曲線積分題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)曲線\(L\)是從點(diǎn)\((0,0)\)到點(diǎn)\((1,1)\)的直線段，則\(\int_{L}xdy\)的值為（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(0\)D.\(2\)2.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無關(guān)的充要條件是（）A.\(\frac{\partialP}{\partialx}=\frac{\partialQ}{\partialy}\)B.\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)C.\(\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}=0\)D.\(\frac{\partialP}{\partialy}-\frac{\partialQ}{\partialx}=0\)3.設(shè)\(L\)為單位圓\(x^{2}+y^{2}=1\)正向一周，則\(\oint_{L}x^{2}ydx-xy^{2}dy\)的值為（）A.\(-\pi\)B.\(\pi\)C.\(0\)D.\(2\pi\)4.已知曲線\(L\)的參數(shù)方程為\(x=t\)，\(y=t^{2}\)，\(t\)從\(0\)到\(1\)，則\(\int_{L}(x+y)ds\)等于（）A.\(\frac{1}{3}(5\sqrt{5}-1)\)B.\(\frac{1}{3}(5\sqrt{5}+1)\)C.\(\frac{1}{3}(3\sqrt{3}-1)\)D.\(\frac{1}{3}(3\sqrt{3}+1)\)5.設(shè)\(L\)是從點(diǎn)\((0,0)\)沿\(y=x\)到點(diǎn)\((1,1)\)，再沿\(y=1\)到點(diǎn)\((2,1)\)的折線，則\(\int_{L}ydx\)的值為（）A.\(1\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)6.若曲線\(L\)是橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)正向一周，則\(\oint_{L}\frac{-ydx+xdy}{x^{2}+y^{2}}\)的值為（）A.\(2\pi\)B.\(-2\pi\)C.\(0\)D.\(\pi\)7.曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)中，當(dāng)\(f(x,y)=1\)時，\(\int_{L}f(x,y)ds\)的值等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.曲線\(L\)的長度D.無法確定8.設(shè)\(L\)為拋物線\(y=x^{2}\)上從點(diǎn)\((0,0)\)到點(diǎn)\((1,1)\)的一段弧，則\(\int_{L}xydx\)的值為（）A.\(\frac{1}{12}\)B.\(\frac{1}{6}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{3}\)9.設(shè)\(L\)是圓周\(x^{2}+y^{2}=4\)正向，則\(\oint_{L}(x^{2}+y^{2})ds\)的值為（）A.\(8\pi\)B.\(4\pi\)C.\(16\pi\)D.\(2\pi\)10.若曲線積分\(\int_{L}(x+y)dx+(x-y)dy\)與路徑無關(guān)，則\(L\)是（）A.任意曲線B.閉曲線C.直線段D.折線二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些情況曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無關(guān)（）A.在單連通區(qū)域內(nèi)，\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)B.存在函數(shù)\(u(x,y)\)，使得\(du=Pdx+Qdy\)C.對于任意閉曲線\(C\)，\(\oint_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\)D.\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)2.計算曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)時，常用的方法有（）A.利用曲線的參數(shù)方程化為定積分計算B.利用曲線的直角坐標(biāo)方程化為定積分計算C.利用格林公式轉(zhuǎn)化為二重積分計算D.利用曲線積分與路徑無關(guān)的性質(zhì)簡化計算3.設(shè)\(L\)是閉曲線，格林公式\(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy\)成立的條件是（）A.\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)在閉區(qū)域\(D\)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)B.\(L\)是\(D\)的正向邊界曲線C.\(D\)是單連通區(qū)域D.\(D\)是多連通區(qū)域4.對于曲線積分\(\int_{L}x^{2}ydx-xy^{2}dy\)，以下說法正確的是（）A.若\(L\)是正向單位圓，則積分值為\(-\frac{\pi}{2}\)B.若\(L\)是負(fù)向單位圓，則積分值為\(\frac{\pi}{2}\)C.若\(L\)是從\((0,0)\)到\((1,1)\)的直線段，可利用參數(shù)方程計算D.若\(L\)是閉曲線，可考慮用格林公式計算5.曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)具有以下性質(zhì)（）A.線性性質(zhì)：\(\int_{L}[k_{1}f(x,y)+k_{2}g(x,y)]ds=k_{1}\int_{L}f(x,y)ds+k_{2}\int_{L}g(x,y)ds\)B.可加性：若\(L=L_{1}+L_{2}\)，則\(\int_{L}f(x,y)ds=\int_{L_{1}}f(x,y)ds+\int_{L_{2}}f(x,y)ds\)C.保序性：若\(f(x,y)\leqg(x,y)\)在\(L\)上成立，則\(\int_{L}f(x,y)ds\leq\int_{L}g(x,y)ds\)D.與曲線方向無關(guān)6.設(shè)\(L\)是從點(diǎn)\((1,0)\)沿\(x^{2}+y^{2}=1\)到點(diǎn)\((0,1)\)的一段弧，則（）A.可以用參數(shù)方程\(x=\cost\)，\(y=\sint\)，\(t\)從\(0\)到\(\frac{\pi}{2}\)來計算曲線積分B.\(\int_{L}xds\)可以通過上述參數(shù)方程化為定積分計算C.