第第頁第11講兩條直線平行和垂直的判定能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.知識點1兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.注：（1）l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②l1與l2不重合．（2）當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.（3）兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：或，斜率都不存在.知識點2兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．（3）判定兩條直線垂直的一般結論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．1、兩條直線平行的判定及應用k1＝k2?l1∥l2是針對斜率都存在且不重合的直線而言的，對于斜率不存在或可能不存在的直線，要注意利用圖形．2、利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點的縱坐標是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步．(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式．(3)三求：計算斜率的值，進行判斷．尤其是點的坐標中含有參數時，應用斜率公式要對參數進行討論．3、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟考點一：兩條直線平行的判定及應用（一）兩條直線平行的概念辨析例1．下列說法正確的是（

）A．兩條直線的斜率相等是這兩條直線平行的充要條件B．兩條直線的傾斜角不相等是這兩條直線相交的充要條件C．兩條直線平行是這兩條直線的傾斜角相等的充要條件D．兩條直線平行是這兩條直線的法向量平行的充要條件【答案】B【分析】根據直線平行和相交的條件依次判斷即可.【詳解】當兩條直線的斜率相等且截距也相等時，兩直線重合，故A錯誤；的傾斜角不相等，則兩直線必定相交，反之也成立，故B正確；傾斜角相等時，兩直線可能重合，故C錯誤；法向量平行時，兩直線可能重合，故D錯誤.故答案為：B變式1．若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，其中正確命題的個數是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據兩條直線平行的判定方法與結論即可判斷．【詳解】由于與為兩條不重合的直線且斜率分別為，，所以，故①②正確；由于與為兩條不重合的直線且傾斜角分別為，，所以，故③④正確，所以正確的命題個數是4．故選：D．（二）兩條直線平行關系的判定例2．【多選】滿足下列條件的直線與一定平行的是（

）A．經過點，，經過點，B．的斜率為1，經過點，C．經過點，，經過點，D．經過點，，經過點，【答案】CD【分析】求出設直線的斜率為，直線的斜率為．根據斜率是否相等，即可判斷直線的位置關系；【詳解】設直線的斜率為，直線的斜率為．對于A．，，，與不平行．對于B，，，，故或與重合對于C，，，則有．又，則A，B，M不共線．故.對于D，由已知點的坐標，得與均與x軸垂直且不重合，故有．故選：CD變式1．過點和點的直線與直線的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不對【答案】B【分析】先求出直線方程，再結合斜率直接判斷兩直線位置關系即可.【詳解】過點和點的直線方程為，斜率為0，又因為直線斜率為0，所以兩直線平行.故選：B（三）已知兩條直線平行求參數例3．已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直線的斜率公式與直線平行的性質求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以，又，所以.故選：C.變式1．已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．【答案】/2或/或2【分析】由直線傾斜角由斜率的關系可知直線的斜率為，再由兩直線平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【詳解】由題意知，解得.故答案為：考點二：兩條直線垂直的判定及應用（一）兩條直線垂直的概念辨析例4．【多選】下列說法中，正確的有（

）A．斜率均不存在的兩條直線可能重合B．若直線，則這兩條直線的斜率的乘積為C．若兩條直線的斜率的乘積為，則這兩條直線垂直D．兩條直線，若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則【答案】ACD【分析】利用直線重合與垂直的性質，同時考慮直線斜率不存在的情況，對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，若，則斜率均不存在，但兩者重合，故A正確；對于BD，若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零，則這兩條直線互相垂直，但此時乘積不為，故B錯誤；D正確；對于C，根據直線垂直的性質可知，兩直線的斜率存在，且乘積為時，這兩條直線垂直，故C正確.故選：ACD.變式1．下列說法中，正確的是（

