數(shù)學(xué)橢圓高考題目及答案一、選擇題（共30分）1.（6分）若橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a>b>0\)，且橢圓的離心率為\(\frac{1}{2}\)，則下列哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.\(a=2b\)B.\(a=\sqrt{2}b\)C.\(b=\sqrt{2}a\)D.\(b=2a\)答案：B2.（6分）已知橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求其焦距。A.6B.8C.10D.12答案：B3.（6分）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為10，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為？A.5B.10C.15D.20答案：B4.（6分）橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的離心率e滿足\(e^2=\frac{1}{2}\)，求橢圓的離心率。A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)答案：B5.（6分）若橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)，求其短軸長(zhǎng)度。A.3B.5C.6D.9答案：A二、填空題（共20分）6.（5分）已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求橢圓的離心率。離心率e為______。答案：\(\frac{1}{2}\)7.（5分）若橢圓的長(zhǎng)軸為6，短軸為4，則橢圓的焦距為______。答案：48.（5分）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)，且橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為8，求橢圓的方程。方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a和b分別為______。答案：a=4,b=√39.（5分）若橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，求橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)。頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±______,0)和(0,±______）。答案：±4,±3三、解答題（共50分）10.（10分）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a=3，b=2，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，焦點(diǎn)到中心的距離c可以通過(guò)公式c=√(a^2-b^2)計(jì)算。將a和b的值代入公式，得到c=√(3^2-2^2)=√5。因此，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±√5,0)。11.（10分）已知橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求橢圓的離心率，并判斷該橢圓是長(zhǎng)軸在x軸上還是y軸上。解：首先計(jì)算離心率e，e=c/a，其中c=√(a^2-b^2)。將a=5，b=4代入公式，得到c=√(5^2-4^2)=3。因此，e=3/5。由于a>b，所以長(zhǎng)軸在x軸上。12.（10分）已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a=5，b=3，求橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)。解：橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式(±a,0)和(0,±b)得到。將a=5，b=3代入公式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0)和(0,±3)。13.（10分）已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\)，求橢圓的焦距。解：首先計(jì)算焦距c，c=√(a^2-b^2)。將a=6，b=√20代入公式，得到c=√(6^2-(√20)^2)=2√2。因此，焦距為2c=4√2。14.（10分）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a=4，b=2√3，求橢圓的離心率。解：首先計(jì)算離心率e，e=c/a，其中c=√(a^2-b^2)。將a=4，b=2√3代入公式，得到c=√(4^2-(2√3)^2)=√(16-12)=2。因此，e=2/4=1/2。四、綜合題（共50分）15.（20分）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a=5，b=3，求橢圓的離心率，并判斷該橢圓是長(zhǎng)軸在x軸上還是y軸上。解：首先計(jì)算離心率e，e=c/a，其中c=√(a^2-b^2)。將a=5，b=3代入公式，得到c=√(5^2-3^2)=4。因此，e=4/5。由于a>b，所以長(zhǎng)軸在x軸上。16.（15分）已知橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\)，求橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦距。解：首先計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式(±a,0)和(0,±b)得到。將a=6，b=√20代入公式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0)和(0,±√20)。接下來(lái)計(jì)算焦距c，c=√(a^2-b^2)。將a=6，b=√20代入公式，得到c=√(6^2-(√20)^2)=2√2。因此，焦距為2c=4√2。17.（15分）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a=4，b=2√3，求橢圓的離心率，并判斷該橢圓是長(zhǎng)軸在x軸上還是y軸上。解：首先計(jì)算離心率e，e=c/a，其中c=√(a^2-b^2)。將a=4，b=2√3代入公式，得到c=√(4^2-(2√3)^2)=2。因此，e=2/4=1/2。由于a>b，所以長(zhǎng)軸在x軸上。五、證明題（共50分）18.（25分）證明：若橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，則橢圓的離心率e滿足0<e<1。證明：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，離心率e定義為e=c/a，其中c為橢圓的焦距。由于橢圓的焦點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以0<c<a。因此，0<e=c/a<1。19.（25分）證明：若橢圓的方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，則橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±a,0)和(0,