第18講圓錐及其側(cè)面展開圖（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解圓錐及其有關(guān)概念；2．體驗(yàn)得到圓錐側(cè)面展開圖的過程；并會計(jì)算圓錐的側(cè)面積；3.掌握圓錐的表面積與體積的計(jì)算..知識點(diǎn)1圓錐及其有關(guān)概念如圖8-2-3,將直角三角形ABC(∠C為直角)以它的一條直角邊AC所在直線為軸順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)一周，形成怎樣的立體圖形?我們發(fā)現(xiàn)，按上述操作，所得到的立體圖形與圖8-2-2的立體圖形一樣，我們把像這樣的立體圖形叫作圓錐.如圖8-2-4,在圓錐中，我們把這個圓形的面叫作圓錐的底面，P叫作圓錐的頂點(diǎn)，夾在頂點(diǎn)和底面之間的曲面叫作圓錐的側(cè)面.頂點(diǎn)P與底面圓心O的距離叫作圓錐的高，有時(shí)也把線段PO稱為圓錐的高.連接圓錐頂點(diǎn)與底面圓上任意一點(diǎn)的線段都叫作圓錐的母線，如PA是母線.與圓柱相比可見，圓錐的底面也是圓形，兩者的差異在于圓錐是由一個點(diǎn)、一個圓形和一個曲面圍成，而圓柱是由兩個完全一樣的圓形和一個曲面圍成.圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，將其旋轉(zhuǎn)一周而成的立體圖形.如圖8-2-5,以直角三角形ACB的一條直角邊AC所在的直線為軸，將直角三角形ACB旋轉(zhuǎn)一周，邊BC、AB旋轉(zhuǎn)所成的面就圍成了一個圓錐.直角邊AC就是圓錐的高，直角邊BC旋轉(zhuǎn)形成圓錐的底面，斜邊AB旋轉(zhuǎn)形成圓錐的側(cè)面.斜邊AB不論轉(zhuǎn)動到哪一個位置都是圓錐的母線.知識點(diǎn)2圓錐的側(cè)面展開圖操作如圖8-2-6,沿著圓錐的任意一條母線(AB)把它的側(cè)面剪開，然后鋪在平面上，可以得到一個怎樣的圖形?得到的這個圖形與圓錐的底面周長、母線之間有怎樣的關(guān)系呢?按上述操作得到的平面圖形是一個扇形.這樣的平面圖形叫作圓錐的側(cè)面展開圖.圓錐的側(cè)面展開圖是一個以圓錐的頂點(diǎn)為圓心、以圓錐的母線為半徑的扇形，該扇形的弧長是圓錐的底面周長.圓錐的側(cè)面積可以從它的側(cè)面展開圖得出.不妨設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,側(cè)面展開圖的圓心角為n°,則可得.所以圓錐的側(cè)面積S側(cè)=圓錐側(cè)面展開圖的面積S扇形這就得到結(jié)論：圓錐的側(cè)面積等于它的底面周長和母線長的乘積的一半，即其中，S側(cè)表示圓錐的側(cè)面積，C、r和1分別表示它的底面周長、底面半徑和母線長.知識點(diǎn)3圓錐的表面積與體積與長方體、正方體、圓柱的表面積、體積一樣，圓錐所有面的面積之和叫作圓錐的表面積，圓錐所占空間的大小叫作圓錐的體積.圓錐的表面由它的側(cè)面和底面組成.因此，圓錐的表面積等于它的側(cè)面積與底面積的和，即其中，S表、S側(cè)和S底分別表示圓錐的表面積、側(cè)面積和底面積，r、C和L分別表示它的底面半徑、底面周長和母線長.觀察如下圖所示，分別觀察(1)(2)兩組中的圓錐，它們之間有什么相同點(diǎn)或聯(lián)系?每組中哪個圓錐的體積更大，哪個更小?請說明圓錐體積的大小與哪些因素有關(guān).觀察第(1)組中的三個圓錐①②③,發(fā)現(xiàn)它們的高相等，但底面積不同.底面積越大，圓錐的體積也越大.觀察第(2)組中的三個圓錐④⑤⑥,發(fā)現(xiàn)它們的底面積相同，但高不同.高越長，圓錐的體積也越大.由此可知，圓錐體積的大小受到底面積與高的影響.我們知道，圓柱的體積也是由它的底面積和高決定的，可以考慮將圓錐與圓柱的體積作比較.一個圓錐的體積是與它等底等高的一個圓柱的體積的，這就得到結(jié)論：圓錐的體積等于它的底面積與高的乘積的,即其中，V表示圓錐的體積，S底表示它的底面積，h表示它的高.【即學(xué)即練1】圓錐的特征:圓錐有()個頂點(diǎn)，()個底面，()個側(cè)面。圓錐的底面是一個()，側(cè)面是一個()，展開后是一個()形?！敬鸢浮恳灰灰粓A曲面扇【分析】根據(jù)圓錐各部分的名稱和特征解答?！窘馕觥咳鐖D所示，圓錐有（一）個頂點(diǎn)，（一）個底面，（一）個側(cè)面。圓錐的底面是一個（圓），側(cè)面是一個（曲面），展開后是一個（扇）形。【點(diǎn)睛】考查對圓錐各部分的認(rèn)識。【即學(xué)即練2】如下圖，將直角三角形ABC的直角邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到立體圖形是()，底面積為()cm2。【答案】圓錐28.26【分析】如果以三角形直角邊AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，其旋轉(zhuǎn)所形成圖形是一個圓錐體，圓錐體底面半徑為3cm的圓，根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行解答即可。【解析】3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2）所得到立體圖形是圓錐，底面積為28.26cm2?！军c(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對圓錐底面積的計(jì)算?！炯磳W(xué)即練3】一個圓錐的底面積是12m2，高是3m，它的體積是()m3?！敬鸢浮?2【分析】已知圓錐的底面積和高，根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求出它的體積?！窘馕觥俊?2×3＝12（m3）它的體積是12m3?！炯磳W(xué)即練4】已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖與圓錐側(cè)面的關(guān)系求出圓錐底面圓半徑即可計(jì)算得解.【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則該圓錐底面圓周長為，因圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長為，依題意，，解得，顯然圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：【即學(xué)即練5】一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意可得：，解得，所以圓錐的表面積為．故答案為：.題型1：圓錐及其有關(guān)概念【典例1】．在圓錐的下面畫“√”，在圓柱的下面畫“×”?！敬鸢浮浚ā粒?/p>

