綜合質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2014·山東高考)設(shè)集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，則A∩B＝()A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)解析：由已知A＝{x|－1<x<3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以，A∩B＝[1,3)，選C.答案：C2．若n>0，則n＋eq\f(32,n2)的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：根據(jù)算術(shù)－幾何平均不等式可得n＋eq\f(32,n2)＝eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)＋eq\f(32,n2)≥3×eq\r(3,\f(1,2)×\f(1,2)×32)＝6，故選C.答案：C3．設(shè)x>0，y>0，A＝eq\f(x＋y,1＋x＋y)，B＝eq\f(x,1＋x)＋eq\f(y,1＋y)，則A，B的大小關(guān)系是()A．A＝B B．A<BC．A≤B D．A>B解析：通過對(duì)式子B進(jìn)行放縮可得B＝eq\f(x,1＋x)＋eq\f(y,1＋y)>eq\f(x,1＋x＋y)＋eq\f(y,1＋y＋x)＝eq\f(x＋y,1＋x＋y)＝A，即A<B.故選B.答案：B4．已知x＋2y＝1，則2x＋4y的最小值為()A．8 B．6C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：根據(jù)基本不等式可得2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x＋2y)＝2eq\r(2)，故選C.答案：C5．設(shè)|a|<1，|b|<1，則|a＋b|＋|a－b|與2的大小關(guān)系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不可能比較大小解析：當(dāng)(a＋b)(a－b)≥0時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2，當(dāng)(a＋b)(a－b)<0時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B6．已知|2x－3|≤2的解集與關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集相同，則()A．a(chǎn)＝3，b＝－eq\f(5,4) B．a(chǎn)＝－3，b＝eq\f(5,4)C．a(chǎn)＝3，b＝eq\f(5,4) D．a(chǎn)＋b＝eq\f(17,4)解析：由|2x－3|≤2解得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(5,2)，因?yàn)閨2x－3|≤2的解集與x2＋ax＋b≤0的解集相同，所以x＝eq\f(1,2)或x＝eq\f(5,2)為方程x2＋ax＋b＝0的解，則分別代入該方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,2)a＋b＝0，,\f(25,4)＋\f(5,2)a＋b＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝\f(5,4).))答案：B7．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A．2 B．4C．6 D．8解析：把已知不等式展開結(jié)合基本不等式可知：(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥(eq\r(a)＋1)2，所以(eq\r(a)＋1)2≥9.所以a≥4.故選B.答案：B8．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是()A．[－5,7] B．[4,6]C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：當(dāng)x>5時(shí)，原不等式可化為2x－2≥10，解得x≥6；當(dāng)－3≤x≤5時(shí)，原不等式可化為8≥10，不成立；當(dāng)x<－3時(shí)，原不等式可化為－2x＋2≥10，解得x≤－4.綜上可知x≥6或x≤－4，故選D.答案：D9．已知x為實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0時(shí)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)與1的大小關(guān)系為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)B.eqB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)D.eqD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)≤1解析：由貝努利不等式可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n>1－eq\f(nx,1＋x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,1＋x)))n＋eq\f(nx,1＋x)>1，故選A.答案：A10．設(shè)a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，則ab＋bc＋ca的最大值為()A．0 B．1D.eq D.eq\f(\r(3,3),3)解析：由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3.答案：C11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)”時(shí)，從n＝k到n＝k＋1時(shí)應(yīng)增添的式子是()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.eq\f(2k＋1,k＋1)D.eqD.\f(2k＋2,k＋1)解析：n＝k時(shí)，有f(k)＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，n＝k＋1時(shí)，有f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(k＋k＋1)(k＋k＋2)，所以f(k＋1)＝f(k)·eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝f(k)·2(2k＋1)．答案：B12．(2014·遼寧高考)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足：①f(0)＝f(1)＝0；②對(duì)所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<eq\f(1,2)|x－y|.若對(duì)所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，則k的最小值為()A.eq\f(1,2)B.eqB.