八年級數(shù)學(xué)分式應(yīng)用題專項訓(xùn)練一、引言分式應(yīng)用題是八年級數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是中考的高頻考點。它以實際問題為背景，通過建立分式方程解決工程、行程、銷售、比例等實際問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力和運算求解能力。掌握分式應(yīng)用題的解題方法，不僅能鞏固分式的運算知識，更能提升用數(shù)學(xué)解決實際問題的意識與能力。本文將從常見類型、解題步驟、實戰(zhàn)演練三個維度展開，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破分式應(yīng)用題難點。二、分式應(yīng)用題的常見類型與基本量關(guān)系分式應(yīng)用題的核心是找到等量關(guān)系，而等量關(guān)系的建立依賴于對各類問題中基本量及其關(guān)系的理解。以下是八年級常見的5類分式應(yīng)用題及基本量關(guān)系：（一）工程問題基本量：工作量（\(W\)）、工作效率（\(P\)）、工作時間（\(t\)）核心關(guān)系：\(W=P\timest\)；\(P=\frac{W}{t}\)；\(t=\frac{W}{P}\)注：工程問題中，常將總工作量設(shè)為1（單位“1”），此時工作效率為“\(\frac{1}{工作時間}\)”（如甲單獨做需\(a\)天，則甲的效率為\(\frac{1}{a}\)）。（二）行程問題基本量：路程（\(s\)）、速度（\(v\)）、時間（\(t\)）核心關(guān)系：\(s=v\timest\)；\(v=\frac{s}{t}\)；\(t=\frac{s}{v}\)常見細(xì)分：相遇問題（\(s_甲+s_乙=s_總\)）、追及問題（\(s_快-s_慢=s_差\)）、平均速度（\(v_{平均}=\frac{s_總}{t_總}\)，非速度平均值）。（三）銷售問題基本量：進(jìn)價（\(c\)）、售價（\(p\)）、利潤（\(w\)）、利潤率（\(r\)）核心關(guān)系：\(w=p-c\)；\(r=\frac{w}{c}\times100\%\)（利潤率=利潤/進(jìn)價，而非利潤/售價）；\(p=c(1+r)\)（提價后的售價）；\(p=原價\times折扣\)（打折后的售價）。（四）比例問題基本量：比例項（如甲:乙:丙=\(a:b:c\)）、具體數(shù)值核心關(guān)系：設(shè)比例系數(shù)為\(k\)（\(k\neq0\)），則甲\(=ak\)、乙\(=bk\)、丙\(=ck\)，再根據(jù)題目中的“和、差、倍、分”關(guān)系列方程。（五）濃度問題基本量：溶質(zhì)質(zhì)量（\(m_質(zhì)\)）、溶劑質(zhì)量（\(m_劑\)）、溶液質(zhì)量（\(m_液=m_質(zhì)+m_劑\)）、濃度（\(c=\frac{m_質(zhì)}{m_液}\times100\%\)）核心關(guān)系：稀釋/濃縮過程中，溶質(zhì)質(zhì)量不變（如加水稀釋時，\(m_質(zhì)=原溶液濃度\times原溶液質(zhì)量=新溶液濃度\times新溶液質(zhì)量\)）。三、分式應(yīng)用題的解題步驟分式應(yīng)用題的解題流程可總結(jié)為“審、設(shè)、列、解、驗、答”六步，每一步都有需要注意的細(xì)節(jié)：1.審：審題找等量關(guān)系圈畫關(guān)鍵詞（如“合作”“相遇”“獲利20%”“濃度變?yōu)?0%”）；明確題目中的已知量與未知量；分析基本量之間的關(guān)系，找出等量關(guān)系（如工程問題中“合作效率×合作時間=總工作量”）。2.設(shè)：合理設(shè)未知數(shù)直接設(shè)：問什么設(shè)什么（如“求合作時間”，設(shè)合作時間為\(x\)天）；間接設(shè)：當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)導(dǎo)致方程復(fù)雜時，設(shè)比例系數(shù)、中間量等（如比例問題設(shè)\(k\)，工程問題設(shè)工作量為1）；注意單位統(tǒng)一（如時間單位為“小時”，速度單位為“千米/小時”）。3.列：列分式方程根據(jù)等量關(guān)系，將未知量用含未知數(shù)的式子表示，代入等量關(guān)系得方程；確保分式的分子分母正確（如時間=路程/速度，不要寫成速度/路程）。4.解：解分式方程去分母：兩邊同乘最簡公分母，轉(zhuǎn)化為整式方程；解整式方程：用一元一次方程的解法求解；注意：去分母時，常數(shù)項也要乘最簡公分母，避免漏乘。