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3.3卷積和主講人：吉利萍通信與信息工程學院任意離散序列f(k)

可表示為:3.3.1序列的分解與卷積和h(k)的定義：δ(k)

h(k)時不變性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)齊次性：f(i)h(k-i)疊加性：f(k)yzs(k)卷積和3.3.1序列的分解與卷積和LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵信號f(k)與系統(tǒng)的單位序列響應h(k)的卷積和運算。任意離散序列

f(k)

可表示為:3.3.1序列的分解與卷積和

卷積和的定義3.3.1序列的分解與卷積和

已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)則定義為與的卷積和，簡稱卷積；記為注意：求和是在虛設的變量i下進行的，i為求和變量，

k

為參變量。求和結果為k

的函數(shù)。解:例1：

,，求。3.3.1序列的分解與卷積和注意：利用ε(k)確定求和上下限。3.3.1序列的分解與卷積和圖解法：（1）換元：

f1(k)

→f1(i)，f2(k)

→f2(i)（2）反轉平移：f2(i)反轉→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：

f1(i)f2(k–i)（4）求和：

i從–∞到∞對乘積項求和。注意：k為參變量。步驟：3.3.2圖解法求卷積和例2：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)。解：（1）換元（2）f2(i)反轉得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)3.3.2圖解法求卷積和不進位乘法：f(k)=所有兩序列序號之和為k

的那些樣本乘積之和。如k=2時f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+…+f1(i)f2(k–i)+…3.3.3不進位乘法求卷積和f1(1)，

f1(2)，

f1(3)f2(0)，

f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，

f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0),

f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，

f1(3)f2(1)

，0}排成乘法例3:

f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}，求

f1(k)*f2(k)。解:例4:

已知f1(k)和f2(k)如下圖所示，

求

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：1）列乘法時要右對齊

且不進位2）相加時各列取代數(shù)和3）注意序列中k的定位

卷積和是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質（或運算規(guī)則），靈活地運用其性質能簡化卷積運算。下面討論均設卷積和是收斂的（或存在的）。

一、卷積和的代數(shù)性質：卷積和滿足乘法的三大定律：1、交換律3.3.4卷積和的性質系統(tǒng)的并聯(lián)運算：2、分配律子系統(tǒng)并聯(lián)，總系統(tǒng)單位序列響應等于各子系統(tǒng)單位序列響應之和。3.3.4卷積和的性質系統(tǒng)的級聯(lián)運算：3、結合律子系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的單位序列響應等于各子系統(tǒng)的單位序列響應的卷積。3.3.4卷積和的性質二、普通序列與單位序列的卷積和3.3.4卷積和的性質三、普通序列與階躍序列的卷積和四、卷積和的時移特性:若則3.3.4卷積和的性質五、卷積和的差分、累和性質:3.3.4卷積和的性質差分：累和：差分、累和：前提條件：例5：如圖復合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組成，其中

，求復合系統(tǒng)的單位序列響應

。解：3.3.4卷積和的性質例6：

如圖復合系統(tǒng)由兩