第18講圓錐及其側(cè)面展開圖（八大題型）學習目標1．了解圓錐及其有關(guān)概念；2．體驗得到圓錐側(cè)面展開圖的過程；并會計算圓錐的側(cè)面積；3.掌握圓錐的表面積與體積的計算..知識點1圓錐及其有關(guān)概念如圖8-2-3,將直角三角形ABC(∠C為直角)以它的一條直角邊AC所在直線為軸順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)一周，形成怎樣的立體圖形?我們發(fā)現(xiàn)，按上述操作，所得到的立體圖形與圖8-2-2的立體圖形一樣，我們把像這樣的立體圖形叫作圓錐.如圖8-2-4,在圓錐中，我們把這個圓形的面叫作圓錐的底面，P叫作圓錐的頂點，夾在頂點和底面之間的曲面叫作圓錐的側(cè)面.頂點P與底面圓心O的距離叫作圓錐的高，有時也把線段PO稱為圓錐的高.連接圓錐頂點與底面圓上任意一點的線段都叫作圓錐的母線，如PA是母線.與圓柱相比可見，圓錐的底面也是圓形，兩者的差異在于圓錐是由一個點、一個圓形和一個曲面圍成，而圓柱是由兩個完全一樣的圓形和一個曲面圍成.圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，將其旋轉(zhuǎn)一周而成的立體圖形.如圖8-2-5,以直角三角形ACB的一條直角邊AC所在的直線為軸，將直角三角形ACB旋轉(zhuǎn)一周，邊BC、AB旋轉(zhuǎn)所成的面就圍成了一個圓錐.直角邊AC就是圓錐的高，直角邊BC旋轉(zhuǎn)形成圓錐的底面，斜邊AB旋轉(zhuǎn)形成圓錐的側(cè)面.斜邊AB不論轉(zhuǎn)動到哪一個位置都是圓錐的母線.知識點2圓錐的側(cè)面展開圖操作如圖8-2-6,沿著圓錐的任意一條母線(AB)把它的側(cè)面剪開，然后鋪在平面上，可以得到一個怎樣的圖形?得到的這個圖形與圓錐的底面周長、母線之間有怎樣的關(guān)系呢?按上述操作得到的平面圖形是一個扇形.這樣的平面圖形叫作圓錐的側(cè)面展開圖.圓錐的側(cè)面展開圖是一個以圓錐的頂點為圓心、以圓錐的母線為半徑的扇形，該扇形的弧長是圓錐的底面周長.圓錐的側(cè)面積可以從它的側(cè)面展開圖得出.不妨設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,側(cè)面展開圖的圓心角為n°,則可得.所以圓錐的側(cè)面積S側(cè)=圓錐側(cè)面展開圖的面積S扇形這就得到結(jié)論：圓錐的側(cè)面積等于它的底面周長和母線長的乘積的一半，即其中，S側(cè)表示圓錐的側(cè)面積，C、r和1分別表示它的底面周長、底面半徑和母線長.知識點3圓錐的表面積與體積與長方體、正方體、圓柱的表面積、體積一樣，圓錐所有面的面積之和叫作圓錐的表面積，圓錐所占空間的大小叫作圓錐的體積.圓錐的表面由它的側(cè)面和底面組成.因此，圓錐的表面積等于它的側(cè)面積與底面積的和，即其中，S表、S側(cè)和S底分別表示圓錐的表面積、側(cè)面積和底面積，r、C和L分別表示它的底面半徑、底面周長和母線長.觀察如下圖所示，分別觀察(1)(2)兩組中的圓錐，它們之間有什么相同點或聯(lián)系?每組中哪個圓錐的體積更大，哪個更小?請說明圓錐體積的大小與哪些因素有關(guān).觀察第(1)組中的三個圓錐①②③,發(fā)現(xiàn)它們的高相等，但底面積不同.底面積越大，圓錐的體積也越大.觀察第(2)組中的三個圓錐④⑤⑥,發(fā)現(xiàn)它們的底面積相同，但高不同.高越長，圓錐的體積也越大.由此可知，圓錐體積的大小受到底面積與高的影響.我們知道，圓柱的體積也是由它的底面積和高決定的，可以考慮將圓錐與圓柱的體積作比較.一個圓錐的體積是與它等底等高的一個圓柱的體積的，這就得到結(jié)論：圓錐的體積等于它的底面積與高的乘積的,即其中，V表示圓錐的體積，S底表示它的底面積，h表示它的高.【即學即練1】圓錐的特征：圓錐有()個頂點，()個底面，()個側(cè)面。圓錐的底面是一個()，側(cè)面是一個()，展開后是一個()形?！炯磳W即練2】如下圖，將直角三角形ABC的直角邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到立體圖形是()，底面積為()cm2。【即學即練3】一個圓錐的底面積是12m2，高是3m，它的體積是()m3。【即學即練4】已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為___________..【即學即練5】一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為_______.．題型1：圓錐及其有關(guān)概念【典例1】．在圓錐的下面畫“√”，在圓柱的下面畫“×”?！咀兪?-1】．標出下面圓錐的頂點、高、底面半徑?！咀兪?-2】．填表。名稱底面半徑底面直徑底面周長底面面積圓錐5cm（