）（

）（×）（√）【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的特征判斷即可?！窘馕觥繄A柱上下兩個底面是相等的兩個圓，圍成圓柱的側(cè)面是曲面，展開為長方形。圓錐的底面是圓形，側(cè)面為曲面，展開為扇形。所以第一個圖形和第四個圖形為圓柱，第五個圖形為圓錐。【點(diǎn)睛】此題考查了學(xué)生對圓錐、圓柱的認(rèn)識?！咀兪?-1】．標(biāo)出下面圓錐的頂點(diǎn)、高、底面半徑?！敬鸢浮恳娫斀狻窘馕觥咳鐖D所示：【變式1-2】．填表。名稱底面半徑底面直徑底面周長底面面積圓錐5cm（

）（

）（

）（

）6dm（

）（

）（

）（

）9.42m（

）【答案】名稱底面半徑底面直徑底面周長底面面積圓錐5cm（10cm

）（31.4cm

）（

78.5cm2

）（3dm

）6dm（18.84dm

）（28.26dm2

）（1.5m

）（3m

）9.42m（

7.065m2

）【分析】，，據(jù)此求出圓錐的底面周長和面積即可。【解析】當(dāng)?shù)酌姘霃绞?cm，則底面直徑是10cm，底面周長是cm，底面面積是；當(dāng)?shù)酌嬷睆绞?dm，則底面半徑是dm，底面周長是dm，底面面積是；當(dāng)?shù)酌嬷荛L是9.42m，則底面直徑是m，底面半徑是m，。【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的底面積和底面周長，解答本題的關(guān)鍵是掌握圓的周長和面積計(jì)算公式。【變式1-3】．圓錐有()個底面和()個側(cè)面，從圓錐的()到底面()的距離是圓錐的高?！敬鸢浮恳灰豁旤c(diǎn)圓心【分析】圓錐的特征有：圓錐有一個頂點(diǎn)；圓錐的底面是一個圓形，圓錐有一個底面；圓錐有一個側(cè)面，側(cè)面是一個曲面；圓錐只有一條高，從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。【解析】圓錐有一個底面和一個側(cè)面，從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的特征來解答。【變式1-4】．一個圓錐有()個面，它的側(cè)面展開圖是()形．從圓錐()到底面()的距離，叫作圓錐的()，圓錐有()條高．【答案】2扇頂點(diǎn)圓心高1【解析】略【變式1-5】．用棱長6dm的正方體木塊，削成一個最大的圓錐，圓錐的底面直徑是dm，圓錐的高是dm?！敬鸢浮?6【分析】根據(jù)題意可知，把這個正方體木塊削成一個最大的圓錐，也就是削成的圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長，據(jù)此解答即可?！窘馕觥坑美忾L6dm的正方體木塊，削成一個最大的圓錐，圓錐的底面直徑是6dm，圓錐的高是6dm?！咀兪?-6】．妙想要測量圓錐的高，下面四種方法中正確的是（