5.驗：檢驗解的合理性增根檢驗：代入最簡公分母，若分母為0，則為增根，舍去；實際檢驗：代入原題，檢查是否符合實際情況（如時間不能為負(fù)，人數(shù)不能為小數(shù)）。6.答：規(guī)范寫答案答案要帶單位；語言要簡潔明了（如“合作時間為\(\frac{36}{5}\)天”或“7.2天”）。四、實戰(zhàn)演練：分類型例題與練習(xí)（一）工程問題例題：甲單獨完成一項工程需10天，乙單獨完成需15天。若兩人合作，需多少天完成？解答：設(shè)總工作量為1，甲的效率為\(\frac{1}{10}\)，乙的效率為\(\frac{1}{15}\)；合作效率為\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6}\)；合作時間\(t=\frac{總工作量}{合作效率}=1\div\frac{1}{6}=6\)（天）。結(jié)論：兩人合作需6天完成。練習(xí)1：甲單獨做需12天，乙單獨做需18天，合作幾天完成？（答案：\(\frac{36}{5}\)天）練習(xí)2：一項工程，甲先做3天，完成了\(\frac{1}{4}\)，剩下的由乙單獨做需6天，乙的效率是多少？（答案：\(\frac{1}{8}\)）（二）行程問題例題：甲、乙兩地相距60千米，某人從甲地出發(fā)，先以5千米/小時的速度走了1小時，剩下的路程以6千米/小時的速度走完，求全程的平均速度。解答：總路程\(s=60\)千米；前1小時走了\(5\times1=5\)千米，剩下\(60-5=55\)千米；剩下路程的時間\(t_2=55\div6=\frac{55}{6}\)小時；總時間\(t=1+\frac{55}{6}=\frac{61}{6}\)小時；平均速度\(v_{平均}=\frac{s}{t}=60\div\frac{61}{6}=\frac{360}{61}\approx5.9\)（千米/小時）。練習(xí)1：某人從A到B，先以4km/h走了2小時，再以5km/h走了3小時，平均速度是多少？（答案：\(\frac{23}{5}\)km/h）練習(xí)2：甲、乙相向而行，甲速度6km/h，乙速度4km/h，相遇時甲比乙多走2km，求兩地距離。（答案：10km）（三）銷售問題例題：某商品進(jìn)價為每件80元，按售價的9折出售仍可獲利10%，求該商品的售價。解答：設(shè)售價為\(x\)元，9折后售價為\(0.9x\)元；利潤\(w=0.9x-80\)；利潤率\(r=\frac{w}{80}=10\%\)，即\(\frac{0.9x-80}{80}=0.1\)；解方程：\(0.9x-80=8\)→\(0.9x=88\)→\(x=\frac{880}{9}\approx97.78\)（元）。練習(xí)1：某商品售價120元，打8折仍獲利20%，進(jìn)價多少？（答案：80元）練習(xí)2：某商品進(jìn)價50元，想獲利25%，售價應(yīng)定為多少？（答案：62.5元）（四）比例問題例題：甲、乙兩數(shù)的比是2:3，甲數(shù)比乙數(shù)少10，求甲、乙兩數(shù)。解答：設(shè)甲數(shù)為\(2k\)，乙數(shù)為\(3k\)（\(k\neq0\)）；由題意得：\(3k-2k=10\)→\(k=10\)；甲數(shù)\(=2\times10=20\)，乙數(shù)\(=3\times10=30\)。練習(xí)1：甲:乙:丙=3:4:5，和為96，求丙數(shù)。（答案：40）練習(xí)2：甲比乙多\(\frac{1}{3}\)，甲:乙=？（答案：4:3）（五）濃度問題例題：把濃度為25%的鹽水200克，加水稀釋成濃度為10%的鹽水，需加水多少克？解答：溶質(zhì)質(zhì)量\(m_質(zhì)=25\%\times200=50\)克；稀釋后溶液質(zhì)量\(m_液=\frac{m_質(zhì)}{10\%}=50\div0.1=500\)克；需加水\(500-200=300\)克。練習(xí)1：濃度30%的鹽水100克，蒸發(fā)多少水變40%？（答案：25克）練習(xí)2：濃度15%的鹽水200克，加多少鹽變20%？（答案：12.5克）五、解題技巧總結(jié)1.記牢基本關(guān)系：各類問題的基本量關(guān)系是解題的基礎(chǔ)，如工程問題的“效率=1/時間”、銷售問題的“利潤率=利潤/進(jìn)價”。2.找等量關(guān)系是關(guān)鍵：通過關(guān)鍵詞（如“等于”“比...多”“濃度不變”）鎖定等量關(guān)系，避免盲目列方程。3.檢驗必做：增根會導(dǎo)致分母為0，實際不符的解（如時間為負(fù)）要舍去