第第頁第07講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義，會用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運(yùn)算.會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明.知識點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．注意點(diǎn)：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)（1）空間點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點(diǎn)的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點(diǎn)的對稱問題①空間點(diǎn)的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱問題，要掌握對稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．（3）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．知識點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點(diǎn)：(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．(3)運(yùn)用公式可以簡化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意點(diǎn)：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.3．空間兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空間兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)過程如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空間中已知兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.1．建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮如何建系才能使點(diǎn)的坐標(biāo)簡單、便于計(jì)算，一般是要使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z，于是得到M點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)．3.空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律及注意點(diǎn)(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)：空間向量的坐標(biāo)可由其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)確定．已知空間點(diǎn)的坐標(biāo)、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接計(jì)算問題：首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后代入公式計(jì)算．(3)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)：把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，通過解方程(組)，求出其坐標(biāo)．4.解決空間向量垂直、平行問題的有關(guān)思路(1)若有關(guān)向量已知時(shí)，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)．例如，設(shè)向量a＝(x，y，z)．(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關(guān)平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解．(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明．5．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．6．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長．考點(diǎn)一：空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示例1．已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．變式1．若△頂點(diǎn)，且，，則點(diǎn)C坐標(biāo)是___________.變式2．若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.考點(diǎn)二：空間點(diǎn)的對稱問題例2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．B．C．D．變式1．已知點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，而點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則（

）A．B．C．D．8變式2．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，P是坐標(biāo)平面xOy內(nèi)一動點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)P的坐標(biāo)為___________.考點(diǎn)三：空間向量的坐標(biāo)表示例3．已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為________．考點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4．向量，，，中，共面的三個(gè)向量是（

）A．B．C．D．變式1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，若點(diǎn)C在平面內(nèi)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可能是（

）A．B．C．D．考點(diǎn)五：空間向量的平行問題例5．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．B．C．D．變式1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，，，，若四邊形為平行四邊形，則________.考點(diǎn)六：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決數(shù)量積問題例6．若向量，，則______．考點(diǎn)七：空間向量的垂直問題例7．已知向量，若，則的值為（

）A．B．C．D．變式1．已知空間有三點(diǎn)，，，若直線上存在一點(diǎn)M，滿足，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______.變式2．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)，，滿足，則實(shí)數(shù)a的值為（

）．A．B．1C．D．考點(diǎn)八：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角問題例8．已知向量，若，則_________．變式1．若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A．B．C．或D．2例9．若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.變式1．已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.變式2．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．考點(diǎn)九：利用坐標(biāo)運(yùn)算解決距離問題例10．設(shè)正四面體ABCD的棱長為1，點(diǎn)M、N滿足，，則______.變式1．在空間直角坐標(biāo)系中，，，則的最小值是________.變式2．已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.考點(diǎn)十：利用坐標(biāo)運(yùn)算求投影或投影向量例11．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（

）A．B．C．D．變式1．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A．B．C．D．變式2．已知點(diǎn)，則在上的投影向量的長度為________.1．已知向量，則下列向量中與成的是A．B．C．D．2．已知向量，且，則____________．3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．4．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，設(shè)二面角的大小為．（1）當(dāng)時(shí)，求的長；（2）當(dāng)時(shí)，求的長．一、單選題1．已知點(diǎn)，，則（

）．A．B．C．D．2．三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的形狀為（

）A．鈍角三角形B．銳角三角形C．正三角形D．直角三角形3．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A．B．C．1D．4．已知，，，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）．A．（－1，3，－3）B．（9，1，1）C．（1，－3，3）D．（－9，－1，－1）5．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則BC邊上的高等于（

）A．B．C．D．6．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4B．5C．6D．77．已知向量，，則（

）A．B．40C．6D．368．已知，，則（

）A．B．C．D．9．若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、填空題10．，若，則_____________．11．設(shè)空間向量，，若，則＝______．12．在空間直角坐標(biāo)系中，，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)M，且，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______．13．已知向量，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)__________.三、解答題14．已知向量，.(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求的值.15．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)設(shè)，，求；(2)求與的夾角；(3)若與互相垂直，