《概率初步單元小結(jié)（第二課時(shí)）》知識(shí)梳理概率求法應(yīng)用直接列舉法列表法畫樹狀圖法用列舉法求概率用頻率估計(jì)概率抽獎(jiǎng)問題、游戲是否公平問題等知識(shí)梳理直接列舉法

m個(gè)(1)直接列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí),要有一定的順序性,保證結(jié)果不重不漏.(2)用列舉法求概率的前提有兩個(gè)：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)；②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.知識(shí)梳理列表法列表法就是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為了不重不漏的列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.一個(gè)因素所包含的可能情況另一個(gè)因素所包含的可能情況兩個(gè)因素所組合的所有可能情況，即n知識(shí)梳理樹狀圖法畫樹狀圖法是用樹狀圖的形式反映事件發(fā)生的各種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.一個(gè)試驗(yàn)第一個(gè)因素第二個(gè)因素AB123123當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法.知識(shí)梳理用頻率估計(jì)概率從長(zhǎng)期實(shí)踐中，人們觀察到對(duì)一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件發(fā)生的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此，我們可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率.用頻率估計(jì)概率時(shí)，必須做足夠多的試驗(yàn)才能使頻率趨于穩(wěn)定，并且每次試驗(yàn)必須在相同條件下進(jìn)行，試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的頻率值就越接近概率，規(guī)律就越明顯，此時(shí)可以用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)事件發(fā)生的概率.知識(shí)梳理頻率概率區(qū)別試驗(yàn)值或使用時(shí)的統(tǒng)計(jì)值

理論值

與試驗(yàn)次數(shù)的變化有關(guān)與試驗(yàn)次數(shù)的變化無關(guān)

與試驗(yàn)人、試驗(yàn)時(shí)間、試驗(yàn)地點(diǎn)有關(guān)與試驗(yàn)人、試驗(yàn)時(shí)間、試驗(yàn)地點(diǎn)無關(guān)

聯(lián)系試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越趨向于概率頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系重點(diǎn)解析1

A

ABCDBACDCABDDABC重點(diǎn)解析2如圖所示，有3張不透明的卡片，除正面寫有不同的數(shù)字外，其他均相同.將這三張卡片背面朝上洗勻后，第一次從中隨機(jī)抽取一張，并把這張卡片標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的k，第二次從余下的兩張卡片中再隨機(jī)抽取一張，上面標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的b．(1)寫出k為負(fù)數(shù)的概率；(2)求一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過二、三、四象限的概率.

重點(diǎn)解析2如圖所示，有3張不透明的卡片，除正面寫有不同的數(shù)字外，其他均相同.將這三張卡片背面朝上洗勻后，第一次從中隨機(jī)抽取一張，并把這張卡片標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的k，第二次從余下的兩張卡片中再隨機(jī)抽取一張，上面標(biāo)有的數(shù)字記作一次函數(shù)表達(dá)式中的b．(1)寫出k為負(fù)數(shù)的概率；(2)求一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過二、三、四象限的概率.

-1-23-2-133-2-1第一次第二次用頻率估計(jì)概率，可以發(fā)現(xiàn)，某種幼樹在一定條件下移植成活的概率為0.9，下列說法正確的是（）A.種植10棵幼樹，結(jié)果一定是“有9棵幼樹成活”B.種植100棵幼樹，結(jié)果一定是“90棵幼樹成活”和“10棵幼樹不成活”C.種植10n棵幼樹，恰好有“n棵幼樹不成活”D.種植n棵幼樹，當(dāng)n越來越大時(shí)，種植成活幼樹的頻率會(huì)越來越穩(wěn)定于0.9重點(diǎn)解析3D解：用頻率估計(jì)概率，可以發(fā)現(xiàn)，某種幼樹在一定條件下移植成活的概率為0.9，是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中得到的概率的近似值，

故A,B,C錯(cuò)誤，D正確.重點(diǎn)解析4在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)從中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15％和45％，則布袋中白色球的個(gè)數(shù)最有可能是()A.24個(gè) B.18個(gè) C.16個(gè) D.6個(gè)C解：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，∴摸到白球的頻率為1-15%-45%=40%，故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是40×40%=16(個(gè))．重點(diǎn)解析5在一個(gè)不透明的口袋里有分別標(biāo)注2、4、6的3個(gè)小球（小球除數(shù)字外，其余都相同），另有3張背面完全一樣，正面分別寫有數(shù)字6、7、8的卡片.現(xiàn)從口袋中任意摸出一個(gè)小球，再?gòu)倪@3張背面朝上的卡片中任意摸出一張卡片.(1)請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；解：(1)列表或畫樹狀圖如下：所以共有9種等可能結(jié)果.2678467866786782(2，6)(2，7)(2，8)4(4，6)(4，7)(4，8)6(6，6)(6，7)(6，8)卡片小球重點(diǎn)解析5在一個(gè)不透明的口袋里有分別標(biāo)注2、4、6的3個(gè)小球（小球除數(shù)字外，其余都相同），另有3張背面完全一樣，正面分別寫有數(shù)字6、7、8的卡片.現(xiàn)從口袋中任意摸出一個(gè)小球，再?gòu)倪@3張背面朝上的卡片中任意摸出一張卡片.(2)小紅和小莉做游戲，制定了兩個(gè)游戲規(guī)則：規(guī)則1：若兩次摸出的數(shù)字，至少有一次是“6”，小紅贏；否則，小莉贏；規(guī)則2：若摸出的卡片上的數(shù)字是球上數(shù)字的整數(shù)倍時(shí)，小紅贏；否則，小莉贏.小紅想要在游戲中獲勝，她會(huì)選擇哪一條規(guī)則，并說明理由.

