中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)及典型例題一、函數(shù)的核心概念：映射與對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基石，其本質(zhì)是非空數(shù)集之間的映射：設(shè)集合\(A\)、\(B\)為非空數(shù)集，若對(duì)\(A\)中每一個(gè)元素\(x\)，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則\(f\)，在\(B\)中都有唯一元素\(y\)與之對(duì)應(yīng)，則稱\(f:A→B\)為函數(shù)，記作\(y=f(x)\)。關(guān)鍵強(qiáng)調(diào)點(diǎn)：唯一性：每一個(gè)\(x\)對(duì)應(yīng)唯一\(y\)（如\(y^2=x\)不是函數(shù)，因\(x=1\)對(duì)應(yīng)\(y=±1\)）；定義域：\(A\)是函數(shù)的定義域，是函數(shù)存在的前提；對(duì)應(yīng)法則：\(f\)是函數(shù)的核心，決定了\(x\)與\(y\)的關(guān)系（如\(f(x)=x^2\)與\(f(t)=t^2\)是同一函數(shù)，因?qū)?yīng)法則相同）。典型例題1：判斷是否為函數(shù)下列關(guān)系中，是函數(shù)的有（）①\(y=\sqrt{x-1}\)；②\(y^2=x\)；③\(y=\begin{cases}x,&x≥0\\-x,&x<0\end{cases}\)；④\(y=|x|\)。解析：①③④是函數(shù)（滿足唯一性）；②不是（\(x=1\)對(duì)應(yīng)兩個(gè)\(y\)值）。二、函數(shù)的基礎(chǔ)要素：定義域與值域定義域和值域是函數(shù)的“邊界”，定義域決定了函數(shù)的存在范圍，值域是函數(shù)值的集合，兩者均需通過(guò)約束條件或?qū)?yīng)法則推導(dǎo)。（一）定義域：函數(shù)的“輸入范圍”常見(jiàn)約束條件：分式：分母≠0（如\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，定義域\(x≠1\)）；偶次根式：被開(kāi)方數(shù)≥0（如\(f(x)=\sqrt{x+2}\)，定義域\(x≥-2\)）；對(duì)數(shù)：真數(shù)>0（如\(f(x)=\log_2(x-3)\)，定義域\(x>3\)）；三角函數(shù)：\(\tanx\)的定義域\(x≠kπ+\frac{π}{2}\)（\(k∈Z\)），\(\cotx\)的定義域\(x≠kπ\(zhòng))（\(k∈Z\)）；復(fù)合函數(shù)：\(f(g(x))\)的定義域是\(g(x)\)的值域滿足\(f\)的定義域（如\(f(x)=\sqrt{x}\)，則\(f(g(x))=\sqrt{g(x)}\)的定義域是\(g(x)≥0\)）。典型例題2：求復(fù)合函數(shù)定義域已知\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([1,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定義域。解析：\(f(t)\)的定義域?yàn)閈([1,3]\)，即\(t∈[1,3]\)，故\(2x-1∈[1,3]\)，解得\(x∈[1,2]\)。因此\(f(2x-1)\)的定義域?yàn)閈([1,2]\)。（二）值域：函數(shù)的“輸出范圍”值域是函數(shù)值的集合，求值域的核心是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的基本函數(shù)（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等），常用方法如下：方法適用類型示例**配方法**二次函數(shù)或可配方為二次函數(shù)的函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)（配方得\((x-1)^2+2\)，值域\([2,+∞)\)）**換元法**含根號(hào)、三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)\(f(x)=x+\sqrt{1-x}\)（令\(t=\sqrt{1-x}\)，轉(zhuǎn)化為\(-t^2+t+1\)，值域\((-∞,\frac{5}{4}]\)）**判別式法**分式二次函數(shù)（如\(\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)）\(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)（變形為\((y-1)x^2+(y+1)=0\)，判別式≥0得\(y≠1\)）**單調(diào)性法**單調(diào)函數(shù)或復(fù)合單調(diào)函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)（在\((0,1]\)遞減，\([1,+∞)\)遞增，值域\([2,+∞)\)）**有界性法**三角函數(shù)（如\(\sinx\)、\(\cosx\)）\(f(x)=\frac{1}{1+\sinx}\)（\(\sinx∈[-1,1)\)，值域\([\frac{1}{2},+∞)\)）典型例題3：換元法求值域求\(f(x)=2x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解析：令\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t≥0\)），則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\[f(t)=2·\frac{1-t^2}{2}+t=1-t^2+t=-(t^2-t)+1=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}.\]因\(t≥0\)，故當(dāng)\(t=\frac{1}{2}\)時(shí)，\(f(t)\)取最大值\(\frac{5}{4}\)，值域?yàn)閈((-∞,\frac{5}{4}]\)。三、函數(shù)的核心性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性函數(shù)的性質(zhì)是描述函數(shù)“變化規(guī)律”的關(guān)鍵，三者相互關(guān)聯(lián)，是解決函數(shù)問(wèn)題的重要工具。（一）單調(diào)性：函數(shù)的“增減趨勢(shì)”定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x_1<x_2∈I\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（遞增）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（遞減），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)。證明步驟（定義法）：1.