數(shù)學(xué)二的題目及答案詳解一、選擇題（每題4分，共20分）1.極限的定義中，如果函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x=a的極限存在，那么對(duì)于任意的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有|f(x)-L|<ε。以下哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？A.極限值L是唯一的B.極限值L可以是多個(gè)C.極限值L不存在D.極限值L可以是任意實(shí)數(shù)答案：A2.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)嗎？A.是B.不是C.在[-1,0]上是增函數(shù)，在[0,1]上是減函數(shù)D.在[-1,0]上是減函數(shù)，在[0,1]上是增函數(shù)答案：D3.以下哪個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)？A.f(x)=x^3B.f(x)=x^2C.f(x)=|x|D.f(x)=x^2-1答案：B4.以下哪個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)？A.f(x)=e^xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=ln(x)D.f(x)=x^2答案：B5.以下哪個(gè)積分是收斂的？A.∫(0,1)1/xdxB.∫(1,+∞)1/x^2dxC.∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dxD.∫(0,+∞)1/xdx答案：B二、填空題（每題4分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)是_________。答案：3x^2-32.函數(shù)f(x)=e^x的不定積分是_________。答案：e^x+C3.函數(shù)f(x)=sin(x)的原函數(shù)是_________。答案：-cos(x)+C4.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的定積分是_________。答案：1/35.函數(shù)f(x)=x^2+2x+1的極小值點(diǎn)是_________。答案：-1三、解答題（每題10分，共30分）1.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+11x-6的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-12x+11。令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。當(dāng)x<1或x>11/3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1<x<11/3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以函數(shù)在(-∞,1)和(11/3,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,11/3)上單調(diào)遞減。極小值點(diǎn)為x=11/3，極大值點(diǎn)為x=1。2.求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的零點(diǎn)。解：令f(x)=0，即x^2-4x+3=0。這是一個(gè)二次方程，可以因式分解為(x-1)(x-3)=0。所以零點(diǎn)為x=1和x=3。3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x的不定積分。解：∫(x^3-3x)dx=(1/4)x^4-(3/2)x^2+C。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間(-∞,+∞)上是偶函數(shù)。證明：對(duì)于任意x∈(-∞,+∞)，有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。所以f(x)是偶函數(shù)。2.證明函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù)。證明：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=e^x。由于e^x>0對(duì)于所有x∈(-∞,+∞)都成立，所以f'(x)>0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)。所以f(x)=e^x在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù)。五、綜合題（每題10分，共20分）1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求在區(qū)間[0,2]上的定積分，并求出曲線y=f(x)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：首先求定積分∫(0,2)(x^2-4x+3)dx=(1/3)x^3-2x^2+3x|(0,2)=(8/3-8+6)-0=2/3。然后求與x軸的交點(diǎn)，即令f(x)=0，解得x=1或x=3。由于x∈[0,2]，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求導(dǎo)數(shù)f'(x)，并判斷函數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上的單調(diào)性。解：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單