考研結(jié)構(gòu)力學(xué)重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)匯編一、引言結(jié)構(gòu)力學(xué)是土木工程、力學(xué)等專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，也是考研的重點(diǎn)科目（通常占比20%-30%）。其內(nèi)容涵蓋幾何組成分析（基礎(chǔ)）、靜定結(jié)構(gòu)分析（核心）、位移計(jì)算（超靜定基礎(chǔ)）、超靜定結(jié)構(gòu)分析（重點(diǎn)難點(diǎn)）、影響線（活荷載分析）及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（拓展考點(diǎn)）六大板塊，邏輯嚴(yán)密、實(shí)用性強(qiáng)。本文旨在梳理核心知識(shí)點(diǎn)，提煉解題技巧，助力考生系統(tǒng)復(fù)習(xí)。二、幾何組成分析（基礎(chǔ)）（一）基本概念1.剛片：幾何不變的物體（如梁、柱、剛體）。2.約束：限制剛片運(yùn)動(dòng)的裝置，常見約束及自由度減少量：鏈桿（二元桿）：減少1個(gè)自由度（1約束）；鉸（連接兩剛片）：減少2個(gè)自由度（2約束）；剛性連接（剛節(jié)點(diǎn)）：減少3個(gè)自由度（3約束）。3.自由度：結(jié)構(gòu)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)目，平面體系自由度公式：\[W=3n-2h-r\]其中，\(n\)為剛片數(shù)，\(h\)為單鉸數(shù)（復(fù)鉸折算為\(m-1\)個(gè)單鉸，\(m\)為匯交剛片數(shù)），\(r\)為支座約束數(shù)（固定端\(r=3\)，鉸支\(r=2\)，滾動(dòng)\(r=1\)）。（二）基本規(guī)則（幾何不變體系的判定）1.二元體規(guī)則：增加/去掉二元體（兩鏈桿連一新節(jié)點(diǎn)），結(jié)構(gòu)幾何組成性質(zhì)不變。2.兩剛片規(guī)則：兩剛片通過三根不共點(diǎn)、不平行的鏈桿，或一鉸+一根不通過該鉸的鏈桿連接，幾何不變且無多余約束。3.三剛片規(guī)則：三剛片通過三個(gè)不共線的鉸兩兩連接，幾何不變且無多余約束。（三）分析步驟1.計(jì)算自由度\(W\)（\(W\leq0\)才可能幾何不變）；2.用二元體規(guī)則簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)；3.應(yīng)用兩剛片/三剛片規(guī)則判斷剩余部分；4.確定多余約束數(shù)（幾何不變體系中，約束數(shù)-必要約束數(shù)=多余約束數(shù)）。三、靜定結(jié)構(gòu)分析（核心基礎(chǔ)）（一）梁的內(nèi)力圖（剪力\(V\)、彎矩\(M\)）1.微分關(guān)系（關(guān)鍵規(guī)律）：\(\frac{dV}{dx}=-q\)（剪力圖斜率=荷載集度負(fù)值）；\(\frac{dM}{dx}=V\)（彎矩圖斜率=剪力值）；\(\frac{d^2M}{dx^2}=-q\)（彎矩圖凸向=荷載方向）。2.突變規(guī)律：集中力\(F\)處：\(V\)圖突變（值=\(F\)），\(M\)圖轉(zhuǎn)折；集中力偶\(M_0\)處：\(M\)圖突變（值=\(M_0\)），\(V\)圖無變化。3.繪制步驟：求支座反力→按荷載變化點(diǎn)分段→用微分關(guān)系/直接計(jì)算端點(diǎn)內(nèi)力→繪制內(nèi)力圖（\(M\)圖畫在受拉側(cè)）。（二）桁架的內(nèi)力圖（軸力\(N\)）1.節(jié)點(diǎn)法：取節(jié)點(diǎn)為隔離體（匯交力系，\(\sumX=0\)、\(\sumY=0\)），適用于求所有桿件軸力。零桿判斷：無荷載的兩桿節(jié)點(diǎn)，兩桿軸力均為零；無荷載的三桿節(jié)點(diǎn)，兩桿共線則第三桿軸力為零（簡(jiǎn)化計(jì)算）。2.截面法：截?cái)?