第頁(yè)第15講2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解雙曲線中a，b，c，e的幾何意義及范圍。②會(huì)根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)01：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形性質(zhì)范圍或或?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，,漸近線離心率，，a，b，c間的關(guān)系【即學(xué)即練1】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)02：等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；【即學(xué)即練2】經(jīng)過(guò)點(diǎn)且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為知識(shí)點(diǎn)03：直線與雙曲線的位置關(guān)系1、代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；【即學(xué)即練3】直線與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．知識(shí)點(diǎn)04：弦長(zhǎng)公式1、直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則為直線斜率2、通徑的定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng).【即學(xué)即練4】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為．知識(shí)點(diǎn)05：雙曲線與漸近線的關(guān)系1、若雙曲線方程為漸近線方程：2、若雙曲線方程為（，）漸近線方程：3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【即學(xué)即練5】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)06：雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以【即學(xué)即練6】過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A．B．C．D．題型01由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)【例1】（多選）已知雙曲線，則不因的值改變而改變的是（

）A．焦距B．頂點(diǎn)坐標(biāo)C．離心率D．漸近線方程【變式1】（多選）已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為1B．虛軸長(zhǎng)為2C．離心率D．漸近線方程為題型02根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．【變式1】一雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率與橢圓的離心率互為倒數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（

）A．B．C．D．【變式2】已知雙曲線的離心率，實(shí)半軸長(zhǎng)為4，則雙曲線的方程為.題型03雙曲線的漸近線問(wèn)題【例1】已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2B．C．D．【例2】已知雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．【變式1】雙曲線的右焦點(diǎn)到C的一條漸近線的距離為（

）A．2B．C．3D．4【變式2】已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于兩點(diǎn)（如圖）.若構(gòu)成以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的漸近線方程為.

題型04雙曲線的離心率問(wèn)題（定值）【例1】古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，滿足，若，則雙曲線的離心率.【例2】已知雙曲線，（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為.【變式1】已知直線是雙曲線（）的一條漸近線，則的離心率為.題型05雙曲線的離心率問(wèn)題（最值或范圍）【例1】已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【例2】雙曲線（，）的焦距為，已知點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．【變式1】設(shè)點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且斜率的直線與雙曲線C交于A?B兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為P，BF的中點(diǎn)為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.【變式2】已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是.題型06根據(jù)雙曲線的離心率求參數(shù)【例1】已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（

）A．B．C．D．【變式1】已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，若的離心率為，則的值為（

）A．3B．C．2D．題型07直線與雙曲線的位置關(guān)系【例1】已知直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【變式1】已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．【變式2】若直線l過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有條．題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題【例1】已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.【變式1】已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，且該雙曲線過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的弦AB，求AB的長(zhǎng)；(3)求的周長(zhǎng)．題型09三角形面積問(wèn)題【例1】已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2B．C．D．【例2】已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若的周長(zhǎng)為，則的面積是.【變式1】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則的面積等于（

）A．18B．10C．9D．6【變式2】已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，其中與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，若，且，則的面積為.題型10中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法【例1】已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【變式1】雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為.【變式2】已知雙曲線的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.課后鞏固練習(xí)一、單選題1．雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A．B．C．D．3．若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或B．C．D．4．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，點(diǎn)在直線上，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．5．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2B．3C．4D．66．已知雙曲線，點(diǎn)為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則三角形的面積為（

）A．2B．C．D．7．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，若，則（

）A．2B．4C．8D．168．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，直線分別經(jīng)過(guò)雙曲線的實(shí)軸和虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，，到直線的距離和大于實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、填空題9．若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為.10．已知直線和雙曲線，若l與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，則t的取值范圍是．三、解答題11．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，求.12．已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線與雙曲線的一支交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.B能力提升1．直線過(guò)圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0B．1C．2D．32．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.第15講2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.已知雙曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為B．C的漸近線方程為C．C的離心率為D．C的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2.如圖所示，點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線的左支的交點(diǎn)平分線段，則雙曲線的漸近線斜率為（

）

A．3B．C．D．3.已知雙曲線兩條漸近線的夾角為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2B．C．D．4.已知雙曲線（其中），若，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．5.過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A．B．C．D．6.與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為．7.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為．8.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為.9.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為10.已知雙曲線的離心率為2，則實(shí)數(shù)．11.記雙曲線的離心率為，若直線與無(wú)公共點(diǎn)，則的取值范圍