）A．每一條直線都有傾斜角和斜率B．若直線傾斜角為，則斜率為C．若兩直線的斜率，滿足，則兩直線互相垂直D．直線與直線（）一定互相平行【答案】C【分析】根據直線的傾斜角與斜率的定義及關系，以及兩直線的位置的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，每條直線都有傾斜角，當傾斜角為，直線的斜率不存在，所以A錯誤；對于B中，當直線傾斜角為，此時直線的斜率不存在，所以B錯誤；對于C中，若兩直線的斜率分別為，，當，則兩直線互相垂直，所以C正確；對于D中，當時，直線與直線為重合直線，所以D錯誤.故選：C.兩條直線垂直關系的判定例5．【多選】下列直線互相垂直的是（

）A．的斜率為，經過點，B．的傾斜角為，經過點C．經過點，經過點D．的斜率為2，經過點【答案】ABC【分析】由傾斜角與斜率的關系求出直線斜率，由兩點坐標求出直線斜率，分別判斷兩直線斜率之積是否為，從而可選出正確答案.【詳解】的斜率為，因為，所以成立，故A正確；的斜率為，的斜率為，由，則成立，故B正確；的斜率為，的斜率為，由則成立，故C正確；的斜率為，由，所以不成立，故D錯誤.故選：ABC．變式1．【多選】以為頂點的三角形，下列結論正確的有（

）A．B．C．以點為直角頂點的直角三角形D．以點為直角頂點的直角三角形【答案】AC【分析】對于AB，利用斜率公式計算判斷，對于C，通過計算判斷，對于D，通過計算判斷.【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以，所以以點為直角頂點的直角三角形，所以C正確，對于D，因為，，所以，所以D錯誤，故選：AC變式2．已知直線的斜率是方程的兩個根，則（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．與的位置關系不確定【答案】C【分析】由可知兩直線不垂直，且知兩直線不平行，由此可得結論.【詳解】設直線的斜率為，則，，不垂直，A錯誤；若，則，與矛盾，，不平行，B錯誤；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正確，D錯誤.故選：C.（三）已知兩直線垂直求參數例6．已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】求出直線的斜率為，分、兩種情況討論，在時，由兩直線斜率之積為可求得實數的值；在時，直接驗證.綜合可得結果.【詳解】直線的斜率．①當時，直線的斜率．因為，所以，即，解得．②當時，、，此時直線為軸，又、，則直線為軸，顯然．綜上可知，或.故選：C.變式1．已知直線l的傾斜角為，直線經過點，，且與l垂直，直線與直線平行，則等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由直線l的傾斜角為，與l垂直可得，再由直線與直線平行求得，由過求得，進而求.【詳解】由題意知：，而與l垂直，即，又直線與直線平行，則，故，又經過點，，則，解得，所以.故選：B.考點三：兩直線平行與垂直的綜合應用例7．【多選】若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，斜率分別為，則下列命題正確的是（

）A．若斜率，則 B．若，則C．若傾斜角，則 D．若，則【答案】ABC【分析】根據兩直線傾斜角和斜率與直線平行和垂直的關系分別判斷選項，舉反例可判斷D.【詳解】對于A,若兩直線斜率，則它們的傾斜角，則，正確；對于B，由兩直線垂直的條件可知，若，則，正確；對于C,由兩直線平行的條件可知，若傾斜角，則，正確；對于D,若，不妨取，則，不滿足，不垂直，D錯誤，故選：例8．已知三點，則△ABC為__________三角形.【答案】直角【分析】根據直線斜率關系即得.【詳解】如圖，猜想是直角三角形，由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案為：直角.變式1．（拓廣探索）在平面直角坐標系中，四邊形的頂點坐標按逆時針順序依次為，，，，其中．則四邊形的形狀為______.【答案】矩形【分析】根據點的坐標計算斜率，利用斜率相等得到直線平行，再根據矩形的判定，即可得到答案；【詳解】由斜率公式得，，，，所以，，從而，．所以四邊形為平行四邊形．又，所以，故四邊形為矩形．故答案為：矩形.一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【分析】根據直線平行和斜率之間的關系對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤．故選：C.2．“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】D【分析】根據直線平行與斜率之間的關系，逐個選項進行判斷即可.【詳解】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當和都垂直于軸時，與仍然平行，但是，此時不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件.故選：D3．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，則四邊形ABCD的形狀是（