）。A．B．C．D．【答案】D【分析】圓錐的頂點(diǎn)到圓錐的底面圓心之間的最短距離叫做圓錐的高，根據(jù)圓錐的高的概念進(jìn)行判斷?！窘馕觥繙y量圓錐高時(shí)要先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離，該距離即為圓錐的高，這種測量方法是正確的。故答案為：D【變式1-7】．將下面的圖形分類，說一說每類圖形的名稱和特征?！敬鸢浮恳娫斀狻痉治觥扛鶕?jù)圓柱和圓錐的特征解答即可?！窘馕觥康?、2、6個圖形是圓柱。圓柱的兩個底面都是圓，并且大小相同；圓柱的側(cè)面是一個曲面，側(cè)面沿高展開后得到一個長方形（或正方形）；圓柱有無數(shù)條高。第3、4、5個圖形是圓錐。圓錐的底面是一個圓；圓錐的側(cè)面是一個曲面，側(cè)面沿母線展開后是一個扇形；圓錐只有一條高?！咀兪?-8】．下面圖形中，是圓柱的有，是圓錐的有。（填編號）

【答案】①⑥⑦②⑤【分析】圓錐的特點(diǎn)：側(cè)面展開是一個扇形，只有一個底面，底面是圓，只有一條高。圓柱的特點(diǎn)：上下一樣粗細(xì)，兩個底面是完全相同的圓，側(cè)面是曲面，有無數(shù)條高。據(jù)此判斷?！窘馕觥繄D形中是圓柱的有①⑥⑦，是圓錐的有②⑤?！军c(diǎn)睛】牢記圓錐、圓柱的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵。題型2：平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的是否為圓錐【典例2】．下圖中，（

）沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個圓錐。A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱的特征可知，以長方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱。根據(jù)圓錐的特征可知，以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐?！窘馕觥緼．沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個圓柱；B．沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個組合圖形，上面是圓錐，下面是圓柱；C．沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個球；D．沿軸旋轉(zhuǎn)一周能夠得到一個圓錐。故答案為：D【變式2-1】．下面圖形旋轉(zhuǎn)就會形成圓錐。A． B． C． D．【答案】B【分析】A．長方形或正方形的對邊相等，長方形或正方形以它的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，它的上、下兩個面就是以半徑相等的兩個圓面，與軸平行的一邊形成一個曲面，這個長方形或正方形就成為一個圓柱。B．一個直角三角形，以它的一條直角邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，它的一面就是一個以另一條直角邊為半徑的一個圓面，直角三角形的斜邊形成一個曲斜面，由于直角三角形的另一點(diǎn)在軸上，旋轉(zhuǎn)后還是一點(diǎn)，這個直角三角形就形成一個圓錐。C．一個梯形繞著它的一條軸旋轉(zhuǎn)一周，會形成一個由兩個圓錐底面相對組合，中間為一個圓臺的組合體，不能形成圓錐。D．等腰三角形以它的底為軸，旋轉(zhuǎn)一周，形成的是兩個圓錐的組合體?！窘馕觥坑煞治龅茫盒D(zhuǎn)就會形成圓錐。故答案為：B【變式2-2】．下列圖形中，旋轉(zhuǎn)一周能得到圓錐的是（

）。A． B． C． D．【答案】B【分析】分析各個圖形旋轉(zhuǎn)一周能得到什么立體圖形，找出能得到圓錐的即可?！窘馕觥緼．旋轉(zhuǎn)一周能夠得到圓柱；B．旋轉(zhuǎn)一周能夠得到圓錐；C．旋轉(zhuǎn)一周能夠得到球體；D．旋轉(zhuǎn)一周能夠得到圓臺。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，掌握圓錐的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵?！咀兪?-3】．以直線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓柱的是()，形成圓錐的是()?！敬鸢浮竣佗邸痉治觥繄A柱是由以長方形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊繞該旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體；以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；據(jù)此判斷?！窘馕觥恳灾本€為軸旋轉(zhuǎn)一周，①是個圓柱，②是個球，③是個圓錐，④是個圓臺。因此以直線為軸旋轉(zhuǎn)，可以形成圓柱的是①，形成圓錐的是③。【變式2-4】．下面的圖形以粗線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是（

