第第頁(yè)第12講傾斜角與斜率1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素．2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角1．傾斜角的定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.注：①每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線知識(shí)點(diǎn)2直線的斜率1．斜率的定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線P1P2沒(méi)有斜率．注：①若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，則直線P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))的坐標(biāo)為(x2－x1，y2－y1)，也可表示為(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行③斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無(wú)關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換知識(shí)點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在1、求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關(guān)系（1）由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．考點(diǎn)一：求直線的傾斜角例1．對(duì)于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通過(guò)直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜角的關(guān)系判斷③和④的正誤.【詳解】對(duì)于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對(duì)于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時(shí)沒(méi)有斜率，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因?yàn)閮A斜角為時(shí)沒(méi)有斜率，所以③正確；④錯(cuò)誤；其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為2.故選：B.變式1．已知直線的傾斜角，直線與的交點(diǎn)為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為_(kāi)_______．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合直線傾斜角的定義可得出直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)楹拖蛏系姆较蛩傻慕菫?，所以，，故．故答案為?變式2．直線與直線的夾角為_(kāi)_____．【答案】【分析】分析兩條直線的傾斜角，即可得夾角大小.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，所以兩條直線的夾角為.故答案為：.考點(diǎn)二：求直線的斜率例2．已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直線的方向向量與斜率的關(guān)系，即可求出答案.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率．故選：D．變式1．已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為_(kāi)_______，________.【答案】【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求．【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為，則，由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為，，因?yàn)椋?，所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為，．故答案為：，．考點(diǎn)三：斜率與傾斜角的關(guān)系（一）由傾斜角求斜率值（范圍）例3．（多選）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角，則實(shí)數(shù)的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】ABC【分析】根據(jù)斜率公式求解.【詳解】由題可得，所以，結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)的可能取值有11,12,13，故選:ABC.變式1．過(guò)不重合的兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的取值為_(kāi)_______．【答案】【分析】由題意得，可求出的取值.【詳解】由題意知，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，重合，不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，故答案為：變式2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】，【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負(fù)，結(jié)合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．（二）由斜率求傾斜角的值（范圍）例4．若直線的斜率的取值范圍是，則該直線的傾斜角的取值范圍是________.【答案】【分析】由，結(jié)合．即可得出的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋鹤兪?．直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【分析】畫(huà)出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.【詳解】如圖：

當(dāng)直線l的斜率，直線l的傾斜角的取值范圍為：.故答案為：.考點(diǎn)四：斜率公式的應(yīng)用（一）利用直線斜率處理共線問(wèn)題例5．已知三點(diǎn)共線，則的值為_(kāi)_______.【答案】【分析】由條件可得，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式列方程求的值.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得.故答案為：.變式1．已知點(diǎn)，，，若線段，，不能構(gòu)成三角形，則的值是________.【答案】【分析】由線段，，不能構(gòu)成三角形知三點(diǎn)共線，由求得的值.【詳解】因?yàn)榫€段，，不能構(gòu)成三角形，所以三點(diǎn)共線，顯然直線的斜率存在，故，即，解得，故答案為：4（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用例6．若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為_(kāi)_____【答案】【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】如圖，，，，則，.因?yàn)?，可表示點(diǎn)與線段上任意一點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.考點(diǎn)五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍例7．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．【答案】(1)直線BC的斜率，傾斜角為；直線AC的斜率，傾斜角為；(2)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可；（2）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可．【詳解】（1）由斜率公式得：，因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；（2）如圖，當(dāng)直線CD由CA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，此時(shí)k由增大到，∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．變式1．已知．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍．【答案】(1)直線AB的斜率為，直線AC的斜率為(2)【分析】（1）根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關(guān)系分析求解.【詳解】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，直線AC的斜率，故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.（2）如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的傾斜角增大且為銳角，直線AD的斜率由增大到，所以直線AD的斜率的變化范圍是．

變式2．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因?yàn)闉榈倪吷弦粍?dòng)點(diǎn)，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.1．直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由斜率得傾斜角后求解，【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，兩條直線的夾角為，故選：A2．圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，，故選：C3．若三點(diǎn)，，，（）共線，則的值等于___________.【答案】【分析】由三點(diǎn)共線，利用斜率的公式可得，進(jìn)而可求目標(biāo)式的值.【詳解】由題知，直線的斜率存在，由三點(diǎn)共線可知.由得：，即，又，∴.故答案為：一、單選題1．以下四個(gè)命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對(duì)應(yīng)D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；B：過(guò)點(diǎn)A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對(duì)應(yīng)的傾斜角，故D正確.故選：D.2．已知一直線經(jīng)過(guò)兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6B．－4C．0D．6【答案】C【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得的值．【詳解】直線經(jīng)過(guò)兩，，又直線的傾斜角為，斜率一定存在，則直線的斜率為，即．故選：C．3．已知直線.則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在直線上 B．直線的傾斜角為C．直線在軸上的截距為8 D．直線的一個(gè)方向向量為【答案】B【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，代入直線方程后得，∴點(diǎn)不在直線l上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)直線l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，令得：，∴直線l在y軸上的截距為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，∵直線l的一個(gè)方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.4．若三點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B． C．6 D．12【答案】C【分析】由題意得，列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所以，?故選：C.5．過(guò)點(diǎn)P(2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，那么m的值為（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．1【答案】D【分析】利用直線的斜率公式求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(2，m)，Q(m，4)，且斜率為1，所以，解得，故選：D6．已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率公式列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C7．若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：C.8．設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，由圖可得的范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.9．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.【詳解】由題意經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，可知，且，解得，即實(shí)數(shù)m的范圍是，故選：C10．已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)P，畫(huà)出圖形，再求出，的斜率，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，則或，因?yàn)?，，所以直線的斜率取值范圍是.故選：A.二、填空題11．將直線MN繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到直線，若直線的斜率1，則直線MN的傾斜角是______（結(jié)果用角度制表示）．【答案】105°或165°【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的概念求解.【詳解】直線的斜率1，則直線的傾斜角為45°，當(dāng)將直線MN繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，直線MN的傾斜角為60°＋45°＝105°；當(dāng)將直線MN繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，直線MN的傾斜角為180°－(60°－45°)＝165°，故答案為：105°或165°.12．已知過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得，由可得，解不等式可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，為鈍角，，則，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．若直線的斜率為，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可得直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，解得，故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則______.【答案】【分析】根據(jù)直線傾斜角的概念，結(jié)合正切函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】由，，則直線的方程為，設(shè)其傾斜角為，即，由，則，即，解得.故答案為：.

傾斜角與斜率隨堂檢測(cè)1.若直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，求出直線的斜率，從而得出結(jié)果．【詳解】依題意，是直線的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率，所以直線的傾斜角為．故選：C．2.已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.3.若過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，又因?yàn)橹本€的傾斜角為銳角，所以，解得.故選：C4.已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，分別求出，，根據(jù)表示直線的斜率即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.5.已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結(jié)合圖形得出的范圍．【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，且，由圖可知直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足，解得，故選：B．6.過(guò)兩點(diǎn)A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于________．【答案】－3【分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系和斜率公式可得答案.【詳解】因?yàn)樾甭蔾＝tan135°＝－1，所以，得y＝－3