\f(1,4)C.eq\f(1,2π)D.eqD.\f(1,8)解析：不妨令0≤y<x≤1，當(dāng)0<x－y≤eq\f(1,2)時(shí)，|f(x)－f(y)|<eq\f(1,2)|x－y|≤eq\f(1,4)；當(dāng)eq\f(1,2)<x－y≤1時(shí)，|f(x)－f(y)|＝|[f(x)－f(1)]－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<eq\f(1,2)|x－1|＋eq\f(1,2)|y－0|＝eq\f(1,2)(1－x)＋eq\f(1,2)y＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(y－x)<eq\f(1,4).綜上，|f(x)－f(y)|<eq\f(1,4)，所以k≥eq\f(1,4).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)13．不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x)))<1的解集為________．解析：因?yàn)閤≠0，所以|x＋2|<|x|，即(x＋2)2<x2.所以x＋1<0，x<－1.所以原不等式的解集為{x|x<－1}．答案：{x|x<－1}14．若x，y，z是正數(shù)，且滿足xyz(x＋y＋z)＝1，則(x＋y)(y＋z)的最小值為________．解析：(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(tǒng)(x＋y＋z)＋zx≥2eq\r(yx＋y＋zzx)＝2.答案：215．(2014·陜西高考)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則eq\r(m2＋n2)的最小值為________．解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴eq\r(m2＋n2)≥eq\r(5).∴所求最小值為eq\r(5).答案：eq\r(5)16．請(qǐng)補(bǔ)全用分析法證明不等式“ac＋bd≤eq\r(a2＋b2c2＋d2)”時(shí)的推論過程：要證明ac＋bd≤eq\r(a2＋b2c2＋d2)，①____________________________________，只要證(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即要證a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2即要證a2d2＋b2c2≥2abcd，②解析：根據(jù)分析法的原理，及后續(xù)證明提示，可知在①處需要對(duì)ac＋bd的正負(fù)討論；對(duì)于②處需要考慮前面證明步驟成立的條件，及結(jié)論的寫法．答案：①當(dāng)ac＋bd≤0時(shí)，命題成立．當(dāng)ac＋bd>0時(shí)②因?yàn)?ad－bc)2≥0，所以a2d2＋b2c2≥2abcd三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)若a>2，b>3，求a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)的最小值．解：因?yàn)閍>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0.所以a＋b＋eq\f(1,a－2b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋eq\f(1,a－2b－3)＋5≥3eq\r(3,a－2b－3·\f(1,a－2b－3))＋5＝3＋5＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，等號(hào)成立)．所以所求最小值為8.18．(本小題滿分12分)(2016·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，M為不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＜|1＋ab|.(1)解：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤－\f(1,2)，,1，－\f(1,2)＜x＜\f(1,2)，,2x，x≥\f(1,2).))當(dāng)x≤－eq\f(1,2)時(shí)，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；當(dāng)－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＜2；當(dāng)x≥eq\f(1,2)時(shí)，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，b∈M時(shí)，－1＜a＜1，－1＜b＜1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.19．(本小題滿分12分)(2014·福建高考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.(1)求a的值．(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.(1)解：因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.20．(本小題滿分12分)(2016·全國(guó)丙卷)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}．(2)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于|1－a|＋a≥3.①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無解．當(dāng)a＞1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范圍是[2，＋∞)．21．(本小題滿分12分)把一條長(zhǎng)是m的繩子截成三段，各圍成一個(gè)正方形．怎樣截能使得這三個(gè)正方形的面積的和最??？解：設(shè)三段的長(zhǎng)度為x，y，z.那么，x＋y＋z＝m是一個(gè)定值．三個(gè)正方形的面積的和為S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,4)))2＝eq\f(1,16)(x2＋y2＋z2)．而S和16S＝x2＋y2＋z2同時(shí)有最小值．由柯西不等式(xa＋yb＋zc)2≤(x2＋y2＋z2)(a2＋b2＋c2)，使a＝b＝c＝1，可得(x＋y＋z)2≤3(x2＋y2＋z2)，因?yàn)樽筮?x＋y＋z)2＝m2，是一個(gè)定值，所以，在x＝y(tǒng)＝z時(shí)，3(x2＋y2＋z2)有最小值．這就是說，把繩子三等分后，這三段所圍成的三個(gè)正方形的面積的和最?。?2．(本小題滿分12分)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．(2)記Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求證：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q