）。A． B． C． D．【答案】D【分析】以粗線的邊為三角形底邊，過三角形的頂點(diǎn)向底邊做垂線，得到上下兩個直角三角形，，以粗線為軸旋轉(zhuǎn)一周后形成的圖形是底面相接的兩個圓錐體的組合體，。【解析】由分析可知，以粗線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是。故答案為：D【變式2-5】．有一把直角三角板，三條邊的長分別是3厘米，4厘米，5厘米。如果以較短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，它的半徑是厘米，高是厘米；如果以較長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是，它的半徑是厘米，高是厘米；如果以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周呢？?！敬鸢浮繄A錐43圓錐34得到的幾何體是上下兩個圓錐【分析】以3厘米長的直角邊為軸把三角形旋轉(zhuǎn)一周，則這個3厘米的直角邊就是得到的圓錐的高，另一條直角邊是這個圓錐的底面半徑；以4厘米長的直角邊為軸把三角形旋轉(zhuǎn)一周，則這個4厘米的直角邊就是得到的圓錐的高，另一條直角邊是這個圓錐的底面半徑；據(jù)此解答即可?！窘馕觥坑幸话阎苯侨前?，三條邊的長分別是3厘米，4厘米，5厘米。如果以較短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，它的半徑是4厘米，高是3厘米；如果以較長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，它的半徑是3厘米，高是4厘米；如果以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是上下兩個圓錐。【點(diǎn)睛】得出旋轉(zhuǎn)后的圖形是一個圓錐體，且兩條直角邊分別是圓錐的底面半徑和高，是解決此題的關(guān)鍵?！咀兪?-6】．如圖，將直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個圓錐，圓錐的底面直徑是()cm，高是()cm?！敬鸢浮?4【分析】看圖可知，圓錐的底面半徑是2cm，根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系確定直徑；圓錐的高是4cm，據(jù)此填空?！窘馕觥浚╟m）將直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個圓錐，圓錐的底面直徑是4cm，高是4cm?！咀兪?-7】．直角三角形ABC（如圖），以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)360°后得到的圖形是（

）。A．底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐B．底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓錐C．底面半徑是6厘米，高是4厘米的圓錐【答案】A【分析】以哪條邊為軸旋轉(zhuǎn)，為軸的這條直角邊就是圓錐的高，另一條直角邊就是圓錐的底面半徑，據(jù)此分析。【解析】根據(jù)分析得，以直角邊AB為軸，圓錐的高就等于AB的長度，即高是4厘米，另一直角邊是3厘米，即底面半徑是3厘米，所以以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)360°后得到的圖形是底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐。故答案為：A【點(diǎn)睛】以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360°而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。題型3：圓錐的側(cè)面展開圖、側(cè)面積的計(jì)算【典例3】．把圓錐的側(cè)面按如圖所示的方式剪開，然后將它展開．想一想，它是一個什么圖形？【答案】扇形【解析】略【變式3-1】．已知圓錐的底面半徑是1，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的側(cè)面積為.【答案】【分析】通過圓錐側(cè)面展開圖是半圓，求出底面母線，再用側(cè)面積公式計(jì)算即可.【解析】圓錐側(cè)面展開圖是半圓，底面半徑為1，圓錐底面周長是，則母線長為.則圓錐側(cè)面積為.故答案為：.【變式3-1】．一圓錐的側(cè)面展開圖為一圓心角為的扇形，該圓錐母線長為6，則圓錐的底面半徑為．【答案】2【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)，結(jié)合弧長公式進(jìn)行求解即可.【解析】因?yàn)閳A錐的母線長為6，所以側(cè)面展開圖扇形的半徑為6，設(shè)該圓錐的底面半徑為，所以有，故答案為：.題型4：圓錐的表面積【典例4】．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，則該圓錐的表面積為.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由圓錐的側(cè)面展開圖求得，結(jié)合圓錐的表面積公式，即可得答案.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，故，則，故該圓錐的表面積為，故答案為：【變式4-1】．一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式即可求解．【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意可得：，解得，所以圓錐的表面積為．故答案為：.【變式4-2】．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是.【答案】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖即可求得圓錐底面圓半徑，分別求得這個圓錐的表面積和側(cè)面積即可求出結(jié)果.【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則底面圓的周長為，即展開后的扇形弧長為，又扇形的圓心角為，半徑為1，所以，所以，故圓錐的側(cè)面積為，表面積為，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為，即這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是.故答案為：題型5：圓錐的體積、根據(jù)體積計(jì)算其他量【典例5】．一個圓錐形沙堆，測得底面周長是12.56米，高1.5米。這個沙堆的體積是（

