中學(xué)數(shù)學(xué)幾何知識點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)引言幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心分支之一，研究圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，重點(diǎn)培養(yǎng)空間想象能力、邏輯推理能力、抽象概括能力。它既是中考的重點(diǎn)（占比約30%~40%），也是高中立體幾何、解析幾何的基礎(chǔ)。本文將中學(xué)幾何分為平面幾何（三角形、四邊形、圓）、立體幾何（柱體、錐體、球）、解析幾何（直線、圓、圓錐曲線）三大板塊，系統(tǒng)總結(jié)核心知識點(diǎn)，并配套基礎(chǔ)練習(xí)+提升練習(xí)（貼近中考題型），助力學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、突破難點(diǎn)。一、平面幾何：圖形與邏輯的基石平面幾何是研究平面內(nèi)圖形性質(zhì)的學(xué)科，核心是定理的應(yīng)用和圖形的轉(zhuǎn)化。（一）三角形：最基本的多邊形三角形是平面幾何的“細(xì)胞”，所有復(fù)雜圖形都可分解為三角形。1.核心知識點(diǎn)分類：按邊：不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）；按角：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。基本定理：三邊關(guān)系：任意兩邊之和>第三邊，任意兩邊之差<第三邊（判斷能否組成三角形的關(guān)鍵）；內(nèi)角和：180°（延伸：n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°）；外角性質(zhì)：外角=不相鄰兩內(nèi)角之和（常用于角度計算）；中位線定理：連接兩邊中點(diǎn)的線段（中位線）平行于第三邊，且等于第三邊的一半（平行四邊形判定的基礎(chǔ)）；特殊三角形：等腰三角形：等邊對等角、三線合一（頂角平分線=底邊上的中線=底邊上的高）；等邊三角形：三邊相等、三角均為60°、三線合一；直角三角形：勾股定理：\(a^2+b^2=c^2\)（\(c\)為斜邊，中考必考點(diǎn)）；斜邊中線=斜邊一半（直角三角形的重要性質(zhì)）；30°角所對直角邊=斜邊一半（含30°直角三角形的邊長關(guān)系）。全等與相似：全等三角形（\(\cong\)）：判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL，HL僅適用于直角三角形）；性質(zhì)（對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）；相似三角形（\(\sim\)）：判定定理（AA、SAS、SSS）；性質(zhì)（對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等、周長比=相似比、面積比=相似比2）。2.基礎(chǔ)練習(xí)（中考?？碱}型）（1）下列線段能組成三角形的是（）A.2,3,5B.3,4,8C.5,6,10D.5,6,11（2）等腰三角形的頂角為80°，則底角為（）A.50°B.60°C.70°D.80°（3）直角三角形的斜邊為10，一條直角邊為6，則另一條直角邊為（）答案：（1）C（2+3=5，3+4=7<8，5+6=11>10，5+6=11）；（2）A（\((180°-80°)/2=50°\)）；（3）8（勾股定理：\(\sqrt{10^2-6^2}=8\)）。3.提升練習(xí)（中考解答題）例1：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(BD=BC=AD\)，求\(\angleA\)的度數(shù)。解析：設(shè)\(\angleA=x\)，則\(AD=BD\Rightarrow\angleABD=x\)，\(\angleBDC=\angleA+\angleABD=2x\)；\(BD=BC\Rightarrow\angleBCD=\angleBDC=2x\)；\(AB=AC\Rightarrow\angleABC=\angleACB=2x\)。由內(nèi)角和得：\(x+2x+2x=180°\Rightarrowx=36°\)。答案：\(\angleA=36°\)。例2：如圖，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(AE=1.6\)，求\(EC\)的長。解析：\(DE\parallelBC\Rightarrow\triangleADE\sim\triangleABC\)，相似比\(AD/AB=2/(2+3)=2/5\)。設(shè)\(EC=y\)，則\(AE/AC=1.6/(1.6+y)=2/5\Rightarrowy=2.4\)。答案：\(EC=2.4\)。