2024年高二理科數(shù)學(xué)期中考試卷**考試說明**考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分題型：選擇題（60分）、填空題（20分）、解答題（70分）范圍：高二理科數(shù)學(xué)上冊核心內(nèi)容（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)列）**一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）**1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線\(f(x)=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,f(1))\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)解析：計(jì)算\(f(1)=1-2+1=0\)，求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-2\)，則\(f'(1)=3-2=1\)。切線方程為\(y-0=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-1\)。答案：A2.函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)范圍若函數(shù)\(f(x)=x^2-ax+\lnx\)在區(qū)間\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,3]\)B.\((-\infty,2]\)C.\((-\infty,1]\)D.\((-\infty,0]\)解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=2x-a+\frac{1}{x}\)，由單調(diào)性知\(f'(x)\geq0\)在\((1,+\infty)\)恒成立，即\(a\leq2x+\frac{1}{x}\)。令\(g(x)=2x+\frac{1}{x}\)，求導(dǎo)得\(g'(x)=2-\frac{1}{x^2}\)，在\((1,+\infty)\)上\(g'(x)>0\)，故\(g(x)\)單調(diào)遞增。因此\(g(x)>g(1)=3\)，故\(a\leq3\)。答案：A3.圓錐曲線的定義已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦點(diǎn)為\(F_1\)，右焦點(diǎn)為\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)在橢圓上，且\(|PF_1|=3|PF_2|\)，則橢圓的離心率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{3}{4}\)解析：由橢圓定義知\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，結(jié)合\(|PF_1|=3|PF_2|\)，得\(3|PF_2|+|PF_2|=2a\)，即\(|PF_2|=\frac{a}{2}\)，\(|PF_1|=\frac{3a}{2}\)。又\(|PF_1|-|PF_2|\leq2c\)（橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離差的最大值為\(2c\)），故\(\frac{3a}{2}-\frac{a}{2}=a\leq2c\)，即\(e=\frac{c}{a}\geq\frac{1}{2}\)。結(jié)合選項(xiàng)，答案：A4.空間向量的夾角在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，向量\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{A_1C}\)的夾角為（）A.\(30^\circ\)B.\(45^\circ\)C.\(60^\circ\)D.\(90^\circ\)解析：設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(A_1(0,0,1)\)，\(C(1,1,0)\)。則\(\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\)，\(\overrightarrow{A_1C}=(1,1,-1)\)。夾角余弦值為\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A_1C}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{A_1C}|}=\frac{1\cdot1+0\cdot1+0\cdot(-1)}{1\cdot\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0.577\)，對應(yīng)\(60^\circ\)。答案：C5.統(tǒng)計(jì)抽樣方法某學(xué)校高二年級有男生300人，女生200人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取100人參加社會實(shí)踐活動，則抽取的男生人數(shù)為（）A.40B.50C.60D.70解析：分層抽樣比例為\(\frac{100}{300+200}=0.2\)，故男生抽取人數(shù)為\(300\times0.2=60\)。答案：C6.古典概型從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件“兩數(shù)之和為偶數(shù)”的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)解析：總樣本數(shù)為\(\text{C}_5^2=10\)。兩數(shù)之和為偶數(shù)的情況：兩奇數(shù)或兩偶數(shù)。奇數(shù)有1,3,5共3個(gè)，偶數(shù)有2,4共2個(gè)，故符合條件的樣本數(shù)為\(\text{C}_3^2+\text{C}_2^2=3+1=4\)。概率為\(\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)。答案：B7.導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)；\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)；\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)。故\(x=0\)為極大值點(diǎn)，\(x=2\)為極小值點(diǎn)，共2個(gè)極值點(diǎn)。答案：C8.圓錐曲線的離心率雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的一條漸近線方程為\(y=2x\)，則離心率為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)解析：漸近線方程為\(y=\frac{a}x\)，故\(\frac{a}=2\)，即\(b=2a\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{a}\right)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。答案：A9.空間向量的點(diǎn)到平面距離在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(1,2,3)\)到平面\(2x+y-z=0\)的距離為（）A.\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)B.\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)C.\(\sqrt{6}\)D.\(2\sqrt{6}\)解析：點(diǎn)到平面距離公式為\(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)，此處平面方程為\(2x+y-z=0\)，故\(D=0\)。代入得\(d=\frac{|2\cdot1+1\cdot2-1\cdot3|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{|2+2-3|}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)。答案：A10.