高二數(shù)學(xué)85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.3C.5D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，中的元素個(gè)數(shù)為，故選：C．2.下列各式的值為的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤．3.已知，則的最小值是（）A.B.1C.4D.7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，則，第1頁/共15頁當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選：A4.已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則其外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將正四面體補(bǔ)形為正方體，利用正方體的外接球，計(jì)算出正四面體外接球的表面積.【詳解】將正四面體放在正方體中如圖所示，正四面體的外接球即正方體的外接球，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，由于，即，所以正方體的外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故選：A.5.已知三角形的三個(gè)內(nèi)角A，，所對(duì)邊為，，，若，且，，則三角形的面積為（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由正弦定理邊角互化可得，隨后由正弦定理可得，最后由面積公式得答案.【詳解】由正弦定理邊角互化，，第2頁/共15頁又，由正弦定理，，則三角形面積為：故選：B6.的底面積為圓錐與圓柱的體積之比為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意可知,,所以可得,根據(jù)三角形相似可得,所以,可求得,第3頁/共15頁所以，故選：C7.現(xiàn)有甲，乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，甲隊(duì)每場(chǎng)獲勝的概率為，且各場(chǎng)比賽互不影響．若比賽采用“三局兩勝”制，則甲隊(duì)獲得勝利的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】討論甲獲勝時(shí)比賽的場(chǎng)次，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式運(yùn)算求解.【詳解】若比賽兩場(chǎng)甲獲勝，則概率為；若比賽三場(chǎng)甲獲勝，則概率為；甲獲得冠軍的概率.故選：A.8.如圖，以邊長(zhǎng)為4的菱形的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，，則的最大值是（）A.16B.C.18D.20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的幾何意義，由點(diǎn)的位置分類探討確定取最大值的位置，再取中點(diǎn)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求出最大值.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在半圓或半圓的弧上時(shí)，在方向上的投影的數(shù)量為非正數(shù)；當(dāng)點(diǎn)在半圓弧上時(shí)，在方向上的投影的數(shù)量在內(nèi)，；第4頁/共15頁當(dāng)點(diǎn)在半圓的弧上時(shí)，在方向上的投影的數(shù)量不小于2，因此當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在半圓的弧上，取中點(diǎn)，則，而，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是20.故選：D36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.B.的虛部為C.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第三象限D(zhuǎn).【答案】CD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的減法可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑒t.對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，的虛部為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì)故選：CD.第5頁/共15頁個(gè)白球，號(hào)箱內(nèi)裝有出一個(gè)球，事件表示“取到號(hào)箱”，事件表示“摸到紅球”，事件表示“摸到白球”，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由條件概率公式即可求解；對(duì)于選項(xiàng)B，利用事件，事件相互對(duì)立及條件概率公式即可求解；對(duì)于選項(xiàng)C，由全概率公式和條件概率公式即可求解；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)選項(xiàng)C和條件概率即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑瓤赡軓娜齻€(gè)箱子中任取一箱并從中摸出一個(gè)球，所以由古典概型的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率公式可得：，，，.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槭录?，事件相互?duì)立，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由全概率公式和條件概率公式可得：，第6頁/共15頁所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD．下列說法中正確的是（）A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為B.若一組數(shù)據(jù)依次為，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為.C.隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子各個(gè)面分別標(biāo)記有共六個(gè)數(shù)字，記事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是或”，則事件與事件是相互獨(dú)立事件D.在二項(xiàng)式的展開式中，若只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則各項(xiàng)系數(shù)和是【答案】BC【解析】AB，利用古典概型概率公式結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式判斷CD即可.【詳解】對(duì)于A，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，我們先把按順序排列，得到，共有個(gè)數(shù)，而，故下四分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由題意可知，，，而事件“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是”，則，滿足，故事件與事件是相互獨(dú)立事件，故C正確；第7頁/共15頁則，可得，因此展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.