取值：任取\(x_1<x_2∈I\)；2.作差：計(jì)算\(f(x_2)-f(x_1)\)；3.變形：通過(guò)因式分解、通分、配方等化簡(jiǎn)差式；4.定號(hào)：判斷差式的符號(hào)；5.結(jié)論：得出函數(shù)單調(diào)性。典型例題4：定義法證明單調(diào)性證明\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)上遞減。解析：任取\(0<x_1<x_2≤1\)，作差：\[f(x_2)-f(x_1)=\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)-\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right).\]因\(0<x_1<x_2≤1\)，故\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2<1\)，即\(1-\frac{1}{x_1x_2}<0\)，因此\(f(x_2)-f(x_1)<0\)，故\(f(x)\)在\((0,1]\)上遞減。（二）奇偶性：函數(shù)的“對(duì)稱性質(zhì)”定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)（圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）；若\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。關(guān)鍵提醒：定義域?qū)ΨQ是奇偶性的前提（如\(f(x)=x^2\)，\(x∈[0,1]\)不是偶函數(shù)，因定義域不對(duì)稱）；常函數(shù)\(f(x)=c\)（\(c≠0\)）是偶函數(shù)，\(f(x)=0\)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。典型例題5：奇偶性判斷判斷\(f(x)=\frac{x^3+\sinx}{x^2+1}\)的奇偶性。解析：定義域?yàn)閈(R\)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），計(jì)算\(f(-x)\)：\[f(-x)=\frac{(-x)^3+\sin(-x)}{(-x)^2+1}=\frac{-x^3-\sinx}{x^2+1}=-\frac{x^3+\sinx}{x^2+1}=-f(x).\]故\(f(x)\)是奇函數(shù)。（三）周期性：函數(shù)的“重復(fù)性質(zhì)”定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(D\)，若存在\(T>0\)，使得對(duì)任意\(x∈D\)，有\(zhòng)(x+T∈D\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為其周期（最小正周期是最小的\(T>0\)）。常見(jiàn)周期函數(shù)：三角函數(shù)：\(\sinx\)、\(\cosx\)周期為\(2π\(zhòng))，\(\tanx\)、\(\cotx\)周期為\(π\(zhòng))；復(fù)合函數(shù)：若\(f(x)\)周期為\(T\)，則\(f(ax+b)\)周期為\(\frac{T}{|a|}\)（如\(\sin2x\)周期為\(π\(zhòng))）。典型例題6：周期性應(yīng)用已知\(f(x)\)是周期為\(3\)的奇函數(shù)，且\(f(1)=2\)，求\(f(8)\)的值。解析：\(f(8)=f(3×2+2)=f(2)\)（周期為\(3\)），\(f(2)=f(3×1-1)=f(-1)\)（周期為\(3\)），又\(f(x)\)是奇函數(shù)，故\(f(-1)=-f(1)=-2\)，因此\(f(8)=-2\)。四、函數(shù)的圖像變換：連接表達(dá)式與圖像的橋梁函數(shù)圖像是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，圖像變換是將基本函數(shù)（如\(y=x^2\)、\(y=\sinx\)）轉(zhuǎn)化為復(fù)雜函數(shù)的關(guān)鍵工具，核心變換包括平移、伸縮、對(duì)稱。（一）平移變換（“左加右減，上加下減”）水平平移：\(y=f(x+a)\)（\(a>0\)向左平移\(a\)個(gè)單位，\(a<0\)向右平移\(|a|\)個(gè)單位）；垂直平移：\(y=f(x)+b\)（\(b>0\)向上平移\(b\)個(gè)單位，\(b<0\)向下平移\(|b|\)個(gè)單位）。（二）伸縮變換水平伸縮：\(y=f(kx)\)（\(k>0\)，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{k}\)；\(k<0\)，先關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱，再縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{|k|}\)）；垂直伸縮：\(y=af(x)\)（\(a>0\)，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的\(a\)倍；\(a<0\)，先關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱，再伸長(zhǎng)到原來(lái)的\(|a|\)倍）。（三）對(duì)稱變換關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱：\(y=-f(x)\)；關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱：\(y=f(-x)\)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：\(y=-f(-x)\)；關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱：\(y=f^{-1}(x)\)（反函數(shù)，需滿足一一對(duì)應(yīng)）。典型例題7：圖像變換綜合將\(y=\log_2x\)的圖像變換為\(y=-\log_2(2x-4)+1\)的圖像，步驟如下：1.水平平移：\(y=\log_2x→y=\log_2(x-2)\)（向右平移2個(gè)單位）；2.水平伸縮：\(y=\log_2(x-2)→y=\log_2(2(x-2))=\log_2(2x-4)\)（橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)）；3.對(duì)稱變換：\(y=\log_2(2x-4)→y=-\log_2(2x-4)\)（關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱）；4.垂直平移：\(y=-\log_2(2x-4)→y=-\log_2(2x-4)+1\)（向上平移1個(gè)單位）。五、常見(jiàn)函數(shù)類型：性質(zhì)與應(yīng)用中學(xué)階段的常見(jiàn)函數(shù)包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，其性質(zhì)是解決綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)。