數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，則\(a_5=\)（）A.19B.20C.21D.22解析：用累加法求通項(xiàng)：\(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k=1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)\)。故\(a_5=1+5\times4=21\)。答案：C11.導(dǎo)數(shù)的最值問題函數(shù)\(f(x)=xe^{-x}\)在區(qū)間\([0,2]\)上的最大值為（）A.0B.\(\frac{1}{e}\)C.\(\frac{2}{e^2}\)D.\(e\)解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(1<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。故最大值在\(x=1\)處取得，\(f(1)=1\cdote^{-1}=\frac{1}{e}\)。答案：B12.圓錐曲線的綜合應(yīng)用已知拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)為\(F\)，過\(F\)的直線與拋物線交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=8\)，則直線\(AB\)的斜率為（）A.\(\pm1\)B.\(\pm2\)C.\(\pm\sqrt{3}\)D.\(\pm2\sqrt{2}\)解析：拋物線焦點(diǎn)\(F(1,0)\)，設(shè)直線方程為\(y=k(x-1)\)，聯(lián)立\(y^2=4x\)得：\(k^2(x-1)^2=4x\)，即\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)。設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}\)。由拋物線定義，\(|AB|=x_1+x_2+2=(2+\frac{4}{k^2})+2=4+\frac{4}{k^2}=8\)，解得\(k^2=1\)，即\(k=\pm1\)。答案：A**二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）**13.切線方程曲線\(f(x)=\lnx+x\)在點(diǎn)\((1,f(1))\)處的切線方程為__________。解析：\(f(1)=\ln1+1=1\)，\(f'(x)=\frac{1}{x}+1\)，故\(f'(1)=2\)。切線方程為\(y-1=2(x-1)\)，即\(y=2x-1\)。答案：\(y=2x-1\)14.極值點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________。解析：\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)；\(-1<x<1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)；\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)。故\(x=-1\)和\(x=1\)均為極值點(diǎn)，共2個(gè)。答案：215.橢圓的離心率橢圓\(4x^2+y^2=16\)的離心率為__________。解析：將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)，故\(a^2=16\)，\(b^2=4\)，\(c^2=a^2-b^2=12\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)16.空間向量的夾角已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow=(2,-1,1)\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角余弦值為__________。解析：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3\)，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)，故\(\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}\)。答案：\(\frac{\sqrt{21}}{14}\)**三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）**17.導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性（10分）已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)在區(qū)間\((0,2)\)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解析：步驟1：求導(dǎo)\(f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)\)。步驟2：轉(zhuǎn)化條件函數(shù)在\((0,2)\)單調(diào)遞增，故\(f'(x)\geq0\)在\((0,2)\)恒成立，即\(x^2-2ax+1\geq0\)，變形得\(2a\leqx+\frac{1}{x}\)。步驟3：求右邊函數(shù)的最小值令\(g(x)=x+\frac{1}{x}\)，\(x\in(0,2)\)，求導(dǎo)得\(g'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(1<x<2\)時(shí)，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)單調(diào)遞增。故\(g(x)\)在\(x=1\)處取得最小值\(g(1)=2\)。步驟4：確定參數(shù)范圍\(2a\leq2\)，即\(a\leq1\)。答案：\(a\leq1\)18.空間向量與立體幾何（12分）在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=1\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(AA_1=2\)，求直線\(A_1B\)與平面\(BCC_1B_1\)所成角的正弦值。解析：步驟1：建立坐標(biāo)系以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB\)、\(AC\)、\(AA_1\)分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則\(A_1(0,0,2)\)，\(B(1,0,0)\)，\(B_1(1,0,2)\)，\(C(0,1,0)\)，\(C_1(0,1,2)\)。步驟2：求直線方向向量與平面法向量直線\(A_1B\)的方向向量為\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-2)\)。平面\(BCC_1B_1\)的法向量可通過\(\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)\)和\(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,2)\)計(jì)算：\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BB_1}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&1&0\\0&0&2\end{vmatrix}=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+0\mathbf{k}=(2,2,0)\)。步驟3：計(jì)算線面角線面角\(\theta\)的正弦值等于方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對值，即：\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|1\times2+0\times2+(-2)\times0|}{\sqrt{1+0+4}\cdot\sqrt{4+4+0}}=\frac{2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{8}}=\frac{2}{\sqrt{40}}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\)。答案：\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)19.