小學(xué)奧數(shù)余數(shù)專題培訓(xùn)課件一、余數(shù)的基本概念：從“分蘋果”說起（一）余數(shù)的定義把一些物品平均分配時，分完后剩下的、不能再繼續(xù)分配的部分就是余數(shù)。例如：10個蘋果分給3個小朋友，每個小朋友分3個（共分9個），剩下1個無法再分，這1個就是余數(shù)。用除法算式表示為：\(10\div3=3\)（商）……\(1\)（余數(shù)）。（二）除法算式的核心關(guān)系被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之間的關(guān)系是：\[\text{被除數(shù)}=\text{除數(shù)}\times\text{商}+\text{余數(shù)}\]（記牢這個公式，解決很多問題都要用到！）例如：上面的例子中，被除數(shù)10=除數(shù)3×商3+余數(shù)1。（三）余數(shù)的“鐵律”：必須小于除數(shù)余數(shù)是“分剩下的”，所以余數(shù)一定小于除數(shù)（否則還能繼續(xù)分）。反例：如果說\(10\div3=2\)……\(4\)，這是錯誤的——因為4比3大，還能再給每個小朋友分1個，所以正確結(jié)果是\(3\)……\(1\)?？偨Y(jié)：\(0\leq\text{余數(shù)}<\text{除數(shù)}\)（余數(shù)可以是0，此時表示剛好分完）。二、余數(shù)的核心性質(zhì)：運算中的“不變法則”余數(shù)的性質(zhì)是解決復(fù)雜余數(shù)問題的“工具”，掌握這些性質(zhì)能讓我們不用計算大數(shù)，直接求余數(shù)。（一）加法定理兩個數(shù)相加的余數(shù)，等于它們各自余數(shù)相加后的余數(shù)。公式：\((a+b)\divm\)的余數(shù)=\((a\divm\)的余數(shù)+\(b\divm\)的余數(shù)\()\divm\)的余數(shù)。例子：計算\((7+5)\div3\)的余數(shù)。\(7\div3=2\)……\(1\)（余數(shù)1）\(5\div3=1\)……\(2\)（余數(shù)2）余數(shù)相加：\(1+2=3\)，\(3\div3=1\)……\(0\)驗證：\(7+5=12\)，\(12\div3=4\)……\(0\)，正確。（二）乘法定理兩個數(shù)相乘的余數(shù)，等于它們各自余數(shù)相乘后的余數(shù)。公式：\((a\timesb)\divm\)的余數(shù)=\((a\divm\)的余數(shù)×\(b\divm\)的余數(shù)\()\divm\)的余數(shù)。例子：計算\((123\times456)\div7\)的余數(shù)。先求123÷7的余數(shù)：\(7\times17=119\)，\(123-119=4\)（余數(shù)4）再求456÷7的余數(shù)：\(7\times65=455\)，\(456-455=1\)（余數(shù)1）余數(shù)相乘：\(4\times1=4\)，\(4\div7=0\)……\(4\)驗證：\(123\times456=____\)，\(____\div7=8012\)……\(4\)，正確。（三）減法定理（注意“不夠減”的情況）兩個數(shù)相減的余數(shù)，等于它們各自余數(shù)相減后的余數(shù)（若不夠減，需加除數(shù)再減）。公式：\((a-b)\divm\)的余數(shù)=\((a\divm\)的余數(shù)-\(b\divm\)的余數(shù)+\(m\)（若不夠減）\()\divm\)的余數(shù)。例子：計算\((7-5)\div3\)的余數(shù)。\(7\div3\)余1，\(5\div3\)余21-2不夠減，加除數(shù)3：\(1+3-2=2\)驗證：\(7-5=2\)，\(2\div3=0\)……\(2\)，正確。（四）同余定理若兩個數(shù)除以同一個數(shù)，余數(shù)相同，則稱這兩個數(shù)“同余”。公式：若\(a\divm\)余\(r\)，\(b\divm\)余\(r\)，則\(a\equivb\pmod{m}\)（讀作“a同余于b模m”）。例子：\(7\div3=2\)……\(1\)，\(10\div3=3\)……\(1\)，所以\(7\equiv10\pmod{3}\)。應(yīng)用：同余的兩個數(shù)相減，差是除數(shù)的倍數(shù)（如10-7=3，是3的倍數(shù)）。