九年級數(shù)學(xué)一元一次方程復(fù)習(xí)題集前言一元一次方程是初中數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)，是建立“方程思想”、培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建模能力”的起點(diǎn)。九年級復(fù)習(xí)中，需重點(diǎn)鞏固基本解法、概念辨析，并強(qiáng)化其與實(shí)際問題、函數(shù)/不等式的綜合應(yīng)用。本習(xí)題集圍繞“基礎(chǔ)-能力-綜合-拓展”梯度設(shè)計(jì)，覆蓋中考常見考點(diǎn)，助力學(xué)生系統(tǒng)梳理、提升解題能力。一、知識(shí)梳理1.定義與標(biāo)準(zhǔn)形式一元一次方程：只含1個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)次數(shù)為1，且等號兩邊均為整式的方程。示例：\(3x-5=0\)（是）；\(\frac{1}{x}+2=3\)（否，分式方程）；\(x^2+1=0\)（否，二次方程）。標(biāo)準(zhǔn)形式：\(ax+b=0\)（\(a\)、\(b\)為常數(shù)，\(a\neq0\)）。注：若\(a=0\)，則方程變?yōu)閈(b=0\)——\(b=0\)時(shí)有無窮多解，\(b\neq0\)時(shí)無解。2.解法步驟與易錯(cuò)點(diǎn)步驟操作要點(diǎn)易錯(cuò)提醒去分母兩邊同乘分母最小公倍數(shù)勿漏乘常數(shù)項(xiàng)（如\(\frac{x}{2}+1=3\)→\(x+2=6\)）去括號分配律展開，注意符號括號前負(fù)號，括號內(nèi)變號（如\(-2(x-3)=-2x+6\)）移項(xiàng)含未知數(shù)項(xiàng)左移，常數(shù)項(xiàng)右移移項(xiàng)必變號（如\(3x+5=2x-1\)→\(3x-2x=-1-5\)）合并同類項(xiàng)化簡為\(ax=b\)形式系數(shù)相加，字母及次數(shù)不變（如\(2x+3x=5x\)）系數(shù)化為1兩邊同除以\(a\)（\(a\neq0\)）系數(shù)為負(fù)時(shí)，符號同步改變（如\(-3x=6\)→\(x=-2\)）3.應(yīng)用類型行程問題：路程=速度×?xí)r間（相遇：\(s_甲+s_乙=s_總\)；追及：\(s_快-s_慢=s_差\)）。工程問題：工作量=效率×?xí)r間（合作：\(效率和×?xí)r間=總工作量\)，常設(shè)總工作量為1）。利潤問題：利潤=售價(jià)-成本；利潤率=（利潤/成本）×100%。濃度問題：溶質(zhì)=溶液×濃度（稀釋/濃縮后溶質(zhì)質(zhì)量不變）。二、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.概念辨析（選擇題）（1）下列方程中，屬于一元一次方程的是（）A.\(x+y=5\)B.\(x^2-2x=0\)C.\(\frac{x}{3}-1=2\)D.\(\frac{1}{x}=3\)（2）方程\(2x-1=3\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=-1\)D.\(x=-2\)2.基本解法（填空題）（1）解\(3(x-2)=9\)，得\(x=\_\_\_\_\)。（2）解\(\frac{x-1}{2}=3\)，得\(x=\_\_\_\_\)。3.基本解法（解答題）（1）\(4x+5=2x-1\)；（2）\(\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{2}=1\)。三、能力提升訓(xùn)練1.參數(shù)方程（解答題）（1）關(guān)于\(x\)的方程\(kx+3=2(x-1)\)有唯一解，求\(k\)的取值范圍。（2）若方程\(2x+a=3(x-1)\)的解為正數(shù)，求\(a\)的取值范圍。2.絕對值方程（解答題）（1）\(|3x-2|=5\)；（2）\(|x+1|=2x-1\)。3.解的條件問題（解答題）（1）若方程\(2x-1=3m\)與\(3x+2=m\)的解相同，求\(m\)的值。（2）若方程\(ax+1=2x-3\)的解為整數(shù)，求整數(shù)\(a\)的取值范圍。四、綜合應(yīng)用訓(xùn)練1.行程問題（1）甲、乙兩車從相距\(s\)千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行40千米，3小時(shí)后相遇，求\(s\)。（2）小明步行上學(xué)每小時(shí)行5千米，遲到10分鐘；騎車每小時(shí)行15千米，早到20分鐘，求家到學(xué)校的距離。2.工程問題（1）甲單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需10天，乙需15天，兩人合作需多少天？（2）原計(jì)劃每天修120米，實(shí)際每天多修30米，提前5天完成，求工程總量。3.利潤問題（1）商品進(jìn)價(jià)100元，售價(jià)150元，打8折出售，求每件利潤及利潤率。（2）每件盈利20元時(shí)每天售50件，每降價(jià)1元多售10件，若每天盈利1200元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？