數(shù)學(xué)競賽作文題目及答案一、選擇題（共40分）1.（5分）在數(shù)學(xué)競賽中，若一個數(shù)列的前n項和為S_n，且S_n=n^2+1，則數(shù)列的第n項a_n為：A.2n-1B.2nC.2n+1D.2n-2答案：B2.（5分）若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求f(-1)+f(1)的值：A.-1B.1C.3D.0答案：D3.（5分）已知等差數(shù)列{a_n}的前三項和為6，且a_1+a_3=4，求a_2的值：A.1B.2C.3D.4答案：B4.（5分）若一個圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，且d<r，求圓與直線相切時的d值：A.r/2B.rC.r/√2D.√(r^2-r^2)答案：C5.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點A(1,2)，B(4,6)，求線段AB的中點坐標(biāo)：A.(2.5,4)B.(3,4)C.(2,3)D.(1.5,3)答案：B6.（5分）若一個等比數(shù)列的前三項分別為1，2，4，求第四項的值：A.8B.16C.32D.64答案：A7.（5分）若一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，且f(0)=1，f(1)=3，f(-1)=3，求a的值：A.1B.2C.3D.4答案：B8.（5分）若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且a^2+b^2=c^2，求該三角形的形狀：A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形答案：B二、填空題（共30分）1.（5分）在數(shù)學(xué)競賽中，若一個數(shù)列的前n項和為S_n，且S_n=n^3-n，求數(shù)列的第n項a_n的通項公式為：a_n=______。答案：2n^2-3n+12.（5分）若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值：f(x)_min=______。答案：03.（5分）已知等差數(shù)列{a_n}的前三項和為6，且a_1+a_3=4，求等差數(shù)列的公差d：d=______。答案：14.（5分）若一個圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，且d<r，求圓與直線相交時的d取值范圍：0<d<______。答案：r5.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點A(1,2)，B(4,6)，求線段AB的斜率k_AB：k_AB=______。答案：26.（5分）若一個等比數(shù)列的前三項分別為1，2，4，求等比數(shù)列的公比q：q=______。答案：27.（5分）若一個二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，且f(0)=1，f(1)=3，f(-1)=3，求二次函數(shù)的對稱軸方程：x=______。答案：1三、解答題（共30分）1.（10分）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n^2+n，求數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。解：首先求出數(shù)列的第n項a_n，當(dāng)n=1時，a_1=S_1=2；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。當(dāng)n=1時，上式也成立，所以a_n=2n。由此可知，數(shù)列{a_n}的公差d=a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。2.（10分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求證f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。證明：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。當(dāng)x>0時，f'(x)>0；當(dāng)x<0時，f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)。綜上可知，f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。3.（10分）已知等差數(shù)列{a_n}的前三項和為6，且a_1+a_3=4，求等差數(shù)列的通項公式，并求出前10項和S_10。解：首先求出等差數(shù)列的首項a_1和公差d。由題意可知，a_1+a_2+a_3=6，a_1+a_3=4，解得a_1=1，a_3=3。由此可得公差d=(a_3-a_1)/2=1。所以等差數(shù)列的通項公式為a_n=a_1+(n-1)d=n。接下來求前10項和S_10，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，S_10=10(a_1+a_{10})/2=10(1+10)/2=55。四、證明題（共20分）1.（10分）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n^2+n，求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。證明：首先求出數(shù)列的第n項a_n，當(dāng)n=1時，a_1=S_1=2；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。當(dāng)n=1時，上式也成立，所以a_n=2n。由此可知，數(shù)列{a_n}的公差d=a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。2.（10分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求證f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。證明：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。當(dāng)x>0時，f'(x)>0；當(dāng)x<0時，f'(x)<0。所以函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)。綜上可知，f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。3.（10分）已知等差數(shù)列{a_n}的前三項和為6，且a_1+a_3=4，求證等差數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n。證明：首先求出等差數(shù)列的首項a_1和公差d。由題意可知，a_1+a_2+a_3=6，a_1+a_3=4，解得a_1=1，a_3=3。由此可得公差d=(a_3-a_1)/2=1。所以等差數(shù)列的通項公式為a_n=a_1+(n-1)d=n。4.（10分）已知二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，且f(0)=1，f(1)=3，f(-1)=3，求證二次函數(shù)的對稱軸方程為x=1。證明：