根桿件（一般力系，\(\sumX=0\)、\(\sumY=0\)、\(\sumM=0\)），適用于求指定桿件軸力。3.聯(lián)合法：節(jié)點(diǎn)法+截面法（如先截后節(jié)點(diǎn)）。（三）剛架的內(nèi)力圖（軸力\(N\)、剪力\(V\)、彎矩\(M\)）1.特點(diǎn)：剛節(jié)點(diǎn)處彎矩平衡（兩側(cè)彎矩大小相等、方向相反）；\(M\)圖必須畫在受拉側(cè)。2.繪制步驟：求支座反力→按剛節(jié)點(diǎn)/荷載變化點(diǎn)分段→計(jì)算端點(diǎn)內(nèi)力（\(N\)：沿桿軸合力；\(V\)：垂直桿軸合力；\(M\)：桿端力矩）→繪制內(nèi)力圖（\(M\)圖受拉側(cè)，\(V\)、\(N\)圖標(biāo)注正負(fù)）。（四）拱的內(nèi)力圖（軸力\(N\)、剪力\(V\)、彎矩\(M\)）1.合理拱軸：給定荷載下\(M=0\)的軸線（僅受軸力，抗壓性能好），如均布荷載下為拋物線（\(y=\frac{4f}{l^2}x(l-x)\)，\(f\)為拱高，\(l\)為跨度）。2.三鉸拱反力：豎向反力：與簡(jiǎn)支梁相同（\(V_A=V_A^0\)、\(V_B=V_B^0\)）；水平推力：\(H=\frac{M_C^0}{f}\)（\(M_C^0\)為簡(jiǎn)支梁拱頂彎矩）。3.內(nèi)力計(jì)算：\(M=M^0-Hy\)（\(M^0\)為簡(jiǎn)支梁彎矩，\(y\)為拱軸縱坐標(biāo)）；\(V=V^0\cos\theta-H\sin\theta\)（\(\theta\)為拱軸切線角）；\(N=-V^0\sin\theta-H\cos\theta\)（軸力為壓力，負(fù)號(hào)表示受壓）。四、位移計(jì)算（超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)）（一）單位荷載法（核心方法）1.原理：虛功原理（外力虛功=內(nèi)力虛功），用于計(jì)算任意位移（線位移、角位移）。2.步驟：建立虛體系（去掉對(duì)應(yīng)約束，施加單位虛荷載，如求豎向位移加單位豎向力）；計(jì)算虛荷載內(nèi)力（\(\deltaN\)、\(\deltaV\)、\(\deltaM\)）；計(jì)算實(shí)際荷載內(nèi)力（\(N\)、\(V\)、\(M\)）；代入虛功方程：\[\Delta=\sum\int\frac{N\deltaN}{EA}dx+\sum\int\frac{V\deltaV}{GA}dx+\sum\int\frac{M\deltaM}{EI}dx\]3.簡(jiǎn)化情況：梁/剛架：忽略剪力、軸力，\(\Delta\approx\sum\int\frac{M\deltaM}{EI}dx\)；桁架：僅軸力，\(\Delta=\sum\frac{N\deltaN}{EA}l\)（\(l\)為桿長(zhǎng)）；拱：考慮彎矩、軸力，\(\Delta\approx\sum\int\frac{M\deltaM}{EI}dx+\sum\int\frac{N\deltaN}{EA}dx\)。（二）圖乘法（簡(jiǎn)化積分的技巧）1.應(yīng)用條件：直桿、\(EI\)常數(shù)、\(M\)圖/單位荷載圖其一為直線。2.公式：\[\int\frac{M\deltaM}{EI}dx=\frac{1}{EI}A\cdoty_0\]其中，\(A\)為曲線\(M\)圖面積，\(y_0\)為\(A\)形心對(duì)應(yīng)直線\(\deltaM\)圖的縱坐標(biāo)（受拉側(cè)一致為正）。3.常見圖形參數(shù)：矩形：面積\(A=bh\)，形心在中點(diǎn)；三角形：面積\(A=\frac{1}{2}bh\)，形心在距底邊\(\frac{1}{3}h\)處；拋物線（頂點(diǎn)在端點(diǎn)）：面積\(A=\frac{1}{3}bh\)，形心在距端點(diǎn)\(\frac{2}{3}h\)處。五、超靜定結(jié)構(gòu)分析（重點(diǎn)難點(diǎn)）（一）力法（位移協(xié)調(diào)法）1.核心思想：將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定基本體系，利用位移協(xié)調(diào)條件建立力法方程，求解多余未知力。