第03講集合的基本運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：并集圖形語言：并集的性質(zhì)：【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪幾種情況？“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種情況：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn圖表示如圖所示．【思考2】集合A∪B的元素個(gè)數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)和？不等于，A∪B的元素個(gè)數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個(gè)數(shù)和．知識(shí)點(diǎn)二：交集圖形語言：理解：當(dāng)與沒有公共元素時(shí)，不能說與沒有交集，只能說與的交集是.交集的性質(zhì)：知識(shí)點(diǎn)三：補(bǔ)集（1）全集的概念：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作.【思考】全集一定是實(shí)數(shù)集R嗎？全集是一個(gè)相對(duì)概念，因研究問題的不同而變化，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式，全集為實(shí)數(shù)集R，而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，則全集為整數(shù)集Z.（2）補(bǔ)集的概念自然語言：對(duì)于一個(gè)集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，記為.圖形語言：補(bǔ)集的性質(zhì)(1)交換律A?B=B?A，A?B=B?A；(2)結(jié)合律A?B?C=A?(B?C)，A?B(3)分配律A?B?C=(A?C)?(B?C)，A?B(4)德摩根律?UA?B【特別提醒】(1)補(bǔ)集是相對(duì)于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補(bǔ)集的說法；另一方面，補(bǔ)集的元素逃不出全集的范圍．(2)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算．求集合A的補(bǔ)集的前提是A為全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的．(3)符號(hào)?UA有三層意思：①A是U的子集，即A?U；知識(shí)點(diǎn)四：運(yùn)算律(1)交換律A?B=B?A，A?B=B?A；(2)結(jié)合律A?B?C=A?(B?C)，A?B(3)分配律A?B?C=(A?C)?(B?C)，A?B(4)德摩根律?UA?B（5）容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ)。如果用card表示有限集合元素的個(gè)數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個(gè)數(shù)，則有如下結(jié)論：解題方法1.求集合并集的方法(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，直接觀察求并集；②借助Venn圖寫并集．(2)兩集合用描述法給出：①直接觀察，寫出并集；②借助數(shù)軸，求出并集．(3)一個(gè)集合用描述法，另一個(gè)用列舉法：①直接觀察，找出并集；②借助圖形，觀察寫出并集．2.集合并集運(yùn)算應(yīng)注意：(1)對(duì)于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什么，然后將集合化簡，再按定義求解．(2)求解時(shí)要注意集合元素的互異性這一屬性的應(yīng)用，重復(fù)的元素只能算一個(gè)．(3)無限集進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)值能否取到．3.求兩個(gè)集合的交集的方法(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合，逐個(gè)挑出兩個(gè)集合的公共元素即可．(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合，一般借助數(shù)軸求交集，兩個(gè)集合的交集等于兩個(gè)集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點(diǎn)值的取舍．4.求集合A∩B的步驟：(1)搞清集合A，B的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來；(3)把集合A，B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素，則所求交集為?)5.求集合補(bǔ)集的基本方法及處理技巧(1)基本方法：定義法．(2)兩種處理技巧：①當(dāng)集合用列舉法表示時(shí)，可借助Venn圖求解；②當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解．運(yùn)用補(bǔ)集思想解題的步驟當(dāng)從正面考慮情況較多、問題較復(fù)雜時(shí)，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想，其解題步驟為：第一步：否定已知條件，考慮反面問題；第二步：求解反面問題對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍；第三步：取反面問題對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍的補(bǔ)集。6.解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的技巧（1）如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.（2）如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算.解答過程中要注意邊界問題.2、涉及“B?A”或“且A≠?”的問題，一定要分B＝?和B≠?兩種情況進(jìn)行討論，其中B＝?的情況易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視．3、求解含參數(shù)的集合運(yùn)算問題首先要借助數(shù)軸的直觀性求參數(shù)的范圍，再者還要注意參數(shù)的端點(diǎn)值是否能夠取到.交集、并集、補(bǔ)集的基本運(yùn)算方法1、進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可按照如下口訣進(jìn)行：交集元素仔細(xì)找，屬于且屬于；并集元素勿遺漏，切忌重復(fù)僅取一；全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補(bǔ)集。2、解決集合的混合運(yùn)算問題時(shí)，一般先算括號(hào)內(nèi)的部分；3、當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí)（如數(shù)集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合用描述法表示時(shí)（如不等式行事表示的集合），則可運(yùn)用數(shù)軸求解。7.韋恩圖的應(yīng)用韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關(guān)系，先分析集合關(guān)系，化簡集合，再由韋恩(Venn)圖所表示的集合關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算．對(duì)復(fù)雜的集合關(guān)系問題，或相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，可通過構(gòu)造韋恩(Venn)圖進(jìn)行求解．8.集合新定義問題的求解思路(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到解題的過程中，這是解答新定義型問題的關(guān)鍵所在；(2)集合的性質(zhì)是解答集合新定義問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些條件．9.、利用交并補(bǔ)求參數(shù)范圍的解題思路若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；題型1：交集的概念及運(yùn)算2.求下列每對(duì)集合的交集：3.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，則A∩B＝．6.已知集合A={x|-3<x<0}，B=-3,-2,-1,0，則A∩B=（