4.濃度問題（1）20%的鹽水500克，加多少水稀釋為10%的鹽水？（2）10%的鹽水200克，加多少鹽濃縮為20%的鹽水？五、拓展探究訓(xùn)練1.與函數(shù)結(jié)合（1）一次函數(shù)\(y=3x+2\)與\(y=kx-1\)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求\(k\)。（2）直線\(y=2x+b\)與x軸交于(3,0)，求方程\(2x+b=0\)的解。2.與不等式結(jié)合（1）方程\(3x-a=0\)的解大于2，求\(a\)的取值范圍。（2）方程\(2x+1=m\)的解不小于-1，求\(m\)的取值范圍。3.方案選擇問題（1）方案一：每件25元，超過10件部分打7折；方案二：每件22元。購買多少件時(shí)方案一更劃算？（2）套餐A：月租30元，通話費(fèi)0.2元/分鐘；套餐B：無月租，0.5元/分鐘。每月通話多少分鐘時(shí)套餐A更劃算？六、答案與解析二、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.（1）C（解析：A含兩個(gè)未知數(shù)，B是二次方程，D是分式方程）；（2）B（解析：\(2x=4\)→\(x=2\)）。2.（1）5（解析：\(3x-6=9\)→\(3x=15\)→\(x=5\)）；（2）7（解析：\(x-1=6\)→\(x=7\)）。3.（1）解：移項(xiàng)得\(4x-2x=-1-5\)，合并得\(2x=-6\)，系數(shù)化為1得\(x=-3\)。（2）解：去分母（乘6）得\(2(2x+1)-3(x-1)=6\)，去括號得\(4x+2-3x+3=6\)，合并得\(x+5=6\)，移項(xiàng)得\(x=1\)。三、能力提升訓(xùn)練1.（1）解：整理得\((k-2)x=-5\)，有唯一解需\(k-2\neq0\)→\(k\neq2\)。（2）解：整理得\(x=3+a\)，解為正數(shù)→\(3+a>0\)→\(a>-3\)。2.（1）解：分兩種情況：\(3x-2=5\)→\(x=\frac{7}{3}\)；\(3x-2=-5\)→\(x=-1\)。檢驗(yàn)均符合，解為\(x=\frac{7}{3}\)或\(x=-1\)。（2）解：分情況討論：\(x+1\geq0\)（\(x\geq-1\)）→\(x+1=2x-1\)→\(x=2\)（符合）；\(x+1<0\)（\(x<-1\)）→\(-(x+1)=2x-1\)→\(x=0\)（舍去）。解為\(x=2\)。3.（1）解：由\(2x-1=3m\)得\(x=\frac{3m+1}{2}\)，由\(3x+2=m\)得\(x=\frac{m-2}{3}\)，聯(lián)立得\(\frac{3m+1}{2}=\frac{m-2}{3}\)→\(m=-1\)。（2）解：整理得\((a-2)x=-4\)，解為整數(shù)→\(a-2\)是-4的因數(shù)→\(a=3,1,4,0,6,-2\)。四、綜合應(yīng)用訓(xùn)練1.（1）解：\(60×3+40×3=s\)→\(s=300\)（千米）。（2）解：設(shè)距離為\(x\)千米，10分鐘=1/6小時(shí)，20分鐘=1/3小時(shí)，列方程\(\frac{x}{5}-\frac{1}{6}=\frac{x}{15}+\frac{1}{3}\)→\(x=\frac{15}{4}\)（千米）。2.（1）解：設(shè)合作需\(x\)天，\(\frac{1}{10}x+\frac{1}{15}x=1\)→\(x=6\)（天）。（2）解：設(shè)原計(jì)劃\(x\)天完成，\(120x=150(x-5)\)→\(x=25\)，總量=120×25=3000（米）。3.（1）解：售價(jià)=150×0.8=120（元），利潤=____=20（元），利潤率=20/100×100%=20%。（2）解：設(shè)降價(jià)\(x\)元，\((20-x)(50+10x)=1200\)→\(x2-15x+20=0\)→\(x=\frac{15±\sqrt{145}}{2}\)（約1或14）。4.（1）解：溶質(zhì)=500×20%=100（克），稀釋后溶液=100÷10%=1000（克），加水=____=500（克）。（2）解：設(shè)加\(x\)克鹽，\(200×10%+x=(200+x)×20%\)→\(x=25\)（克）。五、拓展探究訓(xùn)練1.（1）解：交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入\(y=3x+2\)得\(y=8\)，再代入\(y=kx-1\)得\(8=2k-1\)→\(k=\frac{9}{2}\)。（2）解：直線與x軸交于(3,0)，即\(y=0\)時(shí)\(x=3\)，故方程解為\(x=3\)。2.（1）解：\(x=\frac{a}{3}\)，解大于2→\(\frac{a}{3}>2\)→\(a>6\)。（2）解：\(x=\frac{m-1}{2}\)，解不小于-1→\(\frac{m-1}{2}\geq-1\)→\(m\geq-1\)。3.（1）解：設(shè)購買\(x\)件，方案一費(fèi)用：\(250+17.5(x-10)\)（\(x>10\)），方案二費(fèi)用：22x。列不等式\(250+17.5(x-10)<22x\)→\(x>16.67\)，故\(x\geq17\)時(shí)方案一更