）（

）（

）（

）6dm（

）（

）（

）（

）9.42m（

）【變式1-3】．圓錐有()個底面和()個側(cè)面，從圓錐的()到底面()的距離是圓錐的高?！咀兪?-4】．一個圓錐有()個面，它的側(cè)面展開圖是()形．從圓錐()到底面()的距離，叫作圓錐的()，圓錐有()條高．【變式1-5】．用棱長6dm的正方體木塊，削成一個最大的圓錐，圓錐的底面直徑是dm，圓錐的高是dm?！咀兪?-6】．妙想要測量圓錐的高，下面四種方法中正確的是（

）。A．B．C．D．【變式1-7】．將下面的圖形分類，說一說每類圖形的名稱和特征?！咀兪?-8】．下面圖形中，是圓柱的有，是圓錐的有。（填編號）

題型2：平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的是否為圓錐【典例2】．下圖中，（

）沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個圓錐。A． B． C． D．【變式2-1】．下面圖形旋轉(zhuǎn)就會形成圓錐。A． B． C． D．【變式2-2】．下列圖形中，旋轉(zhuǎn)一周能得到圓錐的是（

）。A． B． C． D．【變式2-3】．以直線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓柱的是()，形成圓錐的是()?！咀兪?-4】．下面的圖形以粗線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是（

）。A． B． C． D．【變式2-5】．有一把直角三角板，三條邊的長分別是3厘米，4厘米，5厘米。如果以較短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，它的半徑是厘米，高是厘米；如果以較長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，它的半徑是厘米，高是厘米；如果以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周呢？。【變式2-6】．如圖，將直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個圓錐，圓錐的底面直徑是()cm，高是()cm?！咀兪?-7】．直角三角形ABC（如圖），以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)360°后得到的圖形是（

）。A．底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐B．底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓錐C．底面半徑是6厘米，高是4厘米的圓錐題型3：圓錐的側(cè)面展開圖、側(cè)面積的計算【典例3】．把圓錐的側(cè)面按如圖所示的方式剪開，然后將它展開．想一想，它是一個什么圖形？、【變式3-1】．已知圓錐的底面半徑是1，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的側(cè)面積為.【變式3-2】．一圓錐的側(cè)面展開圖為一圓心角為的扇形，該圓錐母線長為6，則圓錐的底面半徑為．、題型4：圓錐的表面積【典例4】．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，則該圓錐的表面積為.【變式4-1】．一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為．【變式4-2】．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是.題型5：圓錐的體積、根據(jù)體積計算其他量【典例5】．一個圓錐形沙堆，測得底面周長是12.56米，高1.5米。這個沙堆的體積是（

）。A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米【變式5-1】．一堆煤成圓錐形，高2米，底面周長為18.84米。已知每立方米的煤約重1400千克，這堆煤大約重多少噸？【變式5-2】．一個圓錐的底面積是60平方厘米，高7厘米，這個圓錐的體積是多少立方厘米？【變式5-3】．一個圓錐形沙堆，它的體積是9立方分米，底面積是5平方分米，它的高是()分米。【變式5-4】．一個圓錐的體積是6dm3，高是3dm，底面積是（

