11第三章離散系統(tǒng)的時域分析主講人：吉利萍通信與信息工程學院第三章離散系統(tǒng)的時域分析

離散系統(tǒng)分析與連續(xù)系統(tǒng)分析在許多方面是相互平行的，它們有許多類似之處。LTI連續(xù)系統(tǒng)用常系數(shù)線性微分方程描述，

LTI離散系統(tǒng)用常系數(shù)線性差分方程描述。差分方程與微分方程的求解方法相互對應。

既要利用二者之間的相似性，也要注意二者之間的重要差異。

內容概述3.1LTI離散系統(tǒng)的響應3.2單位序列響應和階躍響應3.3卷積和1、差分與差分方程2、差分方程的求解

3、零輸入響應和零狀態(tài)響應1、單位序列響應

2、階躍響應1、序列分解與卷積和2、圖解法求卷積和3、不進位乘法求卷積和4、卷積和的性質引言LTI離散時間系統(tǒng)的輸入輸出信號關系可以用N階線性常系數(shù)差分方程描述。LTI離散系統(tǒng)的時域分析，歸結為：建立并求解線性常系數(shù)差分方程。

分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

（1）了解LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程求解；（2）掌握系統(tǒng)的單位序列響應和階躍響應；（3）掌握卷積和的概念及計算；（4）掌握零輸入響應和零狀態(tài)響應的求解方法。本章教學基本要求66

3.1LTI離散系統(tǒng)的響應主講人：吉利萍通信與信息工程學院

仿照連續(xù)信號的微分運算，定義離散信號的差分運算。離散信號的變化率有兩種表示形式：3.1.1差分與差分方程微分運算：差分運算：一階前向差分：

一階后向差分：

差分的線性性質：

二階差分的定義：

[]

m階差分的定義：

3.1.1差分與差分方程

若單輸入-單輸出的LTI離散時間系統(tǒng)的激勵為f(k)，全響應為y(k)，則描述系統(tǒng)激勵

f(k)與響應

y(k)之間關系的數(shù)學模型是n階常系數(shù)線性差分方程：差分方程：包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。3.1.1差分與差分方程

差分方程是遞推的代數(shù)方程，若已知激勵

和初始條件，利用迭代法可求得其數(shù)值解。例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條件

y(0)=0,y(1)=2,激勵

,求

y(k)。解：……

一般不易得到解析形式的(閉合)解。

3.1.2差分方程的求解迭代法：

差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成：

（1）齊次解：齊次差分方程的解。齊次解特解3.1.2差分方程的求解經典法：

（2）特解：特解的形式與激勵的函數(shù)形式有關。齊次解：列特征方程求特征根表1不同特征根所對應的齊次解設齊次解3.1.2差分方程的求解特征根

齊次解

齊次解單實根

二實根二實根特解：

根據(jù)微分方程右端激勵的形式，設含待定系數(shù)代入差分方程求出特解。的特解函數(shù)式全解：根據(jù)初始條件確定齊次解系數(shù)，得到全解。

全解=齊次解+特解3.1.2差分方程的求解

特解：特解的形式與激勵的函數(shù)形式有關。3.1.2差分方程的求解例1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始條件y(0)=0，y(1)=–1；激勵f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程為λ2+4λ+4=0

特征根λ1=λ2=–2，齊次解：

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k

特解：yp(k)=P2k,k≥03.1.2差分方程的求解

把特解yp(k)=P2k

代入差分方程

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)，得

P2k+4P2k–1+4P2k–2=f(k)=2k

，解得P=1/4

故特解為：yp(k)=2k–2,k≥0

齊次解為：

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k故全解為：

y(k)=yh(k)+yp(k)=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0

代入初始條件：y(0)=C2

+

1/4=

0

y(1)=–2(C1+C2)+1/2=

–1解得C1=1,C2=–1/4，求得全解為：

y(k)=(k–1/4)(–2)k+2k–2,k≥03.1.2差分方程的求解

y(k)=yzi(k)+yzs(k)

,也可以分別用經典法求解。

y(j)=yzi(j)+yzs(j),j=0,1,2,…,n–1

求初始值（由系統(tǒng)的初始狀態(tài)）設激勵f(k)在k=0時接入系統(tǒng)，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

因為

yzs(–1)=yzs(–2)=…=yzs(–n)=0

所以

y(–1)=yzi(–1),y(–2)=yzi(–2),…，y(–n)=yzi(–n)

然后利用迭代法分別求得零輸入響應和零狀態(tài)響應的

初始值

yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,…，n–1)3.1.3零輸入響應和零狀態(tài)響應例2：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激勵f(k)=2k,k≥0，初始狀態(tài)y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。思路分析：（1）首先根據(jù)初始狀態(tài)求得零輸入響應的初始值,

利用經典法求得零輸入響應；（2）根據(jù)初始狀態(tài)求得零狀態(tài)響應的初始值,

利用經典法求得零狀態(tài)響應；（3）全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應。3.1.3零輸入響應和零狀態(tài)響應解：（1）零輸入響應yzi(k)

滿足方程

yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0初始狀態(tài)：yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2求出初始值yzi(0),yzi(1),yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1,yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3

特征方程為：λ2+3λ+2=0

特征根為：λ1=–1，λ2=–2，其解為：yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k

將初始值代入并解得：Czi1=1,Czi2=–2

零輸入響應：

yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥03.1.3零輸入響應和零狀態(tài)響應

yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)初始狀態(tài)：yzs(–1)=yzs(–2)=0求初始值：yzs(0),yzs(1)

yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1

特征方程為：

λ2+3λ+2=0

特征根為：λ1=–1，λ2=–2

齊次解為：yh(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k

特解為：yp(k)=P(2)k,k≥0（2）零狀態(tài)響應yzs(k)

滿足方程3.1.3零輸入響應和零狀態(tài)響應故全解為：

yzs(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+yp(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Czs1=–1/3,Czs2=1零狀態(tài)響應為：yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0

將特解yp(k)=P(2)k

代入差分方程

yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)得：P(2)k+3P(2)k–1+2P(2)k