三、常見題型及解法：從“基礎(chǔ)”到“實戰(zhàn)”（一）求余數(shù)問題：直接算or用性質(zhì)？類型1：簡單數(shù)的余數(shù)直接計算即可，注意余數(shù)要小于除數(shù)。例子：\(25\div4\)的余數(shù)是？（\(25-4\times6=1\)，余1）類型2：大數(shù)的余數(shù)用余數(shù)的性質(zhì)（加、乘、減）分解計算，避免算大數(shù)。例子：\(____\times____\div9\)的余數(shù)是？先求____÷9的余數(shù)：1+2+3+4+5=15，15÷9余6（數(shù)字和法，9的余數(shù)等于數(shù)字和的余數(shù)）再求____÷9的余數(shù)：6+7+8+9+0=30，30÷9余3余數(shù)相乘：6×3=18，18÷9余0結(jié)論：余數(shù)是0。（二）求被除數(shù)問題：已知除數(shù)、商、余數(shù)用公式“被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)”，注意余數(shù)要小于除數(shù)。例子：一個數(shù)除以5，商是4，余數(shù)是3，這個數(shù)是多少？計算：\(5\times4+3=23\)驗證：\(23\div5=4\)……\(3\)，正確。（三）同余問題：找“共同余數(shù)”的數(shù)類型1：余同（余數(shù)相同）例子：一個數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余2，求最小的數(shù)。思路：余數(shù)都是2，所以這個數(shù)=3、5、7的最小公倍數(shù)+2計算：3×5×7=105，105+2=107驗證：107÷3=35……2，107÷5=21……2，107÷7=15……2，正確。類型2：差同（除數(shù)-余數(shù)=固定值）例子：一個數(shù)除以4余3，除以5余4，除以6余5，求最小的數(shù)。思路：除數(shù)-余數(shù)=1（4-3=1，5-4=1，6-5=1），所以這個數(shù)=4、5、6的最小公倍數(shù)-1計算：4、5、6的最小公倍數(shù)是60，60-1=59驗證：59÷4=14……3，59÷5=11……4，59÷6=9……5，正確。（四）周期問題中的余數(shù)：“余數(shù)對應(yīng)位置”類型1：數(shù)列周期例子：數(shù)列1,2,3,1,2,3,1,2,3……第10個數(shù)是多少？周期：3（1,2,3重復(fù)）計算：10÷3=3……1（余1）結(jié)論：第10個數(shù)是周期的第1個，即1。類型2：日期周期例子：今天是周一，過100天是周幾？周期：7（一周7天）計算：100÷7=14……2（余2）結(jié)論：周一加2天，是周三。（五）“余數(shù)組”問題：枚舉法找答案例子：一個數(shù)除以3余1，除以4余2，求最小的數(shù)。枚舉除以3余1的數(shù)：1,4,7,10,13,16……枚舉除以4余2的數(shù)：2,6,10,14,18……找共同的數(shù)：10（第一個共同數(shù)）驗證：10÷3=3……1，10÷4=2……2，正確。四、拓展提升：中國剩余定理初步（“韓信點兵”問題）中國剩余定理是解決多個同余問題的經(jīng)典方法，適合小學(xué)階段的簡單應(yīng)用。例子：有一個數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求最小的數(shù)。步驟1：找除以3余2、除以7余2的數(shù)（余同），即3×7+2=23步驟2：驗證23是否除以5余3：23÷5=4……3，符合結(jié)論：最小的數(shù)是23。注：若23不符合，就加3和7的最小公倍數(shù)21，即23+21=44，再驗證，直到符合為止。五、鞏固練習(xí)（選做）1.計算\(34\times56\div8\)的余數(shù)。（答案：\(34\div8\)余2，\(56\div8\)余0，\(2×0=0\)，余0）2.一個數(shù)除以7商5余3，這個數(shù)是多少？（答案：\(7×5+3=38\)）3.今天是周五，過25天是周幾？（答案：25÷7余4，周五+4=周二）4.一個數(shù)除以2余1，除以3余1，除以5余1，求最小的數(shù)。（答案：2×3×5+1=31）5.一個數(shù)除以4余3，除以6余5，求最小的數(shù)。（答案：4×6÷2-1=11，驗證11÷4余3，11÷6余5）六、總結(jié)：余數(shù)問題的“解題邏輯”1.定類型：先判斷是求余