統(tǒng)計(jì)與概率（12分）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的產(chǎn)量\(x\)（噸）與成本\(y\)（萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：\(x\)2345\(y\)3456（1）求線性回歸方程\(\hat{y}=\hatx+\hat{a}\)；（2）預(yù)測當(dāng)產(chǎn)量為6噸時(shí)的成本。解析：（1）計(jì)算回歸系數(shù)首先計(jì)算樣本均值：\(\bar{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5\)，\(\bar{y}=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5\)。計(jì)算\(\sum_{i=1}^4x_iy_i=2\times3+3\times4+4\times5+5\times6=6+12+20+30=68\)，\(\sum_{i=1}^4x_i^2=2^2+3^2+4^2+5^2=4+9+16+25=54\)。則\(\hat=\frac{\sumx_iy_i-4\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-4\bar{x}^2}=\frac{68-4\times3.5\times4.5}{54-4\times12.25}=\frac{68-63}{54-49}=\frac{5}{5}=1\)。\(\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}=4.5-1\times3.5=1\)。故線性回歸方程為\(\hat{y}=x+1\)。（2）預(yù)測成本當(dāng)\(x=6\)時(shí)，\(\hat{y}=6+1=7\)（萬元）。答案：（1）\(\hat{y}=x+1\)；（2）7萬元20.圓錐曲線的綜合應(yīng)用（12分）已知橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)的左焦點(diǎn)為\(F\)，過\(F\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=\frac{8}{5}\)，求直線\(l\)的方程。解析：步驟1：確定焦點(diǎn)坐標(biāo)橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，故\(a^2=4\)，\(b^2=1\)，\(c^2=a^2-b^2=3\)，左焦點(diǎn)\(F(-\sqrt{3},0)\)。步驟2：設(shè)直線方程設(shè)直線\(l\)的斜率為\(k\)，則方程為\(y=k(x+\sqrt{3})\)。步驟3：聯(lián)立方程將直線方程代入橢圓方程得：\(\frac{x^2}{4}+k^2(x+\sqrt{3})^2=1\)，整理得：\((1+4k^2)x^2+8\sqrt{3}k^2x+12k^2-4=0\)。步驟4：用韋達(dá)定理求弦長設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-\frac{8\sqrt{3}k^2}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{12k^2-4}{1+4k^2}\)。弦長公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)。代入得：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\left(-\frac{8\sqrt{3}k^2}{1+4k^2}\right)^2-4\cdot\frac{12k^2-4}{1+4k^2}}\)\(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{192k^4}{(1+4k^2)^2}-\frac{48k^2-16}{1+4k^2}}\)\(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{192k^4-(48k^2-16)(1+4k^2)}{(1+4k^2)^2}}\)展開分子：\(192k^4-(48k^2+192k^4-16-64k^2)=192k^4-192k^4+16k^2+16=16(k^2+1)\)，故\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{4\sqrt{k^2+1}}{1+4k^2}=\frac{4(1+k^2)}{1+4k^2}\)。步驟5：求斜率由\(|AB|=\frac{8}{5}\)，得\(\frac{4(1+k^2)}{1+4k^2}=\frac{8}{5}\)，解得：\(20(1+k^2)=8(1+4k^2)\)，\(20+20k^2=8+32k^2\)，\(12k^2=12\)，\(k^2=1\)，即\(k=\pm1\)。步驟6：寫出直線方程直線\(l\)的方程為\(y=x+\sqrt{3}\)或\(y=-x-\sqrt{3}\)。答案：\(y=x+\sqrt{3}\)或\(y=-x-\sqrt{3}\)21.數(shù)列的綜合應(yīng)用（12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，\(\{b_n\}\)是等比數(shù)列，且\(a_1=b_1=1\)，\(a_2+b_2=4\)，\(a_3+b_3=7\)。（1）求\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_nb_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。解析：（1）求通項(xiàng)公式設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的公比為\(q\)（\(q\neq0\)）。由條件得：\(a_2+b_2=(1+d)+q=4\)，\(a_3+b_3=(1+2d)+q^2=7\)。聯(lián)立方程：\(d+q=3\)，\(2d+q^2=6\)。由第一式得\(d=3-q\)，代入第二式：\(2(3-q)+q^2=6\)，\(6-2q+q^2=6\)，\(q^2-2q=0\)，解得\(q=0\)（舍去）或\(q=2\)，故\(d=3-2=1\)。因此，\(a_n=1+(n-1)\times1=n\)，\(b_n=1\times2^{n-1}=2^{n-1}\)。（2）求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)\(S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=1\times2^0+2\times2^1+3\times2^2+\cdots+n\times2^{n-1}\)。兩邊乘以2得：\(2S_n=1\times2^1+2\times2^2+3\times2^3+\cdots+n\times2^n\)。兩式相減得：\(-S_n=2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\times2^n\)，即\(-S_n=\frac{2^n-1}{2-1}-n\times2^n=(1-n)2^n-1\)，故\(S_n=(n-1)2^n+1\)。答案：（1）\(a_n=n\)，\(b_n=2^{n-1}\)；（2）\(S_n=(n-1)2^n+1\)22.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（12分）已知函數(shù)\(f(x)=\lnx-ax+1\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）討論函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\leq0\)對任意\(x>0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍；（3）證明：\(\lnn<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\)（\(n\geq2\)，\(n\in\mathbb{N}^*\)）。解析：（1）討論單調(diào)性函數(shù)定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{1}{x}-a\)。當(dāng)\(a\leq0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(a>0\)時(shí)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\frac{1}{a}\)，當(dāng)\(0<x<\frac{1}{a}\)時(shí)，