深化練習(xí)1

A黑1黑2白1白2白3黑1—(黑2，黑1)(白1，黑1)(白2，黑1)(白3，黑1)黑2(黑1，黑2)—(白1，黑2)(白2，黑2)(白3，黑2)白1(黑1，白1)(黑2，白1)—(白2，白1)(白3，白1)白2(黑1，白2)(黑2，白2)(白1，白2)—(白3，白2)白3(黑1，白3)(黑2，白3)(白1，白3)(白2，白3)—第一次第二次深化練習(xí)2

15深化練習(xí)3甲、乙兩個(gè)小型超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客每購(gòu)滿20元就有一次按下面規(guī)則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤獲獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且兩超市獎(jiǎng)?lì)~等同.規(guī)則是：①甲超市把轉(zhuǎn)盤等分成4個(gè)扇形區(qū)域、乙超市把轉(zhuǎn)盤等分成3個(gè)扇形區(qū)域，并標(biāo)上了數(shù)字(如圖所示)；②顧客每一回轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤要轉(zhuǎn)兩次，第一次與第二次分別停止后指針?biāo)笖?shù)字之和為奇數(shù)時(shí)就獲獎(jiǎng)(若指針停在等分線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份為止).利用樹形圖或列表法分別求出甲、乙兩超市顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一回轉(zhuǎn)盤獲獎(jiǎng)的概率；1122334甲乙深化練習(xí)3解：(1)列表格如下：123412345234563456745678第一回第二回甲超市共有16種等可能結(jié)果，其中中獎(jiǎng)的有8種，

1122334甲乙深化練習(xí)3123123423453456第一回第二回乙超市

共有9種等可能結(jié)果，其中中獎(jiǎng)的有4種；1122334甲乙深化練習(xí)3甲、乙兩個(gè)小型超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客每購(gòu)滿20元就有一次按下面規(guī)則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤獲獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且兩超市獎(jiǎng)?lì)~等同.規(guī)則是：①甲超市把轉(zhuǎn)盤等分成4個(gè)扇形區(qū)域、乙超市把轉(zhuǎn)盤等分成3個(gè)扇形區(qū)域，并標(biāo)上了數(shù)字(如圖所示)；②顧客每一回轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤要轉(zhuǎn)兩次，第一次與第二次分別停止后指針?biāo)笖?shù)字之和為奇數(shù)時(shí)就獲獎(jiǎng)(若指針停在等分線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一份為止).(2)如果只考慮中獎(jiǎng)因素，你將會(huì)選擇去哪個(gè)超市購(gòu)物？說明理由.1122334甲乙解：選甲超市.理由如下：∵P(甲)>P(乙)，∴選甲超市.

隨機(jī)事件與概率1.下列事件是不可能事件的是(

B

)A.任意寫一個(gè)偶數(shù)，一定是2的倍數(shù)B.一滴香油滴在自來水里，香油會(huì)沉入水底C.打開電視，正在播放天氣預(yù)報(bào)D.擲一枚質(zhì)地均勻的普通骰子，點(diǎn)數(shù)為2的面朝上B12345678910112.某商場(chǎng)為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當(dāng)指針指向陰影部

分時(shí)，該顧客可獲得獎(jiǎng)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為(

C

)C12345678910113.如圖，△

ABC

的面積為10cm2，

BP

平分∠

ABC

，

AP

⊥

BP

，垂足為

P

，連接

CP

，若三角形內(nèi)有一點(diǎn)

M

，則點(diǎn)

M

落在△

BPC

內(nèi)(包括邊界)

的概率為(

A

)A【解析】如圖，延長(zhǎng)

AP

交

BC

于點(diǎn)

E

，∵

BP

平分∠

ABC

，∴∠

ABP

＝∠

EBP

.

∵

AP

⊥

BP

，∴∠

APB

＝∠

EPB

＝90°.1234567891011

∴△

ABP

≌△

EBP

(ASA).∴

AP

＝

PE

.

∴

S△

ABP

＝

S△

EBP

，

S△

ACP

＝

S△

ECP

.

