專題3.1函數(shù)的概念及其表示TOC\o"13"\t"正文,1"\h【知識梳理】 1【考點1：函數(shù)關(guān)系的判斷】 3【考點2：求函數(shù)值】 6【考點3：已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)】 7【考點4：區(qū)間的概念與運算】 10【考點5：求具體函數(shù)的定義域】 12【考點6：求抽象函數(shù)的定義域】 14【考點7：常見函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)等）的值域】 17【考點8：復(fù)雜函數(shù)（根式型、分式型函數(shù)）的值域】 19【考點9：函數(shù)解析式的求法】 22【考點10：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】 24【知識梳理】1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．3．常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．4．求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.5．求函數(shù)值域的一般方法方法步驟觀察法第一步觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；第二步利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.分離常數(shù)法配方法第二步根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.換元法第一步觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；第二步另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.基本不等式法6．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).7．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.8．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.9．抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域為A，函數(shù)t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當(dāng)CA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).10．求函數(shù)解析式的方法【考點1：函數(shù)關(guān)系的判斷】1．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列從集合到集合的對應(yīng)中不是函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】選項D中，對于集合中的元素1，在集合中有兩個元素4和5與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義．2．（2425高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系，其中y是x的函數(shù)的是（

）【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷即可.對于B，因為任意一個實數(shù)x的是一個確定的實數(shù)，符合函數(shù)的定義，故B正確；故選：B.3．（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）下列表示函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義對圖象一一判斷即可.【詳解】在函數(shù)的基本概念中，自變量和因變量需要一一對應(yīng)，且對于每個值，僅有一個值對應(yīng)，所以選項ABD均不符合.故選：C.4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）如果記圓周率小數(shù)點后第n位上的數(shù)字為y，那么以下說法正確的為（

）A．y不是n的函數(shù)D．y是n的函數(shù)，但該函數(shù)值域不確定【答案】B5．（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列對應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（

）【答案】ABD【詳解】選項A，B，D中，對集合中任意實數(shù)，按給定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一實數(shù)與之對應(yīng)，故選項A，B，D符合函數(shù)的定義．選項C中，對于集合中元素1，按對應(yīng)法則，在中有元素和1與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義．A． B．C． D．【答案】CD故選：CD．故選：CD．【考點2：求函數(shù)值】A．2 B．4C．2 D．10【答案】A故選：A【點睛】本題考查了求函數(shù)值，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量算出的值，并將該值代入函數(shù)求出函數(shù)值即可.故選：B.x0y0A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由表格可得答案.故選：A.A． B． C． D．【答案】A12343124A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)運算即可求得結(jié)果.故選：A.【考點3：已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)】【答案】或【分析】根據(jù)已知條件列方程，從而求得的值.故答案為：或A． B．3 C． D．17【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法代入計算得解.故選：BA．或3 B．1或3 C． D．3【答案】D故選：D.1234234112342143A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】從外到內(nèi)逐步求值．故選：B【答案】(1)0【分析】（1）根據(jù)解析式直接求值即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件解方程即可得到結(jié)果.【答案】(1)不在；(2)；【考點4：區(qū)間的概念與運算】1．（2425高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）下列敘述正確的是（）【答案】D【分析】根據(jù)區(qū)間的概念逐項判斷即可．故選：D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.故選：B【答案】A【分析】首先求解不等式，再用區(qū)間表示.故選：A【答案】A【分析】根據(jù)區(qū)間的定義，即可列式求解.故選：A【分析】根據(jù)并集定義計算即可.6．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）用區(qū)間表示下列數(shù)集.(4)；【分析】根據(jù)集合與區(qū)間的關(guān)系求得正確答案.【考點5：求具體函數(shù)的定義域】【分析】二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，列不等式組求解即可【答案】A【分析】根據(jù)分式和根式求的范圍即可.故選：A.A．①，②和③ B．①和② C．②和③ D．②，③和④【答案】A【分析】分別求出四個函數(shù)的定義域即可求解.故選：A【答案】C故選：C.6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：【分析】（1）根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；（2）根據(jù)分式中的分母為不為零以及偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實數(shù)直接求解即可；（3）根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；（4）根據(jù)分式中的分母為不為零以及偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)實數(shù)直接求解即可.【考點6：求抽象函數(shù)的定義域】【答案】B故選：B【答案】D故選：D.【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解.5．（2425高一上·河南信陽·階段練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：【考點7：常見函數(shù)（一次、二次、反比例函數(shù)等）的值域】【答案】A【分析】求得兩函數(shù)的值域，利用交集的定義計算即可.故選：A.【答案】ABD【分析】先求出集合A和B，再根據(jù)集合的交集、并集和補集的定義即可直接計算判斷各選項.故ABD正確，C錯誤.故選：ABD【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【答案】②④【分析】直接求各函數(shù)的值域即可判定.【詳解】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知①的值域為R；綜上可知：②④正確.故答案為：②④【考點8：復(fù)雜函數(shù)（根式型、分式型函數(shù)）的值域】【答案】D故選：D【答案】D【分析】利用分離常數(shù)法求解.故選：D.【答案】BD故選：BD．【考點9：函數(shù)解析式的求法】【答案】D故選：D.【答案】D故選：D.4．（2425高一上·全國·周測）求下列函數(shù)的解析式：【分析】（1）利用換元法進行求解；（2）利用待定系數(shù)法求解.5．（2425高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的解析式．【分析】（1）利用代入法求解析式即可；（2）解法一利用配湊法，解法二利用換元法求解析式；（3）利用方程組法求解即可.（2）解法一（配湊法）：解法二（換元法）：【考點10：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)】1．（2425高二下·吉林·期末）下列哪組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)（

）【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)相等的定義逐項判斷即可.A選項中的兩個函數(shù)定義域不相同，故A選項中的兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；B選項中的兩個函數(shù)的定義域不相同，故B選項中的兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；故C選項中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)；D選項中兩個函數(shù)的定義域不相同，故D選項中的兩個函數(shù)不是同一函數(shù).故選：C.2．（2425高一上·天津·期中）下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（

）【答案】C【分析】函數(shù)相等的充要條件是對應(yīng)法則、定義域相同，由此逐一判斷各個選項即可得解.故選：C.3．（2425高一下·河北保定·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）【答案】B【分析】利用同一函數(shù)的定義，逐項分析判斷.故選：B4．（2425高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項中是同一個函數(shù)的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則逐項判斷后可得正確的選項.故兩者不是同一函數(shù)；故C正確；故兩者不是同一函數(shù)；故選：C.5．（2425高一下·