（二）四邊形：從平行到特殊的演變四邊形是平面幾何的“綜合載體”，重點(diǎn)是特殊四邊形的性質(zhì)與判定。1.核心知識點(diǎn)平行四邊形：定義：兩組對邊分別平行；性質(zhì)：對邊相等、對角相等、對角線互相平分；判定：兩組對邊分別相等/一組對邊平行且相等/對角線互相平分。矩形（特殊平行四邊形）：定義：有一個角是直角；性質(zhì)：四個角均為直角、對角線相等；判定：三個角為直角/對角線相等的平行四邊形。菱形（特殊平行四邊形）：定義：一組鄰邊相等；性質(zhì)：四邊相等、對角線互相垂直平分（平分對角）；判定：四邊相等/對角線互相垂直的平行四邊形。正方形（最特殊的四邊形）：定義：有一個角是直角且一組鄰邊相等；性質(zhì)：兼具矩形+菱形的所有性質(zhì)（如對角線相等且垂直平分）；判定：先證矩形再證鄰邊相等/先證菱形再證直角。梯形：定義：一組對邊平行（底邊）、另一組對邊不平行（腰）；等腰梯形：兩腰相等，性質(zhì)（同一底上的角相等、對角線相等）。2.基礎(chǔ)練習(xí)（中考選擇題）（1）不能判定平行四邊形的是（）A.\(AB\parallelCD\)，\(AD\parallelBC\)B.\(AB=CD\)，\(AD=BC\)C.\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)D.\(AB\parallelCD\)，\(AD=BC\)（2）矩形的對角線長為10，一邊長為6，則另一邊長為（）（3）菱形的邊長為5，對角線長為6，則面積為（）答案：（1）D（D為等腰梯形的條件）；（2）8（勾股定理：\(\sqrt{10^2-6^2}=8\)）；（3）24（\(S=1/2×6×8=24\)，另一對角線長為8）。3.提升練習(xí)（中考解答題）例3：如圖，矩形\(ABCD\)中，\(AE\perpBD\)于\(E\)，\(\angleDAE=3\angleBAE\)，求\(\angleEAC\)的度數(shù)。解析：矩形\(\angleBAD=90°\)，設(shè)\(\angleBAE=x\)，則\(\angleDAE=3x\Rightarrowx+3x=90°\Rightarrowx=22.5°\)。\(AE\perpBD\Rightarrow\angleADE=90°-3x=22.5°\)。\(OA=OD\Rightarrow\angleOAD=\angleADE=22.5°\)。故\(\angleEAC=\angleBAD-\angleBAE-\angleOAD=90°-22.5°-22.5°=45°\)。答案：\(45°\)。（三）圓：曲線圖形的核心圓是平面幾何的“壓軸板塊”，重點(diǎn)是圓心角與圓周角、切線、垂徑定理。1.核心知識點(diǎn)基本概念：圓心（定點(diǎn)）、半徑（定長）、直徑（最長弦）、?。▋?yōu)弧/劣?。⑾遥ǚ侵睆降南遥?。核心定理：圓心角與圓周角：圓心角=所對弧的度數(shù)；圓周角=所對弧度數(shù)的一半（同弧所對圓周角相等；直徑所對圓周角=90°）；垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的?。ㄍ普摚浩椒窒遥ǚ侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙遥?；切線：判定：過半徑外端且垂直于半徑的直線；性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；切線長定理：從圓外一點(diǎn)引兩條切線，切線長相等（圓心與該點(diǎn)的連線平分切線夾角）。位置關(guān)系：點(diǎn)與圓：\(d<r\)（內(nèi)）、\(d=r\)（上）、\(d>r\)（外）；直線與圓：\(d<r\)（相交）、\(d=r\)（相切）、\(d>r\)（相離）。2.基礎(chǔ)練習(xí)（中考填空題）（1）直徑\(AB=10\)，弦\(CD\perpAB\)于\(E\)，\(AE=2\)，則\(CD=\)（）（2）圓的半徑為5，圓心到直線的距離為3，則直線與圓的位置關(guān)系是（）（3）切線長為6，圓心到點(diǎn)的距離為10，則半徑為（）答案：（1）8（\(OE=OA-AE=5-2=3\)，\(CD=2\sqrt{OC^2-OE^2}=2×4=8\)）；（2）相交；（3）8（勾股定理）。3.提升練習(xí)（中考解答題）例4：如圖，\(PA\)、\(PB\)是\(\odotO\)的切線，\(\angleAPB=60°\)，\(OA=2\)，求\(OP\)的長。解析：\(PA\perpOA\)，\(PB\perpOB\)，\(\angleAOP=1/2\angleAOB=1/2(180°-60°)=60°\)。在\(Rt\triangleAOP\)中，\(OP=OA/\cos60°=2/(1/2)=4\)。答案：\(OP=4\)。二、立體幾何：從平面到空間的跨越立體幾何研究空間圖形的結(jié)構(gòu)與度量，重點(diǎn)是柱體、錐體、球的體積與表面積。（一）核心知識點(diǎn)柱體：棱柱（直棱柱/正棱柱）：側(cè)棱平行且相等，側(cè)面為平行四邊形（直棱柱側(cè)面為矩形）；圓柱（旋轉(zhuǎn)體）：底面為等圓，側(cè)面展開圖為矩形；公式：圓柱表面積\(S=2\pir^2+2\pirh\)，體積\(V=\pir^2h\)（\(r\)為底面半徑，\(h\)為高）。