\(\int_{L}ydx\)也可利用參數(shù)方程計算D.可利用曲線積分與路徑無關(guān)簡化計算7.以下曲線積分中，哪些可以利用對稱性來簡化計算（）A.\(\int_{L}x^{2}ds\)，\(L\)是關(guān)于\(y\)軸對稱的曲線B.\(\int_{L}y^{3}ds\)，\(L\)是關(guān)于\(x\)軸對稱的曲線C.\(\int_{L}xyds\)，\(L\)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線D.\(\int_{L}(x^{2}+y^{2})ds\)，\(L\)是任意曲線8.已知曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)，當(dāng)（）時，積分與路徑無關(guān)且原函數(shù)\(u(x,y)\)可以通過\(u(x,y)=\int_{x_{0}}^{x}P(x,y_{0})dx+\int_{y_{0}}^{y}Q(x,y)dy\)來求（其中\(zhòng)((x_{0},y_{0})\)為區(qū)域內(nèi)一定點(diǎn)）A.\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)B.\(P(x,y)\)和\(Q(x,y)\)連續(xù)C.區(qū)域是單連通的D.區(qū)域是多連通的9.對于曲線積分\(\int_{L}(x+2y)ds\)，若\(L\)是由\(y=x\)，\(x=0\)，\(x=1\)圍成的三角形邊界正向，則（）A.可將\(L\)分成三段分別計算曲線積分B.計算時要注意每段曲線的方程及參數(shù)范圍C.利用格林公式計算更簡便D.計算結(jié)果與路徑無關(guān)10.曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)與曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)的區(qū)別在于（）A.前者是對弧長的積分，后者是對坐標(biāo)的積分B.計算方法有所不同C.前者與曲線方向無關(guān)，后者與曲線方向有關(guān)D.前者的被積函數(shù)是數(shù)量函數(shù)，后者的被積表達(dá)式是向量函數(shù)的線積分三、判斷題（每題2分，共10題）1.曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)與曲線\(L\)的方向無關(guān)。（）2.若在某區(qū)域內(nèi)\(\frac{\partialP}{\partialy}\neq\frac{\partialQ}{\partialx}\)，則曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)一定與路徑有關(guān)。（）3.格林公式適用于任何閉曲線圍成的區(qū)域。（）4.計算曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)時，若\(L\)關(guān)于\(x\)軸對稱，且\(f(x,y)\)是關(guān)于\(y\)的奇函數(shù)，則\(\int_{L}f(x,y)ds=0\)。（）5.曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無關(guān)，則對于任意兩點(diǎn)\(A\)，\(B\)，從\(A\)到\(B\)的曲線積分值都相等。（）6.設(shè)\(L\)是閉曲線，若\(\oint_{L}Pdx+Qdy=0\)，則一定有\(zhòng)(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)。（）7.計算\(\int_{L}xyds\)，當(dāng)\(L\)是\(y=x^{2}\)從\((0,0)\)到\((1,1)\)的弧時，可令\(x=t\)，\(y=t^{2}\)，\(t\)從\(0\)到\(1\)化為定積分計算。（）8.曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)中，被積函數(shù)\(f(x,y)\)必須在曲線\(L\)上有定義。（）9.若曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)與路徑無關(guān)，則存在函數(shù)\(u(x,y)\)使得\(du=Pdx+Qdy\)。（）10.對于曲線積分\(\int_{L}(x^{2}+y^{2})ds\)，當(dāng)\(L\)是單位圓\(x^{2}+y^{2}=1\)時，積分值為\(2\pi\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)和\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)的區(qū)別。答案：\(\int_{L}f(x,y)ds\)是對弧長的積分，被積函數(shù)是數(shù)量函數(shù)，與曲線方向無關(guān)；\(\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\)是對坐標(biāo)的積分，被積表達(dá)式是向量函數(shù)的線積分，與曲線方向有關(guān)。計算方法和應(yīng)用場景也有所不同。2.說明曲線積分與路徑無關(guān)的條件及意義。答案：在單連通區(qū)域內(nèi)，\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且\(\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}\)時，曲線積分與路徑無關(guān)。意義在于計算曲線積分時可選擇更簡便的路徑，且存在原函數(shù)，方便求解。3.格林公式的內(nèi)容及應(yīng)用條件是什么？答案：格林公式為\(\oint_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partialQ}{\partialx}-\frac{\partialP}{\partialy})dxdy\)。應(yīng)用條件：\(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\)在閉區(qū)域\(D\)上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，\(L\)是\(D\)的正向邊界曲線。4.計算曲線積分\(\int_{L}f(x,y)ds\)時，如何利用曲線的對稱性簡化計算？答案：若\(L\)關(guān)于\(x\)軸對稱，\(f(x,y)\)是關(guān)于\(y\)的奇函數(shù)則積分值為\(0\)，是偶函數(shù)則積分值為\(2\)倍\(L\)在\(x\)軸上方部分的積分；關(guān)于\(y\)軸對稱同理；關(guān)于原點(diǎn)對稱時，\(f(x,y)\)是奇函數(shù)積分值為\(0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在計算曲線積分\(\int_{L}P(x,y)dx+