第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省武威一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=(1+i)(2?i)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.與向量a=(12,5)平行的單位向量為(

)A.(1213,?513) B.(?12133.正方體ABCD?A1B1C1D1中AB的中點為M，DD1A.0° B.45° C.60° D.90°4.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(

)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.75.飽和潛水是一種在超過百米的大深度條件下開展海上長時間作業(yè)的潛水方式，是人類向海洋空間和生命極限挑戰(zhàn)的前沿技術(shù)，我國海上大深度飽和潛水作業(yè)能力走在世界前列．某項飽和潛水作業(yè)一次需要3名飽和潛水員完成，利用計算機(jī)產(chǎn)生0～9之間整數(shù)隨機(jī)數(shù)，我們用0，1，2，3表示飽和潛水深海作業(yè)成功，4，5，6，7，8，9表示飽和潛水深海作業(yè)不成功，現(xiàn)以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3名飽和潛水員完成潛水深海作業(yè)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估計“3名飽和潛水員中至少有1人成功”的概率為(

)A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.96.在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c.若2sin2B2A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形7.從分別標(biāo)有1，2，3，…，10的10個小球中，不放回的隨機(jī)選取兩個小球，記這兩個小球的編號分別為x，y.若i2=?1，則ix+A.1645 B.645 C.298.在△ABC中，點M，N在邊BC上，且滿足：AM=12(AB+AC)，ABAC=BNNCA.12 B.23 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一個家庭中有三個小孩，記事件A=“家庭中沒有女孩”，B=“家庭中最多有一個女孩”，C=“家庭中至少有兩個女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，則(

)A.A與C互斥 B.A∪D=B C.B與C對立 D.B與D相互獨立10.一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是(

)A.圓柱的側(cè)面積為2πR2B.圓錐的側(cè)面積為2πR2

C.D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3：1：211.若正四面體ABCD的棱長為a，P是棱AC上一動點，其外接球、內(nèi)切球的半徑分別為R，r，則(

)A.R=64a

B.R=4r

C.正四面體ABCD棱切球的體積為224πa3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosαsin(α?β)?sinαcos(β?α)=35，則sinβ=______．13.在二面角α?l?β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=1，AC=BD=2，二面角α?l?β的余弦值為34，則CD=______；直線CD與平面β所成角正弦值為______．14.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA1=3，過點A1作平面α與AB，AD分別交于M，N兩點，且AA1與平面α所成的角為30°，給出下列說法：

①異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為625；

②A1B//平面B1D1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上．

(1)若點F是CD上靠近C的三等分點，設(shè)EF=λAB+μAD，求λ+μ的值；

(2)若AB=316.(本小題15分)

2024年1月17日，搭載天舟七號貨運(yùn)飛船的長征七號遙八運(yùn)載火箭成功發(fā)射，我國載人航天工程2024年發(fā)射任務(wù)首戰(zhàn)告捷.為普及航天知識，某學(xué)校開展組織學(xué)生舉辦了一次主題為“我愛星辰大?！钡暮教熘R競賽，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值.若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；

(Ⅱ)用樣本估計總體，利用組中值估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；

(Ⅲ)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為23，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為34，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．

17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA．

(1)求角B的大小；

(2)若a=2，且△ABC為銳角三角形，求△ABC的周長的取值范圍．18.(本小題17分)

n維空間中點的坐標(biāo)可以表示為(x1,x2,x3,?,xn)，其中xi(i=1,2,3,?,n)為該點的第i個坐標(biāo).定義n維空間中任意兩點A(x1,x2,x3,?,xn)，B(y1,y2,y3,?,yn)之間的平均離差二乘距離d(A,B)=1ni=1n(x19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAB是邊長為2的等邊三角形，點A，B，C，D在同一個圓的圓周上，且∠BCD=90°，BC=2CD=5，平面PAB⊥平面PAD．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求三棱錐P?ABD的體積；

(Ⅲ)求二面角A?PB?C

參考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.B

7.A

8.D

9.ACD

10.CD

11.ACD

12.?313.3

14.②④

15.解：(1)由題意知EF=EC+CF，

因為E是BC邊的中點，點F是CD上靠近C的三等分點，

所以EF=12BC+13CD，

在矩形ABCD中，BC=AD，CD=?AB，

所以EF=?13AB+12AD，

即λ=?13，μ=12，

則λ+μ=?13+12=16．

(2)以AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)F(x,2)，其中0≤x≤3；

則：A(0,0)16.解：(Ⅰ)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a)×10=1，

解得a=0.030，

因為0.01×10×200=20(人)，0.015×10×200=30(人)．

所以不高于50分的抽5×2020+30=2(人)；

(Ⅱ)平均數(shù)x?=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．

由圖可知，學(xué)生成績在[40,70)內(nèi)的頻率為0.4，在[70,80)內(nèi)的頻率為0.3，

設(shè)學(xué)生成績中位數(shù)為t，t∈[70,80)，則：(t?70)0.03+0.4=0.5，解得t=2203，

所以中位數(shù)為2203．

(Ⅲ)記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”為事件A，

17.解：(1)∵asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA，

由正弦定理可得a2+accosB+bccosA=b2+ac，

又由余弦定理知2accosB=a2+c2?b2，2bccosA=b2+c2?a2，

∴a2+c2=b2+ac，∴cosB=a2+c2?b22ac=12，

又A∈(0,π)，∴B=π3；

(2)由△ABC為銳角三角形，18.(1)定義n維空間中任意兩點：

A(x1,x2,x3,?,xn)，B(y1,y2,y3,?,yn)之間的平均離差二乘距離d(A,B)=1ni=1n(xi?yi)2，

∵n=3，A，B∈M，且點A(0,1,0),d(A,B)=23，

∴d(A,B)=13[(0?y1)2+(1?y2)2+(0?y3)2]=23，

即y12+(1?y2)2+19.(Ⅰ)取PA的中點M，連接BM，如圖(1)，

因為△PAB為等邊三角形，所以BM⊥PA，

又平面PAB⊥平面PAD，且平面PAB∩平面PAD=PA，BM?平面PAB，

所以BM⊥平面PAD，

又AD?平面PAD，所以BM⊥AD，

因為點A，B，C，D在同一個圓的圓周上，∠BCD=90°，所以∠BAD=90°，即BA⊥AD，

又AB∩BM=B，AB，BM?平面PAB，

故AD⊥平面PAB，

又AD?平面ABCD，故平面PAB⊥平面ABCD．

(Ⅱ)在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=52，

在Rt△BDA中，AD=BD2?AB2=32，

又由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB，

故V三棱錐P?ABD=V三棱錐D?PAB=13S△ABP?AD=13×12×4×32×