）。A．12.56立方米 B．18.84立方米 C．6.28立方米【答案】C【分析】根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷π÷2，代入數(shù)據(jù)，求出圓錐形沙堆底面的半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【解析】12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（米）3.14×22×1.5×＝3.14×4×1.5×＝12.56×1.5×＝18.84×＝6.28（立方米）一個圓錐形沙堆，測得底面周長是12.56米，高1.5米。這個沙堆的體積是6.28立方米。故答案為：C【變式5-1】．一堆煤成圓錐形，高2米，底面周長為18.84米。已知每立方米的煤約重1400千克，這堆煤大約重多少噸？【答案】26.376噸【分析】根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2×即可求出煤的體積，然后用煤的體積乘1400千克，即可求出煤的總千克數(shù)，再把單位換算成噸。【解析】3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2×＝3.14×32×2×＝3.14×9×2×＝18.84（立方米）18.84×1400＝26376（千克）26376千克＝26.376噸答：這堆煤大約重26.376噸?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式?！咀兪?-2】．一個圓錐的底面積是60平方厘米，高7厘米，這個圓錐的體積是多少立方厘米？【答案】140立方厘米【分析】已知圓錐的底面積和高，根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出這個圓錐的體積?！窘馕觥俊?0×7＝140（立方厘米）答：這個圓錐的體積是140立方厘米。【變式5-3】．一個圓錐形沙堆，它的體積是9立方分米，底面積是5平方分米，它的高是()分米?！敬鸢浮?.4【分析】已知圓錐形沙堆的體積和底面積，根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓錐的高h(yuǎn)＝3V÷h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出它的高?！窘馕觥?×3÷5＝27÷5＝5.4（分米）它的高是5.4分米?！咀兪?-4】．一個圓錐的體積是6dm3，高是3dm，底面積是（

）dm2。A．6 B．18 C．2【答案】A【分析】圓錐的體積和高已知，利用圓錐的體積V＝Sh，可得S＝3V÷h，即可求出這個圓錐的底面積?！窘馕觥?×3÷3＝18÷3＝6（dm2）底面積是6dm2；故答案為：A【變式5-5】．如圖，將10毫升酒裝入一個圓錐形容器中，酒深正好占容器深的。請問：再添入()毫升酒，可裝滿此容器？【答案】70【分析】根據(jù)圓錐的體積公式：v＝sh，所以當(dāng)高為原來的一半時(shí)，其底面圓的半徑將為原來的一半，根據(jù)圓的面積公式則其底面積將為原來的四分之一，所以其體積將為原來的八分之一。因此，根據(jù)已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法求出容器的容積，再減去已有酒的體積，就得到還要添入酒的體積?！窘馕觥繐?jù)分析可知，10毫升占容器容積的；（毫升）將10毫升酒裝入一個圓錐形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可裝滿此容器?！军c(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是要找出容器容積與已有酒的體積的關(guān)系，根據(jù)已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法解答即可。題型6：圓錐的體積的變化【典例6】．一個圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來的5倍，高不變，則其體積擴(kuò)大到原來的()倍；如果它的底面半徑擴(kuò)大到原來的5倍，高也擴(kuò)大到原來的5倍，此時(shí)其體積擴(kuò)大到原來的()倍。【答案】25125【分析】假設(shè)圓錐底面半徑2厘米，高3厘米，根據(jù)圓錐體積＝底面積×高，分別計(jì)算出底面半徑或底面半徑和高擴(kuò)大前后的體積，再確定擴(kuò)大到原來的倍數(shù)即可?！窘馕觥考僭O(shè)圓錐底面半徑2厘米，高3厘米。3.14×（2×5）2×3÷3÷（3.14×22×3÷3）＝3.14÷3.14×（2×5）2÷22＝102÷4＝100÷4＝253.14×（2×5）2×（3×5）÷3÷（3.14×22×3÷3）＝3.14÷3.14×（2×5）2×（3×5）÷（22×3）＝102×15÷（4×3）＝100×15÷12＝125一個圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來的5倍，高不變，則其體積擴(kuò)大到原來的25倍；如果它的底面半徑擴(kuò)大到原來的5倍，高也擴(kuò)大到原來的5倍，此時(shí)其體積擴(kuò)大到原來的125倍?！咀兪?-1】．一個圓錐的底面積擴(kuò)大到原來的2倍，高也擴(kuò)大到原來的2倍，它的體積擴(kuò)大到原來的（

）倍。A．2 B．4 C．8【答案】B【分析】積的變化規(guī)律：如果一個因數(shù)擴(kuò)大到原來的幾倍，另一個因數(shù)不變，那么積也擴(kuò)大到原來的幾倍；如果一個因數(shù)縮小到原來的幾分之一，另一個因數(shù)不變，那么積也縮小到原來的幾分之一。圓錐的體積＝底面積×高×，據(jù)此解答。【解析】通過分析可得：一個圓錐的底面積擴(kuò)大到原來的2倍，高也擴(kuò)大到原來的2倍，2×2＝4，則它的體積擴(kuò)大到原來的4倍。故答案為：B【變式6-2】．一個圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來的2倍，高也擴(kuò)大原來的2倍，它的體積擴(kuò)大到原來的（