A．? B．-2,-1 C．-3,-2,-1 D．-3,-2,-1,09.若集合A=-2,0,2，B=xx2=2xA．-2,0 B．2 C．-2,2 D．0,210.設(shè)A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2}A．2B．3C．4D．5可以用文氏圖直觀地反映A∩B的幾種不同情況（１）表示集合A與B既有公共元素又都有非公共元素的情況，此時(shí)陰影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集；（２）表示集合A是B的子集的情況，此時(shí)A∩B＝A；（３）表示集合A與B沒有公共元素的情況，此時(shí)A∩B＝?．題型2：根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)A．B．C．D．3.設(shè)集合A={5,a+1}，B={a,b}，若A∩B={2}，則a+b=（

）A．1 B．2 C．3 D．44.已知集合M?1,2,3,4，且M∩1,2=1,2，則集合A．1 B．2 C．3 D．4A． B．0 C．1 D．或19.設(shè)集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是（

）A．-1,2 B．2,+∞ C．-1,+∞A．0 B． C． D．3題型3：并集的概念及運(yùn)算2.滿足條件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．8個(gè) C．16個(gè) D．32個(gè)11.設(shè)集合A=x-2≤x≤3,B=x-1≤x-2<3A．x-2≤x<5 B．x1≤x≤3 C．x可以用文氏圖直觀地反映A∪B的幾種不同情況，如圖其中陰影部分表示A∪B．（１）表示集合A與B既有公共元素又都有非公共元素的情況，此時(shí)A和B都是A∪B的真子集（２）表示集合A是B的子集的情況，此時(shí)A∪B＝B（３）表示集合A與B沒有公共元素的情況題型4：根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)2.已知集合A=2,3,4,5,6，B=1,a+2,2a+1，若A∪B=1,2,3,4,5,6，則a=A．1 B．2 C．3 D．43.已知集合A=1,3,A∩B=1,A∪B=0,1,3A．0,3 B．0,1 C．1,3 D．1A．1B．C．8D．A．0 B．1 C． D．0或題型5：根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個(gè)數(shù)A．4 B．5 C．6 D．7A．1 B．7 C．8 D．16A．1 B．3 C．4 D．6題型6：補(bǔ)集的概念及運(yùn)算3.已知全集U=-2,-1,0,1,2，集合A=-2,-1,0，則?UA．1,2,3 B．1,2 C．0,2 D．1,28.若全集U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2}，則（A．A?B B．B?AC．?UA?B題型7：根據(jù)補(bǔ)集結(jié)果求集合或參數(shù)A．3 B．1 C．4 D．2A．B．C．D．A．B．C．D．0A．1 B．2 C．3 D．4題型8：交并補(bǔ)混合運(yùn)算2.設(shè)集合U=1,2,3,4,5，T=1,3,5，S=1,2,4，則S∩A．2 B．1,2 C．2,4 D．1,2,46.設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（

）7.已知集合A={1，2，3，4}，則滿足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________個(gè).10已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，則A∪B＝．11.設(shè)集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，則＝．12.已知全集U＝R，集合，則＝．13.已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}．（1）求A∩B、A∪C；（2）若全集U＝R，求∩B．17.已知集合A={x∣-1<x<2},B={x∣-2<x<1}，則集合?A∪BA∩B=A．-1,1 B．-2,2 C．-2,-1∪1,218.設(shè)集合U=R，集合M=x|x<1，N=x|-1<x<2，則x|x>-1A．?U(M∪N) B．N∪?UA．7 B．8 C．15 D．1621.設(shè)全集U為自然數(shù)集N，記E＝{x|x＝2n，n∈N}，F(xiàn)＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示為（）A．E∪F B． C． D．題型9：根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)1.已知集合P=x∣-2≤x≤10,Q=x∣1-m≤x≤1+m.若Q∩?UA．m≤3 B．m≥9 C．m≤3或m≥9 D．3≤m≤92.已知集合A=x3≤x<7，B=xx>m，若?RA．m<3 B．m>3 C．m<7 D．m>73.已知U=R，集合A=xx2-x-2=0，B=x|mx+1=0，A．-12或1 B．-12或0 C．1或0 D．5.已知集合A＝{x||x﹣1|＞2}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，則m的取值范圍是（）A． B． C．[0，1] D．(1)求集合(1)若集合A中恰有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值；15.已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）．（1）求；（2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型10：Veen圖的應(yīng)用1.圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）

A． B．C． D．5.（多選）下圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（

）7.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（

）8.已知全集為R，對(duì)任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（）A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪9.如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，則B＝．10.設(shè)全集為U，用集合A、B、U的交、并、補(bǔ)集符號(hào)表圖中的陰影部分．11.已知全集為U，則圖中陰影部分表示的集合是．（用含A、B或、集合語言表示）．12.設(shè)全集為U＝R，集合，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}．（1）求如圖陰影部分；（2）已知C＝{x|3x﹣t＜0}，若B∪C＝C，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．13.已知全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,N=-1,0,1,M=A．1,2,3 B．2 C．1,2 D．2,314.已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8，集合A={x∈N|x<5}，B=

