2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷及答案(理科專用)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合\(A=\{x\midx^2-5x+6\leq0\}\)，集合\(B=\{x\mid2^x>4\}\)，則\(A\capB=\)A.\((2,3]\)B.\([2,3]\)C.\((2,+\infty)\)D.\([3,+\infty)\)2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{3+4i}{1-2i}\)（\(i\)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為A.\(-1+2i\)B.\(-1-2i\)C.\(1+2i\)D.\(1-2i\)3.已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol=(m,1)\)，若\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol|\)，則\(m=\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(-2\)4.將函數(shù)\(y=\sin(2x)\)的圖像向右平移\(\varphi\)（\(0<\varphi<\pi\)）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像與\(y=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)的圖像重合，則\(\varphi=\)A.\(\frac{\pi}{12}\)B.\(\frac{5\pi}{12}\)C.\(\frac{7\pi}{12}\)D.\(\frac{11\pi}{12}\)5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（正視圖：矩形，長(zhǎng)4，寬2；側(cè)視圖：矩形，長(zhǎng)4，寬3；俯視圖：直角梯形，上底1，下底3，高2）A.\(12\,\text{cm}^3\)B.\(16\,\text{cm}^3\)C.\(20\,\text{cm}^3\)D.\(24\,\text{cm}^3\)6.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一條漸近線與圓\((x-3)^2+y^2=4\)相切，則雙曲線的離心率為A.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{13}}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{15}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{17}}{4}\)7.從5個(gè)紅球和3個(gè)白球中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，記事件\(A\)為“至少有1個(gè)紅球”，事件\(B\)為“恰好有1個(gè)白球”，則\(P(B\midA)=\)A.\(\frac{15}{28}\)B.\(\frac{15}{26}\)C.\(\frac{10}{13}\)D.\(\frac{5}{13}\)8.已知奇函數(shù)\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，且\(f(2)=0\)，則不等式\(f(x-1)<0\)的解集為A.\((-\infty,-1)\cup(1,3)\)B.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)C.\((-1,1)\cup(3,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,3)\)9.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+\ln(x+1)\)（\(x>-1\)）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.310.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，則\(a_7+a_8+a_9=\)A.45B.54C.63D.7211.已知拋物線\(y^2=4x\)上一點(diǎn)\(P\)，點(diǎn)\(F\)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)\(Q\)在直線\(x=-3\)上，若\(|PF|+|PQ|\)的最小值為5，則點(diǎn)\(P\)的橫坐標(biāo)為A.1B.2C.3D.412.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax^2\)（\(a>0\)），若\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，則\(a\)的取值范圍為A.\(\left(0,\frac{e}{2}\right]\)B.\(\left(0,\frac{e}{4}\right]\)C.\(\left(0,\frac{e^2}{8}\right]\)D.\(\left(0,\frac{e^2}{4}\right]\)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.4名男生和3名女生站成一排，要求女生不相鄰且男生甲不在兩端的排法共有______種（用數(shù)字作答）。14.已知參數(shù)方程\(\begin{cases}x=2+3\cos\theta\\y=1+2\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數(shù)），則其對(duì)應(yīng)的普通方程為______。15.已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(x+2y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為______。16.正四面體\(ABCD\)的棱長(zhǎng)為2，其外接球的表面積為______。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（12分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對(duì)邊分別為\(a,b,c\)，已知\(2b\cosA=c\cosA+a\cosC\)。（1）求角\(A\)；（2）若\(a=\sqrt{3}\)，且\(\triangleABC\)的面積為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(b+c\)。