錐體：棱錐（正棱錐）：側(cè)棱交于頂點(diǎn)，側(cè)面為三角形（正棱錐側(cè)面為全等等腰三角形）；圓錐（旋轉(zhuǎn)體）：底面為圓，側(cè)面展開圖為扇形；公式：圓錐表面積\(S=\pir^2+\pirl\)（\(l\)為母線長），體積\(V=1/3\pir^2h\)。球：定義：空間中到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合；公式：表面積\(S=4\pir^2\)，體積\(V=4/3\pir^3\)；截面：截面為圓，\(r=\sqrt{R^2-d^2}\)（\(R\)為球半徑，\(d\)為球心到截面距離）。（二）基礎(chǔ)練習(xí)（中考常考）（1）圓柱的底面半徑為2，高為3，表面積為（），體積為（）（2）圓錐的母線長為5，底面半徑為3，高為（），體積為（）（3）球的半徑為3，表面積為（），體積為（）答案：（1）\(20\pi\)（\(2×\pi×2^2+2×\pi×2×3\)），\(12\pi\)；（2）4（\(\sqrt{5^2-3^2}\)），\(12\pi\)（\(1/3×\pi×3^2×4\)）；（3）\(36\pi\)，\(36\pi\)（\(4/3×\pi×3^3\)）。（三）提升練習(xí)（中考解答題）例5：正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為5，求體積。解析：底面正三角形的高為\(3\sqrt{3}\)，中心到頂點(diǎn)的距離為\(2/3×3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)。正三棱錐的高為\(\sqrt{5^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}\)。體積\(V=1/3×(√3/4×6^2)×√13=3√39\)。答案：\(3√39\)。三、解析幾何：代數(shù)與幾何的融合解析幾何用坐標(biāo)法研究幾何問題，重點(diǎn)是直線方程、圓的方程、圓錐曲線。（一）核心知識點(diǎn)直線：傾斜角（\(0°≤α<180°\)）、斜率（\(k=\tanα\)，\(k=(y2-y1)/(x2-x1)\)）；方程：點(diǎn)斜式（\(y-y1=k(x-x1)\)）、斜截式（\(y=kx+b\)）、一般式（\(Ax+By+C=0\)）；位置關(guān)系：平行（\(k1=k2\)且\(b1≠b2\)）、垂直（\(k1k2=-1\)）；距離：點(diǎn)到直線距離（\(d=|Ax0+By0+C|/√(A2+B2)\)）。圓：標(biāo)準(zhǔn)方程（\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)）、一般方程（\(x2+y2+Dx+Ey+F=0\)，\(D2+E2-4F>0\)）；直線與圓的位置關(guān)系：\(d<r\)（相交）、\(d=r\)（相切）、\(d>r\)（相離）。圓錐曲線：橢圓：\(x2/a2+y2/b2=1\)（\(a>b>0\)，\(c=√(a2-b2)\)，\(e=c/a<1\)）；雙曲線：\(x2/a2-y2/b2=1\)（\(c=√(a2+b2)\)，\(e=c/a>1\)，漸近線\(y=±b/ax\)）；拋物線：\(y2=2px\)（\(p>0\)，焦點(diǎn)\((p/2,0)\)，準(zhǔn)線\(x=-p/2\)，\(e=1\)）。（二）基礎(chǔ)練習(xí)（中考選擇題）（1）過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為2的直線方程為（）A.\(y=2x\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=2x+2\)（2）圓\(x2+y2-2x+4y-4=0\)的圓心為（），半徑為（）（3）拋物線\(y2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）答案：（1）C（點(diǎn)斜式：\(y-2=2(x-1)\Rightarrowy=2x\)？不對，\(y-2=2(x-1)\Rightarrowy=2x-2+2=2x\)？不，\(2(x-1)=2x-2\)，加2得\(y=2x\)？等一下，點(diǎn)(1,2)代入\(y=2x\)，得2=2×1=2，對，那選項(xiàng)A是\(y=2x\)，那我剛才算錯了？等一下，點(diǎn)斜式是\(y-y1=k(x-x1)\)，所以\(y-2=2(x-1)\Rightarrowy=2x-2+2=2x\)，選A。（2）圓心(1,-2)（配方：\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)），半徑3；（3）(2,0)（\(p=4\)，焦點(diǎn)\((p/2,0)\)）。（三）提升練習(xí)（中考解答題）例6：求過點(diǎn)