A．0,2,4 B．2,4C．0,4 D．2,4,615.如圖，U是全集，M,P,S是U的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（

）

A．M∩P∩S B．C．M∩P∩?U17.（多選）如圖中陰影部分所表示的集合是（）18.如圖所示，用集合A、B及它們的交集、并集、補(bǔ)集表示陰影部分所表示的集合，正確的表達(dá)式是（）19.如圖，是全集，，，是的子集，則陰影部分表示的集合是（）題型11：容斥原理1.為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、AI社團(tuán)、圍棋社團(tuán)，高一某班學(xué)生共有30人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加AI社團(tuán)，有14人參加圍棋社團(tuán)，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和AI社團(tuán)的有3人，同時(shí)參加籃球社團(tuán)和圍棋社團(tuán)的有3人，沒有人同時(shí)參加三個(gè)社團(tuán)，只參加圍棋社團(tuán)的人數(shù)為(

).A．10 B．9 C．7 D．43．學(xué)校統(tǒng)計(jì)某班30名學(xué)生參加音樂、科學(xué)、體育3個(gè)興趣小組的情況，已知每人至少參加了1個(gè)興趣小組，其中參加音樂、科學(xué)、體育小組的人數(shù)分別為19，19，18，只同時(shí)參加了音樂和科學(xué)小組的人數(shù)為4，只同時(shí)參加了音樂和體育小組的人數(shù)為2，只同時(shí)參加了科學(xué)和體育小組的人數(shù)為4，則同時(shí)參加了3個(gè)小組的人數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．84.高一某班共有54人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理的有32人，選擇化學(xué)的有24人，選擇生物的有22人，其中選擇了物理和化學(xué)的有18人，選擇了化學(xué)和生物的有10人，選擇了物理和生物的有16人.那么班上選擇物理或者化學(xué)或者生物的學(xué)生最多有人.5.某校學(xué)生積極參加社團(tuán)活動(dòng)，高年級(jí)共有100名學(xué)生，其中參加合唱社團(tuán)的學(xué)生有63名，參加科技社團(tuán)的學(xué)生有75名(并非每個(gè)學(xué)生必須參加某個(gè)社團(tuán)).在高一年級(jí)的學(xué)生中，同時(shí)參加合唱社團(tuán)和科技社團(tuán)的最多有多少名學(xué)生？最少有多少名學(xué)生？6.學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名學(xué)生參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，只參加一項(xiàng)比賽的有（）人．A．3 B．9 C．19 D．147.高二一班共有學(xué)生50人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇三門課程進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少20人，這三門課程都不選的有10人，這三門課程都選的有10人，在這三門課程中選擇任意兩門課程的都至少有13人，物理、化學(xué)只選一科的學(xué)生都至少6人，那么選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多（

）A．16 B．17 C．18 D．198.七寶中學(xué)2020年的“藝術(shù)節(jié)”活動(dòng)正如火如荼準(zhǔn)備中，高一某班學(xué)生參加大舞臺(tái)和風(fēng)情秀兩個(gè)節(jié)目情況如下：參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三；參加大舞臺(tái)的人數(shù)比參加風(fēng)情秀的人數(shù)多3人；兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)比兩個(gè)節(jié)目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人，則此班的人數(shù)為.9.某班參加數(shù)?理?化競賽時(shí)，有24名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，28名同學(xué)參加物理競賽，19名同學(xué)參加化學(xué)競賽，其中三科競賽都參加的有7人，只參加數(shù)?理兩科的5人，只參加物?化兩科的3人，只參加數(shù)?化兩科的4人，若該班學(xué)生共50名，則沒有參加任何一科競賽的學(xué)生有人10.某班有40名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為_______．A．2B．3C．4D．5題型12：集合新定義1.已知全集U＝A∪B中有m個(gè)元素，中有n個(gè)元素，若A∩B非空，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為（）A．mn B．n﹣m C．m+n D．m﹣n2.已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均為整數(shù)，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和為270，則集合A中所有元素之和為．3.設(shè)A,B為非空集合，定義A*B={x|x∈A∪B，且x?A∩B}，已知M={x|0≤x≤3}，N=xx>2，則M*N=A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x<2或x>3}C．{x|0≤x≤2或x>3} D．{x|0≤x<2}4.對(duì)于集合M，N，定義M-N=xx∈M,x?N，M⊕N=(M-N)∪(N-M)，設(shè)A=x|x≥-94,x∈RA．x|-94<x<0,x∈C．x|x<-94或x≥0,x∈5.定義集合運(yùn)算：A⊕B=x,y∣x2∈A,2y∈BA．6,23 B．4,1 C．1,3(1)求集合；(2)求集合；(3)求集合S的“好子集”A所含元素個(gè)數(shù)的最大值．(1)寫出實(shí)數(shù)集的一個(gè)二元“好集”；(2)請(qǐng)問正整數(shù)集上是否存在二元“好集”？說明理由；(3)求出正整數(shù)集上的所有三元“好集”．(2)求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；(3)若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.(2)證明：不存在“減2集”；(3)請(qǐng)寫出所