18.（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3a_n+2\)（\(n\in\mathbb{N}^\)）。（1）證明：數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+1\}\)是等比數(shù)列；（2）設(shè)\(b_n=n\cdota_n\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。19.（12分）如圖（示意圖），四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(PA=AB=2\)，\(AD=3\)，點(diǎn)\(E\)為\(PD\)的中點(diǎn)。（1）證明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）求二面角\(E-AC-D\)的余弦值。20.（12分）某新能源企業(yè)生產(chǎn)的電池次品率為\(p\)（\(0<p<1\)），現(xiàn)隨機(jī)抽取100件電池檢測(cè)，設(shè)\(X\)為其中的次品數(shù)，已知\(P(X=2)=P(X=3)\)。（1）求\(p\)；（2）若檢測(cè)一件正品可獲利50元，檢測(cè)一件次品虧損100元，求利潤(rùn)的期望。21.（12分）已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點(diǎn)\(F_1(-1,0)\)，過\(F_1\)的直線\(l\)與橢圓\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，且\(\triangleABF_2\)（\(F_2\)為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)為8。（1）求橢圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線\(l\)的斜率為1，求\(|AB|\)。22.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=x\lnx-ax+1\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）討論方程\(f(x)=0\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若\(a=1\)，證明：\(f(x)\geq-x^2+2x-1\)在\((0,+\infty)\)上恒成立。答案一、選擇題1.A2.B3.A4.C5.B6.B7.C8.A9.C10.C11.A12.A二、填空題13.144014.\(\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{4}=1\)15.\(3+2\sqrt{2}\)16.\(6\pi\)三、解答題17.（1）由正弦定理，\(2\sinB\cosA=\sinC\cosA+\sinA\cosC\)，即\(2\sinB\cosA=\sin(A+C)=\sinB\)。因\(\sinB\neq0\)，故\(\cosA=\frac{1}{2}\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)。（2）面積\(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(bc=2\)。由余弦定理，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)，即\(3=(b+c)^2-3bc\)，代入\(bc=2\)，得\((b+c)^2=9\)，故\(b+c=3\)。18.（1）由\(a_{n+1}+1=3(a_n+1)\)，且\(a_1+1=2\)，故\(\{a_n+1\}\)是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列。（2）由（1）知\(a_n+1=2\cdot3^{n-1}\)，即\(a_n=2\cdot3^{n-1}-1\)，則\(b_n=2n\cdot3^{n-1}-n\)。設(shè)\(T_n=\sum_{k=1}^nk\cdot3^{k-1}\)，則\(3T_n=\sum_{k=1}^nk\cdot3^k\)，相減得\(-2T_n=\frac{3^n(2n-1)+1}{2}\)，故\(T_n=\frac{(2n-1)3^n+1}{4}\)。因此\(S_n=2T_n-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2n-1)3^n+1}{2}-\frac{n(n+1)}{2}\)。19.（1）連接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，則\(O\)為\(BD\)中點(diǎn)。因\(E\)為\(PD\)中點(diǎn)，故\(OE\parallelPB\)，又\(OE\subset\)平面\(AEC\)，故\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。（2）以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB,AD,AP\)為坐標(biāo)軸建系，得\(A(0,0,0)\)，\(C(2,3,0)\)，\(E(0,\frac{3}{2},1)\)。平面\(ACD\)的法向量\(\boldsymbol{n_1}=(0,0,1)\)，平面\(AEC\)的法向量\(\boldsymbol{n_2}=(3,-2,3)\)，則\(\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{22}\)。20.（1）由\(X\simB(100,p)\)，\(P(X=k)=C_{100}^kp^k(1-p)^{100-k}\)，故\(\frac{P(X=3)}{P(X=2)}=\frac{98p}{3(1-p)}=1\)，解得\(p=\frac{3}{101}\)。（2）設(shè)利潤(rùn)為\(Y\)，則\(Y=50(100-X)-100X=5000-150X\)，期望\(E(Y)=5000-150E(X)=5000-150\times100p=5000-\frac{45000}{101}=\frac{460000}{101}\)。21.（1）由\(\triangleABF_2\)周長(zhǎng)為\(4a=8\)，得\(a=2\)，又\(c=1\)，故\(b^2=a^2-c^2=3\)，橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。（2）直線\(l:y=x+1\)，代入橢圓方程得\(7x^2+8x-8=0\)，設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-\frac{8}{7}\)，\(x_1x