）倍。A．4 B．6 C．8 D．不變【答案】C【分析】設(shè)原來圓錐的半徑為1，高為2，則變化后的圓錐的半徑為1×2＝2，高為2×2＝4，圓錐的體積＝×h，據(jù)此分別求出圓錐原來的體積和現(xiàn)在的體積，再用現(xiàn)在的體積除以原來的體積即可解答?！窘馕觥吭O(shè)原來圓錐的半徑為1，高為2，則變化后的圓錐的半徑為1×2＝2，高為2×2＝4?！痢?＝×1×2＝1×2＝2，2×2＝4××4＝×4×4＝×（4×4）＝×16＝÷＝×＝8所以它的體積擴(kuò)大到原來的8倍。故答案為：C題型7：圓柱與圓錐體積有關(guān)的比值問題【典例7】．一個圓柱和一個圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍，圓錐與圓柱的體積比值是()。【答案】【分析】根據(jù)圓柱的體積公式：V＝Sh，圓錐的體積公式：V＝Sh，因“圓柱的底面積是圓錐底面積的”是以圓錐底面積為單位“1”，所以設(shè)圓錐的底面積為S，則圓柱的底面積為，又因“圓錐的高是圓柱高的2倍”是以圓柱的高為標(biāo)準(zhǔn)量，所以設(shè)圓柱的高為h，則圓錐的高為2h，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可。【解析】假設(shè)圓錐的底面積為S，則圓柱的底面積為，圓柱的高為h，則圓錐的高為2h，圓錐與圓柱體積的比值是：圓錐與圓柱的體積比值是?！军c(diǎn)睛】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用；本題還要注意題目中的倍數(shù)關(guān)系是以哪個量為標(biāo)準(zhǔn)量，最后求比值也要看清楚哪個量是比的前項(xiàng)，哪個量是比的后項(xiàng)?！咀兪?-1】．一個圓柱和圓錐的體積相等，圓柱和圓錐的底面積之比是5∶3，圓柱的高是5分米，圓錐的高是()分米?！敬鸢浮?5【分析】根據(jù)圓柱的體積V＝Sh，圓錐的體積V＝Sh，把圓柱的底面積看作5S平方分米，則圓錐的底面積為3S平方分米。圓柱和圓錐的體積相等，據(jù)此求出圓錐的高?！窘馕觥考僭O(shè)圓柱的底面積是5S平方分米，則圓錐的底面積是3S平方分米。圓柱的體積：5S×5＝25S圓錐的體積：×3S×h＝Sh圓柱和圓錐的體積相等，則25S＝Shh＝25S÷S＝25所以圓錐的高是25分米?！咀兪?-2】．一個圓柱和一個圓錐的高相等，圓柱與圓錐的底面半徑之比為5∶3，它們體積之和是560cm3，圓柱的體積是()cm3，圓錐的體積是()cm3?！敬鸢浮?0060【分析】假設(shè)圓柱和圓錐的高都是h，根據(jù)圓柱體積＝底面積×高，圓錐體積＝底面積×高÷3，兩數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，寫出圓柱和圓錐的體積比，化簡，將比的前后項(xiàng)看成份數(shù)，體積之和÷總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘圓柱和圓錐的對應(yīng)份數(shù)，即可求出圓柱和圓錐的體積?！窘馕觥考僭O(shè)圓柱和圓錐的高都是h。圓柱和圓錐的體積比：（3.14×52×h）∶（3.14×32×h÷3）＝52∶（32÷3）＝25∶（9÷3）＝25∶35600÷（25＋3）＝560÷28＝20（cm3）200×25＝500（cm3）20×3＝60（cm3）圓柱的體積是500cm3，圓錐的體積是60cm3?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓柱和圓錐的體積公式，先確定圓柱和圓錐的體積比?！咀兪?-3】．一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，它們體積的比是1∶1，圓柱和圓錐高的比是（

）。A．2∶3 B．3∶4 C．4∶3 D．4∶9【答案】B【分析】一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，可以假設(shè)該圓柱底面半徑為2，圓錐底面半徑為3，它們體積的比是1∶1，假設(shè)它們的體積都為1，根據(jù)圓柱體積公式：V＝πr2h，推出圓柱的高為：h＝V÷πr2，圓錐的體積公式：V＝πr2h，推出圓錐的高為：h＝V×3÷πr2，分別將數(shù)據(jù)代入，求出圓柱和圓錐的高，據(jù)此寫出圓柱和圓錐高的比。【解析】假設(shè)圓柱底面半徑為2，圓錐底面半徑為3，假設(shè)它們的體積都為1。圓柱的高：圓錐的高：圓柱和圓錐高的比：圓柱和圓錐高的比是3∶4。故答案為：B【變式7-4】．有一個圓柱和一個圓錐，圓柱的底面積是圓錐底面積的，圓錐的高是圓柱高的2倍。這個圓柱和圓錐的體積之比是（