）A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．直角梯形【答案】D【分析】由斜率的兩點式分別求出，進而可判斷直線的位置關系，即可知正確選項.【詳解】∵∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，AD與BC不平行，∴四邊形ABCD為直角梯形.故選：D.4．若直線的斜率為，經過點，，則直線和的位置關系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合【答案】B【分析】根據直線斜率公式，結合兩直線位置關系與斜率的關系進行判斷即可.【詳解】因為直線經過點，，所以直線的斜率為：，又因為，所以兩直線垂直，故選：B5．已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是（

）A．平行B．垂直C．可能重合D．無法確定【答案】B【分析】由韋達定理可知，由此可作出判斷.【詳解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有兩相異實根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在．設兩根為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故選：B6．過點和點的直線與直線的位置關系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不對【答案】B【分析】根據斜率公式求得的斜率，得出直線的方程，進而得出兩直線的位置關系.【詳解】由題意，點和點，可得，所以的方程為，又由直線的斜率為0，且兩直線不重合，所以兩直線平行.故選：B.7．已知直線經過，兩點，直線的傾斜角為，那么與A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】根據兩點求出直線的斜率，根據傾斜角求出直線的斜率；可知斜率乘積為，從而得到垂直關系.【詳解】直線經過，兩點

直線的斜率：，直線的傾斜角為

直線的斜率：

本題正確選項：8．已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】設點，由為直角，得，然后由列式計算即可.【詳解】由題意，設點，為直角，，由，，解得或，所以點的坐標為或故選：B二、填空題9．已知?ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，則頂點D的坐標為________.【答案】(3,4)【分析】設D為(x,y)，由平行四邊形知對邊所在的直線斜率相等，列方程組即可求D的坐標.【詳解】設頂點D的坐標為(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴點D的坐標為(3,4).故答案為：(3,4).10．已知經過點和點的直線l1與經過點和點的直線互相垂直，則實數_____.【答案】【分析】分別求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線相互垂直的性質即可得解．【詳解】因為，，所以，因為兩條直線相互垂直，所以直線的斜率必然存在，又，，則，，又所以，解得．所以．故答案為：.三、解答題11．判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．(1)經過點，經過點；(2)的斜率為，經過點.【答案】(1)不平行，理由見解析；(2)不平行，理由見解析【分析】（1）分別計算出和的斜率，再比較兩斜率是否相等即可；（2）求出的斜率，再與的斜率比較即可.【詳解】（1）設直線，的斜率分別為，，因為經過點，經過點，所以，，所以，所以與不平行；（2）設直線，的斜率分別為，，則，因為經過點，所以，所以，所以與不平行.12．已知點，，，，試判定四邊形ABCD的形狀．【答案】直角梯形【分析】求出四邊斜率，然后再判斷形狀．【詳解】由斜率公式可得：，與BC不平行又，，故四邊形ABCD是直角梯形．

兩條直線平行和垂直的判定隨堂檢測1.已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【答案】A【分析】由兩點的斜率公式表示出直線的斜率，再由兩直線平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【詳解】由題意可知，，解得．故選：A2.已知直線經過，兩點，直線傾斜角為，那么與（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【分析】根據兩點求出直線的斜率，根據傾斜角求出直線的斜率，可知斜率乘積為，從而得到垂直關系.【詳解】由題意可得：直線的斜率，直線的斜率，∵，則與垂直.故選：B.3.若直線與直線平行，則實數k的值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用兩直線平行斜率相等，求出實數k的值.【詳解】因為直線與直線平行，所以兩直線斜率相等，即.故選：D.4.【多選】下列說法中正確的有（

）A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于【答案】BC【分析】根據直線斜率與位置關系的相關知識直接判斷即可.【詳解】對于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；對于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，所以B正確；對于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；對于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯誤；故選：BC5.已知三角形三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的高