'(1)=0，且f''(1)=6>0，x=1處為極小值點，符合題意。題目問的是a的值，通常指使得x=1處取得極值的最小a值，或者是指使得f'(1)=0的a值。從f'(x)=3x2-3=0得x=±1。題目條件是x=1處取得極值，故對應a=1。或者理解為a的值使得x=1是極值點，a=1和a=-1都滿足。題目沒有明確說明是極大值還是極小值，兩種情況a都可能。但通常選擇題或填空題會有唯一解，可能默認極小值，或者題目有誤。按照最常見的理解，a=1。但嚴格來說，a=1或a=-1都使得x=1是極值點。如果必須填一個，可以選1。但更嚴謹?shù)拇鸢笐瑑煞N情況。這里按a=1回答，并注明可能存在歧義。

2.2*3^(n-1)

解析：a?=a?*q^(n-1)。由a?=6=a?*3^(2-1)=a?*3，得a?=2。由a?=162=a?*3^(5-1)=2*3?=2*81=162，驗證a?=2正確。故a?=2*3^(n-1)。

3.-3/2

解析：向量a⊥b，則a·b=0。a·b=(1,k)·(3,-2)=1*3+k*(-2)=3-2k。令3-2k=0，解得k=3/2。

4.2√5

解析：圓心(3,-2)到直線2x-y+5=0的距離d=|2*3-(-2)+5|/√(22+(-1)2)=|6+2+5|/√5=13/√5=13√5/5=2√5。

5.25

解析：S=1+3+5+...+19。這是一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列，最后一項a?=19。項數(shù)n=(a?-a?)/d+1=(19-1)/2+1=18/2+1=9+1=10。等差數(shù)列前n項和S?=n/2*(a?+a?)=10/2*(1+19)=5*20=100。

四、計算題答案及解析

1.解：令2?=t，則t>0。原方程變?yōu)閠2-5t+2=0。解一元二次方程得t=(5±√(25-8))/2=(5±√17)/2。因為t=2?>0，舍去t=(5-√17)/2（此值小于1）。故t=(5+√17)/2。所以2?=(5+√17)/2。取對數(shù)得x=log?((5+√17)/2)。

2.解：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x?=0，x?=2。f(x)在[-1,4]上的駐點為x=0,2。端點為x=-1,4。計算函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(4)=43-3(4)2+2=64-48+2=18。比較可得，最大值為18，最小值為-2。

3.解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得sinB=b*sinA/a=√7*sin60°/3=√7*(√3/2)/3=√21/6。因為a>b，所以A>B，故B為銳角。B=arcsin(√21/6)。

4.解：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x(x+1)+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x2+x)/(x+1)+(x+3)/(x+1)]dx=∫[x+(x+3)/(x+1)]dx=∫[x+1+2/(x+1)]dx=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2*ln|x+1|+C=x2/2+x+2ln(x+1)+C。

5.解：當n=1時，a?=S?=12+1=2。當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。對于n=1，a?=2，與2n（n=1時為2）一致。故通項公式a?=2n。該數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=a?-a???=2n-2(n-1)=2n-2n+2=2。

知識點總結：

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學的基礎知識，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、解析幾何、不等式、立體幾何和算法初步等內(nèi)容。

1.函數(shù)：包括函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值、最值以及函數(shù)圖像變換等。

2.三角函數(shù)：包括任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、和差角公式、倍角公式、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)等。

3.數(shù)列：包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、數(shù)列的遞推關系等。

4.向量：包括向量的概念、表示、線性運算（加減法、數(shù)乘）、數(shù)量積（點積）及其運算性質(zhì)和應用等。

5.解析幾何：包括直線方程（點斜式、斜截式、兩點式、一般式）、直線與直線的位置關系（平行、垂