∴點(diǎn)

M

落在△

BPC

內(nèi)(包括邊界)的概率為

1234567891011

A.3B.4C.5D.6

解得

x

＝4，經(jīng)檢驗(yàn)知，

x

＝4是方程的解.B1234567891011

用列舉法求概率5.(2022·石家莊橋西區(qū)期末)一個(gè)不透明布袋里共有4個(gè)球(只有編號(hào)不

同)，編號(hào)為1，2，3，5.從中任意摸出一個(gè)球，記下編號(hào)后不放回，再

任意摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是(

B

)B1234567891011【解析】畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的結(jié)果有

6種，

12345678910116.中國(guó)目前是世界上高鐵運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)，規(guī)模最大，速度最快的國(guó)家，

中國(guó)高鐵也成為中國(guó)人引以為傲的國(guó)家名片.某興趣小組通過網(wǎng)絡(luò)查

詢，收集到四張高鐵發(fā)展歷程的郵票(除內(nèi)容外，其余完全相同)，若由

小霞同學(xué)先隨機(jī)抽取一張卡片，然后將卡片放回，洗勻，再由小強(qiáng)抽

取，則兩位同學(xué)所抽到的郵票恰好是同一張的概率是(

B

)B1234567891011【解析】記四張郵票分別為

A

，

B

，

C

，

D

，列出表格如下：

A

B

C

D

A

(

A

，

A

)(

A

，

B

)(

A

，

C

)(

A

，

D

)

B

(

B

，

A

)(

B

，

B

)(

B

，

C

)(

B

，

D

)

C

(

C

，

A

)(

C

，

B

)(

C

，

C

)(

C

，

D

)

D

(

D

，

A

)(

D

，

B

)(

D

，

C

)(

D

，

D

)1234567891011

12345678910117.如圖，轉(zhuǎn)盤A的三個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的

四個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B各一

次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針指向扇形中的兩個(gè)數(shù)字相加(當(dāng)指針落

在兩扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤).(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；解：(1)畫樹狀圖如下1234567891011(2)若規(guī)定兩個(gè)數(shù)字的和為5時(shí)甲贏，和為4時(shí)乙贏，和為其他數(shù)字時(shí)，

甲，乙平局.請(qǐng)問這個(gè)游戲?qū)?、乙兩人是否公平?/p>

12345678910118.誦讀經(jīng)典詩文對(duì)于提升人的境界，豐富人的內(nèi)涵，開闊人的胸襟，凈

化人的靈魂，啟迪人的智慧有著極其重要的作用.在市教育局德育辦的

指導(dǎo)下，某校九年級(jí)開展了“經(jīng)典朗誦”活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的活動(dòng)成績(jī)按10

分制進(jìn)行評(píng)分，成績(jī)(單位：分)均為不低于6的整數(shù).為了解這次活動(dòng)的

效果，現(xiàn)從這個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取20名學(xué)生的活動(dòng)成績(jī)作為樣本進(jìn)行整理，

并繪制統(tǒng)計(jì)圖，部分信息如下.1234567891011(1)在樣本中，該年級(jí)活動(dòng)成績(jī)的眾數(shù)為

分；活動(dòng)成績(jī)?yōu)?0分的學(xué)

生數(shù)有

人.8

4

1234567891011(2)在樣本中，活動(dòng)成績(jī)?yōu)?0分的男，女生人數(shù)相等，若學(xué)校將從這里

面推薦2名同學(xué)到市里參加新一輪比賽.請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出

到市里參加比賽的兩人恰為一男一女的概率.解：由(1)知10分的學(xué)生有4人，且男，女生人數(shù)相等，記兩名男生分別為

A1，

A2，兩名女生分別為

B1，

B2，列表如下：1234567891011

A1

A2

B1

B2

A1(

A2，

A1)(

B1，

A1)(

B2，

A1)

A2(

A1，

A2)(

B1，

A2)(

B2，

A2)

B1(

A1，

B1)(

A2，

B1)(

B2，

B1)

B2(

A1，

B2)(

A2，

B2)(

B1，

B2)

12345678910119.人體的許多特征都是由基因控制的.如人的單眼皮或雙眼皮，這是由

一對(duì)人體基因控制的，控制單眼皮的基因

f

是隱性的，控制雙眼皮的基

因

F

是顯性的，這樣控制眼皮的一對(duì)基因可能是

ff

，

FF

或者

Ff

.基因是

ff

的人是單眼皮，基因是

FF

或

Ff

的人是雙眼皮，在遺傳時(shí)，父母分別

將他們所攜帶的一對(duì)基因中的一個(gè)遺傳給子女，而且是等可能的.例

如，父母都是雙眼皮而且他們的基因都是

Ff

，那么他們的子女有

ff

，

FF

或者

Ff

三種可能，具體情況可用下表表示：1234567891011(1)根據(jù)表格請(qǐng)你計(jì)算出他們的子女是雙眼皮的概率；(1)解：由表格可知一共有4種等可能性的結(jié)果，其中是雙眼皮的結(jié)果有

3種，

父親基因

Ff

母親基因

Ff

F

f

F

FF

Ff

f

Ff

ff

12345