）。A．2∶5 B．4∶25 C．5∶2 D．3∶5【答案】D【分析】假設(shè)圓柱的底面積是2，高是3，則圓錐的底面積是5，高是6，根據(jù)圓柱的體積公式和圓錐的體積公式，分別求出體積列比并化簡即可?！窘馕觥考僭O(shè)圓柱的底面積是2，高是3，則圓錐的底面積是5，高是6。圓柱的體積：2×3＝6圓錐的體積：5×6×＝30×＝106∶10＝3∶5這個圓柱和圓錐的體積之比是3∶5。故答案為：D【變式7-5】．一個圓柱和圓錐的體積相等，它們的底面積的比是3∶2，圓柱的高是10cm，圓錐的高是（

）cm。A．30 B．45 C．60【答案】B【分析】已知圓柱和圓錐的底面積的比是3∶2，可以把圓柱的底面積看作3份，則圓錐的底面積看作2份；根據(jù)“圓柱和圓錐的體積相等”以及圓柱、圓錐的體積公式可得出等量關(guān)系：S錐h錐＝S柱h柱，據(jù)此列出方程，并求解。【解析】解：設(shè)圓錐的高為hcm。×2×h＝3×10h＝30h＝30÷h＝30×h＝45圓錐的高是45cm。故答案為：B【變式7-6】．把一個圓柱削成一個最大的圓錐，削去部分與圓柱體積的比是（

）。A．3∶2 B．2∶3 C．3∶1 D．1∶3【答案】B【分析】把一個圓柱削成一個最大的圓錐，圓柱和圓錐等底等高，圓柱體積是圓錐體積的3倍，將圓錐體積看作1，則圓柱體積是3，削去部分的體積是（3－1），兩數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，根據(jù)比的意義，寫出削去部分與圓柱體積的比即可?！窘馕觥浚?－1）∶3＝2∶3削去部分與圓柱體積的比是2∶3。故答案為：B【變式7-7】．一個圓柱的體積是一個圓錐體積的6倍，已知圓柱的高是圓錐高的2.5倍，那么圓錐的底面積與圓柱的底面積的比是（

）。A．2∶3 B．4∶5 C．5∶4 D．3∶2【答案】C【分析】設(shè)圓錐的體積為V，則圓柱的體積是6V；設(shè)圓錐的高為h，則圓柱的高為2.5h；根據(jù)圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，圓錐的底面積＝圓錐的體積÷圓錐的高÷，圓錐的底面積＝V÷h÷；圓柱的底面積＝圓柱的體積÷圓柱的高，圓柱的底面積＝6V÷2.5h，再根據(jù)比的意義，用圓錐的底面積∶圓柱的底面積，化簡比即可得解。【解析】設(shè)圓錐的體積為v，則圓柱的體積是6v；設(shè)圓錐的高為h，則圓柱的高為2.5h。（V÷h÷）∶（6V÷2.5h）＝（3×）∶（2.4×）＝3∶2.4＝（3÷0.6）∶（2.4÷0.6）＝5∶4那么圓錐的底面積與圓柱的底面積的比是5∶4。故答案為：C題型8：圓柱與圓錐體積結(jié)合的綜合應(yīng)用【典例8】．等底等高的圓柱和圓錐的體積相差216立方米，則這個圓柱的體積是()立方米?！敬鸢浮?24【分析】根據(jù)等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍，知道等底等高的圓柱的體積與圓錐的體積相差（3－1）倍，由此用216除以（3－1）就是圓錐的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積?！窘馕觥?16÷（3－1）×3＝216÷2×3＝108×3＝324（立方米）所以這個圓柱的體積是324立方米?！咀兪?-1】．等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積相差32立方厘米，這個圓錐的體積是()立方厘米，圓柱的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?648【分析】等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以一個圓錐體與和它等底等高的圓柱體體積相差2個圓錐的體積。據(jù)此，用32立方厘米除以2，求出圓錐的體積，再將其乘3，求出圓柱的體積即可。【解析】32÷2＝16（立方厘米）16×3＝48（立方厘米）即這個圓錐的體積是16立方厘米，圓柱的體積是48立方厘米。【變式8-2】．圓柱和圓錐等底等體積，圓錐體的高是18厘米，那么圓柱的高是（

）厘米。A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】圓錐體積＝×底面積×高，圓柱體積＝底面積×高，所以圓柱和圓錐等底等體積時(shí)，圓錐的高是圓柱高的3倍，據(jù)此解答即可。【解析】根據(jù)分析可知：圓柱的高：（厘米）故答案為：D【變式8-3】．一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓錐的體積是23立方分米，圓柱的體積是（

）立方分米。A． B．69 C．23 D．46【答案】B【分析】圓柱的體積公式＝底面積×高，圓錐的體積公式＝底面積×高×，因?yàn)轭}中說圓柱和圓錐等底等高，即圓柱和圓錐的底面積和高是一樣的，所以圓柱體積是圓錐體積的3倍，據(jù)此可以解答?！窘馕觥恳?yàn)閳A柱和圓錐等底等高，所以圓柱體積是圓錐體積的3倍?！咀兪?-1】×3＝69（立方分米）故答案為：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍的關(guān)系?！咀兪?-4】．如圖，將圓柱形容器中的水倒入圓錐形容器中，（