某校高二年級(jí)選考某科的學(xué)生有200名，將他們?cè)摽频哪炒慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分．若等級(jí)分，則這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為______．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】95【解析】【分析】首先根據(jù)正態(tài)分布確定的值，然后根據(jù)對(duì)稱性求出等級(jí)分在的概率，進(jìn)而可求出人數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，考試等級(jí)分服從正態(tài)分布，則.而，所以.所以這次考試等級(jí)分在內(nèi)的人數(shù)約為人.第8頁/共15頁故答案為：95.14.已知函數(shù)、的定義域均為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】中，令，可求得的值，推導(dǎo)出，令，可求出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，可得，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令可得，故，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，，令，可得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值，可利用以下結(jié)論來轉(zhuǎn)化：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.102203兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件．（1）求取出的零件是次品的概率；（2）已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率．第9頁/共15頁【解析】1）利用互斥事件的概率公式求取出的零件是次品的概率；（2）利用條件概率求取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.1）取出零件是次品的概率為；（2）設(shè)取出的是次品的事件為,此次品是從第一箱取出的事件為,則,,所以已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率為.16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）9；（2）.【解析】1）利用二項(xiàng)式定理求出，進(jìn)而列式求出值.（2）利用賦值法求出，再利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出.小問1詳解】依題意，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.17.2025年4月24日，搭載“神舟二十號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“航天愛好者”，否則稱為“非航天愛好者”，該機(jī)構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取200第10頁/共15頁女男合計(jì)（1）能否有99%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān)？（2100名男生與100名女生中，按“航天愛好者”和“非航天愛好者”這兩種類型分別進(jìn)行分層抽樣抽取男生105人.將這15人中航天愛好者記為AB組.現(xiàn)從這兩組中各任意選取一人進(jìn)行交換，求經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中，0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】1）由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2ABA組中女生人數(shù)的可能值為123應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】所以有99.9%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān).【小問2詳解】按分層抽樣，100名男生中，抽取“航天愛好者”有73人，第11頁/共15頁100名女生中，抽取“航天愛好者”有23人.故A組有男生7人，女生2人，B組有男生3人，女生3人.從這兩組中各任意選取一人進(jìn)行交換，經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)為，則的可能值為1，2，3.，，.X的分布列如下表：123.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，底面，E是棱PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）求PB與平面PCD所成角的余弦值．（3）記過點(diǎn)E且與平面PAD平行的平面為α，求α截四棱錐所得截面的面積．【答案】（1）證明見解析（2）（3）．【解析】1）先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面，最后結(jié)合所應(yīng)用面面垂直判定定理證明；第12頁/共15頁（2平面是PB與平面PCD所成角，求出余弦值即可；（3）應(yīng)用線面平行判定定理得出平面進(jìn)而得出平面平面，進(jìn)而得出截面為梯形，最后計(jì)算求值.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以．又平面，平面，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面，所以平面平面．【小?詳解】取CD的中點(diǎn)O，連接BO，PO．在菱形ABCD中，由，可得．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又平面，所以平面，則∠BPO即為PB與平面PCD所成的角．因?yàn)?，所以，，，則，即PB與平面PCD所成角的余弦值為．【小問3詳解】分別取AB，PC的中點(diǎn)F，G，連接EF，F(xiàn)O，OG，EG．因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，所以，則E，F(xiàn)，O，G四點(diǎn)共面．又，，所以平面．同理可得平面，則平面平面，故α截四棱錐PABCD所得截面為四邊形EFOG．所以，從而，則四邊形EFOG為直角梯形．，，，則四邊形的面積，第13頁/共15頁即α截四棱錐PABCD所得截面的面積為．19.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)k的值;（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得的最小值為0，若存在，求出實(shí)數(shù)的值;若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】1）根據(jù)偶函數(shù)的定義計(jì)算，化簡(jiǎn)求出可結(jié)果.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根