（一）一次函數(shù)：\(y=kx+b\)（\(k≠0\)）定義域：\(R\)；值域：\(R\)；單調(diào)性：\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減；圖像：直線，過(guò)點(diǎn)\((0,b)\)和\((-\frac{k},0)\)。（二）二次函數(shù)：\(y=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）定義域：\(R\)；值域：\(a>0\)時(shí)\([\frac{4ac-b2}{4a},+∞)\)，\(a<0\)時(shí)\((-∞,\frac{4ac-b2}{4a}]\)；對(duì)稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\((-\frac{2a},\frac{4ac-b2}{4a})\)；單調(diào)性：\(a>0\)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)遞減，右側(cè)遞增；\(a<0\)時(shí)相反。典型例題8：二次函數(shù)最值求\(f(x)=x2-2x+3\)在\(x∈[0,3]\)的值域。解析：配方得\(f(x)=(x-1)2+2\)，對(duì)稱軸為\(x=1\)（在區(qū)間內(nèi)）。最小值：\(f(1)=2\)；最大值：\(f(3)=6\)（端點(diǎn)值）；故值域?yàn)閈([2,6]\)。（三）指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）定義域：\(R\)；值域：\((0,+∞)\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過(guò)點(diǎn)\((0,1)\)，漸近線為\(x\)軸（\(x→-∞\)時(shí)，\(a>1\)則\(y→0\)；\(0<a<1\)則\(y→+∞\)）。（四）對(duì)數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）定義域：\((0,+∞)\)；值域：\(R\)；單調(diào)性：\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減；圖像：過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)，漸近線為\(y\)軸（\(x→0^+\)時(shí)，\(a>1\)則\(y→-∞\)；\(0<a<1\)則\(y→+∞\)）；反函數(shù)：與指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)互為反函數(shù)（圖像關(guān)于\(y=x\)對(duì)稱）。（五）三角函數(shù)：以\(\sinx\)、\(\cosx\)、\(\tanx\)為例函數(shù)定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性（區(qū)間）\(\sinx\)\(R\)\([-1,1]\)\(2π\(zhòng))奇函數(shù)\([-\frac{π}{2}+2kπ,\frac{π}{2}+2kπ]\)遞增；\([\frac{π}{2}+2kπ,\frac{3π}{2}+2kπ]\)遞減（\(k∈Z\)）\(\cosx\)\(R\)\([-1,1]\)\(2π\(zhòng))偶函數(shù)\([2kπ,π+2kπ]\)遞減；\([π+2kπ,2π+2kπ]\)遞增（\(k∈Z\)）\(\tanx\)\(x≠kπ+\frac{π}{2}\)\(R\)\(π\(zhòng))奇函數(shù)\((-\frac{π}{2}+kπ,\frac{π}{2}+kπ)\)遞增（\(k∈Z\)）典型例題9：三角函數(shù)值域求\(f(x)=2\sinx+1\)在\(x∈[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]\)的值域。解析：\(\sinx\)在\([\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]\)的取值范圍為\([\frac{1}{2},1]\)（\(\sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\sin\frac{π}{2}=1\)，\(\sin\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)），故\(2\sinx+1∈[2×\frac{1}{2}+1,2×1+1]=[2,3]\)，值域?yàn)閈([2,3]\)。六、函數(shù)綜合應(yīng)用：思想與方法函數(shù)綜合問(wèn)題通常涉及性質(zhì)融合（如單調(diào)性與奇偶性結(jié)合）、圖像變換（如復(fù)合函數(shù)圖像）、實(shí)際應(yīng)用（如最值問(wèn)題），核心是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題。（一）數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)函數(shù)圖像直觀理解性質(zhì)，如：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱；單調(diào)遞增函數(shù)圖像從左到右上升，單調(diào)遞減函數(shù)圖像從左到右下降；二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是最值點(diǎn)，對(duì)稱軸是對(duì)稱中心。（二）分類討論思想當(dāng)函數(shù)參數(shù)不確定時(shí)，需分類討論：指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)的單調(diào)性分\(a>1\)和\(0<a<1\)；二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)的開(kāi)口方向分\(a>0\)和\(a<0\)；絕對(duì)值函數(shù)\(y=|f(x)|\)需分\(f(x)≥0\)和\(f(x)<0\)討論。（三）轉(zhuǎn)化與化歸思想將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題：復(fù)合函數(shù)定義域轉(zhuǎn)化為內(nèi)層函數(shù)的值域；函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程\(f(x)=0\)的解；不等式\(f(x)>g(x)\)轉(zhuǎn)化為函數(shù)\(h(x)=f(x)-g(x)>0\)的解集。典型例題10：綜合應(yīng)用（單調(diào)性+奇偶性）已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，在\([0,+∞)\)上遞減，解不等