）dm2。A．6 B．18 C．2【變式5-5】．如圖，將10毫升酒裝入一個圓錐形容器中，酒深正好占容器深的。請問：再添入()毫升酒，可裝滿此容器？題型6：圓錐的體積的變化【典例6】．一個圓錐的底面半徑擴大到原來的5倍，高不變，則其體積擴大到原來的()倍；如果它的底面半徑擴大到原來的5倍，高也擴大到原來的5倍，此時其體積擴大到原來的()倍?！咀兪?-1】．一個圓錐的底面積擴大到原來的2倍，高也擴大到原來的2倍，它的體積擴大到原來的（

）倍。A．2 B．4 C．8【變式6-2】．一個圓錐的底面半徑擴大到原來的2倍，高也擴大原來的2倍，它的體積擴大到原來的（

）倍。A．4 B．6 C．8 D．不變題型7：圓柱與圓錐體積有關(guān)的比值問題【典例7】．一個圓柱和一個圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍，圓錐與圓柱的體積比值是()。【變式7-1】．一個圓柱和圓錐的體積相等，圓柱和圓錐的底面積之比是5∶3，圓柱的高是5分米，圓錐的高是()分米?！咀兪?-2】．一個圓柱和一個圓錐的高相等，圓柱與圓錐的底面半徑之比為5∶3，它們體積之和是560cm3，圓柱的體積是()cm3，圓錐的體積是()cm3?！咀兪?-3】．一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，它們體積的比是1∶1，圓柱和圓錐高的比是（

）。A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9【變式7-4】．有一個圓柱和一個圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍。這個圓柱和圓錐的體積之比是（

）。A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5【變式7-5】．一個圓柱和圓錐的體積相等，它們的底面積的比是3∶2，圓柱的高是10cm，圓錐的高是（

）cm。A．30 B．45 C．60【變式7-6】．把一個圓柱削成一個最大的圓錐，削去部分與圓柱體積的比是（

）。A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3【變式7-7】．一個圓柱的體積是一個圓錐體積的6倍，已知圓柱的高是圓錐高的2.5倍，那么圓錐的底面積與圓柱的底面積的比是（

）。A．2∶3 B．4∶5 C．5∶4 D．3∶2題型8：圓柱與圓錐體積結(jié)合的綜合應用【典例8】．等底等高的圓柱和圓錐的體積相差216立方米，則這個圓柱的體積是()立方米?！咀兪?-1】．等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積相差32立方厘米，這個圓錐的體積是()立方厘米，圓柱的體積是()立方厘米?！咀兪?-2】．圓柱和圓錐等底等體積，圓錐體的高是18厘米，那么圓柱的高是（

）厘米。A．18 B．12 C．9 D．6【變式8-3】．一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓錐的體積是23立方分米，圓柱的體積是（

）立方分米。A． B．69 C．23 D．46【變式8-4】．如圖，將圓柱形容器中的水倒入圓錐形容器中，（

）正好倒?jié)M。（單位：cm）A． B． C．一、選擇題1．圓錐是由（

）個面圍成的立體圖形。A．1 B．2 C．32．左面圖形以虛線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是（

）。A．三角形 B．圓錐 C．圓柱3．一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，它們體積的比是1∶1，圓柱和圓錐高的比是（

）。A．3∶4 B．4∶3 C．4∶94．一個直角三角形，兩條直角邊分別是3厘米和4厘米。以較短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個立體圖形。這個立體圖形的體積是（

）立方厘米。A．12π B．16π C．48π5．一個圓柱體木塊切成四塊（如圖一），表面積增加48平方厘米；切成三塊（如圖二），表面積增加50.24平方厘米。如果削成一個最大的圓錐體（如圖三），體積減少了（

）立方厘米。（π取3.14）

A．6.28 B．12.56 C．25.12二、填空題6．一個圓柱和一個圓錐，底面積