）正好倒?jié)M。（單位：cm）A． B． C．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱體積＝底面積×高，圓錐體積＝底面積×高÷3，分別計(jì)算出水的體積和各選項(xiàng)圓錐形容器的容積即可?！窘馕觥?.14×（10÷2）2×6＝3.14×52×6＝3.14×25×6＝471（cm3）A．3.14×（10÷2）2×15÷3＝3.14×52×15÷3＝3.14×25×15÷3＝392.5（cm3）B．3.14×（10÷2）2×18÷3＝3.14×52×18÷3＝3.14×25×18÷3＝471（cm3）C．3.14×（12÷2）2×15÷3＝3.14×62×15÷3＝3.14×36×15÷3＝565.2（cm3）將圓柱形容器中的水倒入圓錐形容器中，B選項(xiàng)的圓錐形容器正好倒?jié)M。故答案為：B一、選擇題1．圓錐是由（

）個面圍成的立體圖形。A．1 B．2 C．3【答案】B【分析】將圓錐的表面展開，由此可知圓錐是由1個底面和一個曲面組成的，據(jù)此解答。【解析】圓錐的展開圖如下：由圖可知：圓錐是由2個面圍成的立體圖形。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的認(rèn)識，注意圓錐的曲面展開是一個扇形。2．左面圖形以虛線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形是（

）。A．三角形 B．圓錐 C．圓柱【答案】B【分析】以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐?！窘馕觥孔竺鎴D形以虛線為軸快速旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，是圓錐。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的特征，旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。3．一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，它們體積的比是1∶1，圓柱和圓錐高的比是（

）。A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9【答案】A【分析】一個圓柱和一個圓錐，底面圓的半徑的比是2∶3，可以假設(shè)該圓柱底面半徑為2，圓錐底面半徑為3，它們體積的比是1∶1，假設(shè)它們的體積都為1，根據(jù)圓柱體積公式：V＝πr2h，推出圓柱的高為：h＝V÷πr2，圓錐的體積公式：V＝πr2h，推出圓錐的高為：h＝V×3÷πr2，分別將數(shù)據(jù)代入，求出圓柱和圓錐的高，據(jù)此寫出圓柱和圓錐高的比。【解析】由分析可得：假設(shè)圓柱底面半徑為2，圓錐底面半徑為3，圓柱體積為1，圓錐體積為1，圓柱的高為：1÷π×22＝1÷4π＝圓錐的高為：1×3÷π×32＝3÷9π＝圓柱和圓錐高的比是：∶＝（×12π）∶（×12π）＝3∶4故答案為：A4．一個直角三角形，兩條直角邊分別是3厘米和4厘米。以較短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個立體圖形。這個立體圖形的體積是（

）立方厘米。A．12π B．16π C．48π【答案】B【分析】以短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的立體圖形是圓錐，底面半徑是4厘米，高是3厘米。根據(jù)圓錐的體積V＝r2h即可求出體積。【解析】×42×3×＝×16×（3×）＝×16×1＝16即這個立體圖形的體積是16。故答案為：B5．一個圓柱體木塊切成四塊（如圖一），表面積增加48平方厘米；切成三塊（如圖二），表面積增加50.24平方厘米。如果削成一個最大的圓錐體（如圖三），體積減少了（

）立方厘米。（π取3.14）

A．6.28 B．12.56 C．25.12【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，圖一表面積增加了4個長方形面，長是圓柱的底面直徑，寬是圓柱的高，據(jù)此用48÷4即可求出1個長方形面的面積；圖二表面積增加了4個底面積，據(jù)此用50.24÷4即可求出1個底面積，再根據(jù)底面積公式：S＝πr2，推出圓柱的底面半徑，然后根據(jù)長方形的面積公式，求出圓柱的高即可；圖三的圓柱和圓錐等底等高，根據(jù)圓柱的體積公式和圓錐的體積公式，求出圓柱和圓錐的體積，再求出它們的差即可。【解析】48÷4＝12（平方厘米）50.24÷4＝12.56（平方厘米）12.56÷3.14＝44＝2×2圓柱的底面半徑是2厘米，12÷（2×2）＝12÷4＝3（厘米）12.56×3－12.56×3×＝37.68－12.56＝25.12（立方厘米）體積減少了25.12立方厘米。故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體圖形的切拼、圓柱和圓錐體積公式的靈活應(yīng)用，注意表面積增加了哪些面。二、填空題6．一個圓柱和一個圓錐，底面積的比是，高之比是，那么這個圓柱和圓錐的體積之比是()?！?/p>