課時規(guī)范練A組基礎(chǔ)對點練1．已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．答案：D2．一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：A3．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.答案：D4.(2018·銀川一中月考)如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)，故A，B兩點的距離為50eq\r(2)m.答案：A5．某位居民站在離地20m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂?shù)难鼋菫?0°，小高層底部的俯角為45°，那么這棟小高層的高度為()A．20(1＋eq\f(\r(3),3))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．20(eq\r(2)＋eq\r(6))m解析：如圖，設(shè)AB為陽臺的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20m，CE＝20eq\r(3)m．所以CD＝20(1＋eq\r(3))m.故選B.答案：B解析：依題意，設(shè)乙的速度為xm/s，則甲的速度為eq\f(11,9)xm/s，因為AB＝1040，BC＝500，所以eq\f(AC,x)＝eq\f(1040＋500,\f(11,9)x)，解得：AC＝1260，在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(10402＋12602－5002,2×1040×1260)＝eq\f(84,91)＝eq\f(12,13)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).答案：eq\f(5,13)7．(2018·德州檢測)某貨輪在A處看燈塔S在北偏東30°方向，它向正北方向航行24海里到達B處，看燈塔S在北偏東75°方向．則此時貨輪到燈塔S的距離為________海里．解析：根據(jù)題意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(24,sin45°)，∴BS＝eq\f(12,\f(\r(2),2))＝12eq\r(2)，故貨輪到燈塔S的距離為12eq\r(2)海里．答案：12eq\r(2)8.如圖，已知在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在海島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在海島北偏西60°，俯角為60°的C處．輪船沿BC行駛一段時間后，到達海島的正西方向的D處，此時輪船距海島A有__________千米．解析：由已知可求得AB＝eq\r(3)，AC＝eq\f(\r(3),3)，BC＝eq\f(\r(30),3)，所以sin∠ACB＝eq\f(3\r(10),10)，cos∠ACB＝eq\f(\r(10),10).在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACD·cos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝eq\f(3\r(30)－\r(10),20)，由正弦定理可求得AD＝eq\f(AC·sin∠ACD,sin∠ADC)＝eq\f(9＋\r(3),13).答案：eq\f(9＋\r(3),13)9.已知在島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin38°＝\f(5\r(3),14)，sin22°＝\f(3\r(3),14)))解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船．10.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4).故PA＝eq\f(\r(7),2).(2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin30°－α)，化簡得eq\r(3)cosα＝4sinα.所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4).B組能力提升練1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：A2．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為α＝30°，沿傾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角γ＝60°，則山高h＝()A.eq\f(\r(2),2)aB.eqB.q\f(a,2)米C.eq\f(\r(3),2)a米 D．a(chǎn)米解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a(米)．答案：A3．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)()A．8.4km B．6.6kmC．6.5km D．5.6km解析：因為AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)km，所以BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2))(km)．所以航線離山頂?shù)母叨萮＝eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4km.所以山高為18－11.4＝6.6(km)．答案：B4．如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了三種測量方案：(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)①測量A，C，b②測量a，b，C③測量A，B，a則一定能確定A，B間距離的所有方案的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：對于①，利用內(nèi)角和定理先求出B＝π－A－C，再利用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)解出c，對于②，直接利用余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)即可解出c，對于③，先利用內(nèi)角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)解出c.答案：A5.(2018·衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為__________．解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在Rt△ACD中，因為tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，所以DC＝ACtan∠DAC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2)(m)．答案：6006．(2018·遂寧模擬)海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105°的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為__________小時．解析：設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為x小時，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍)．所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為eq\f(2,3)小時．答案：eq\f(2,3)7．如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1m，圓心角為eq\f(π,3)的扇形白鐵片AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在弧AB上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設(shè)∠BOP＝θ，平行四邊形MNPQ的面積為S.(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．(2)求S的最大值及相應的θ角．解析：(1)分別過P，Q作PD⊥OB于點D，QE⊥OB于點E，則四邊形QEDP為矩形．由扇形半徑為1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝eq\f(\r(3),3)QE＝eq\f(\r(3),3)PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－eq\f(\r(3),3)sinθ，S＝MN·PD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(\r(3),3)sinθ))·sinθ＝sinθcosθ－eq\f(\r(3),3)sin2θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)S＝eq\f(1,2)sin2θ－eq\f(\r(3),6)(1－cos2θ)＝eq\f(1,2)sin2θ＋eq\f(\r(3),6)cos2θ－eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\