2.力法方程（\(n\)次超靜定）：\[\begin{cases}\delta_{11}X_1+\delta_{12}X_2+\cdots+\delta_{1n}X_n+\Delta_{1P}=0\\\delta_{21}X_1+\delta_{22}X_2+\cdots+\delta_{2n}X_n+\Delta_{2P}=0\\\vdots\\\delta_{n1}X_1+\delta_{n2}X_2+\cdots+\delta_{nn}X_n+\Delta_{nP}=0\\\end{cases}\]其中，\(\delta_{ij}\)為\(X_j=1\)作用下\(X_i\)處的位移（系數(shù)，\(\delta_{ij}=\delta_{ji}\)），\(\Delta_{iP}\)為實(shí)際荷載作用下\(X_i\)處的位移（自由項(xiàng)）。3.計(jì)算系數(shù)/自由項(xiàng)：用圖乘法（\(\delta_{ij}=\frac{1}{EI}A_iy_{j0}\)、\(\Delta_{iP}=\frac{1}{EI}A_Py_{i0}\)）。4.步驟：選擇基本體系→建立力法方程→計(jì)算系數(shù)/自由項(xiàng)→求解多余未知力→繪制內(nèi)力圖（疊加法：\(M=M_1X_1+M_2X_2+\cdots+M_P\)）。（二）位移法（平衡條件法）1.基本未知量：角位移：剛節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（每個(gè)剛節(jié)點(diǎn)1個(gè)）；線位移：獨(dú)立節(jié)點(diǎn)線位移（如剛架側(cè)移，需滿足變形協(xié)調(diào)）。2.轉(zhuǎn)角位移方程（核心公式）：?jiǎn)慰缌憾藦澗赜蓛啥宿D(zhuǎn)角（\(\theta_A\)、\(\theta_B\)）、相對(duì)線位移（\(\Delta=\delta_B-\delta_A\)）和固端彎矩（\(M_F\)）引起：\[M_{AB}=4i\theta_A+2i\theta_B-6i\frac{\Delta}{l}+M_{F_{AB}}\]\[M_{BA}=2i\theta_A+4i\theta_B-6i\frac{\Delta}{l}+M_{F_{BA}}\]其中，\(i=\frac{EI}{l}\)為線剛度，\(M_{AB}\)為\(A\)端對(duì)\(B\)端的彎矩（順時(shí)針為正），\(M_F\)為荷載作用下的固端彎矩（如兩端固定梁均布荷載\(M_F=-\frac{ql^2}{12}\)）。3.步驟：確定基本未知量→計(jì)算固端彎矩→用轉(zhuǎn)角位移方程寫桿端彎矩→建立平衡方程（剛節(jié)點(diǎn)\(\sumM=0\)、線位移\(\sumV=0\)）→解方程得未知量→計(jì)算桿端彎矩→繪制內(nèi)力圖。（三）力矩分配法（無側(cè)移剛架的漸近解法）1.適用范圍：無側(cè)移剛架（連續(xù)梁、多跨剛架）。2.基本概念：轉(zhuǎn)動(dòng)剛度（\(S\)）：遠(yuǎn)端固定時(shí)，近端單位轉(zhuǎn)角所需彎矩（兩端固定梁\(S=4i\)、鉸支梁\(S=3i\)、滾動(dòng)梁\(S=i\)）；分配系數(shù)（\(\mu\)）：某桿轉(zhuǎn)動(dòng)剛度占節(jié)點(diǎn)總轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的比例（\(\mu_{ij}=\frac{S_{ij}}{\sumS_{ik}}\)，\(\sum\mu=1\)）；傳遞系數(shù)（\(C\)）：分配彎矩傳遞到遠(yuǎn)端的比例（固定端\(C=0.5\)、鉸支端\(C=0\)）；固端彎矩（\(M_F\)）：節(jié)點(diǎn)固定時(shí)的桿端彎矩（符號(hào)：使近端受拉為正）。3.步驟：計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)剛度/分配系數(shù)→計(jì)算固端彎矩→固定節(jié)點(diǎn)（計(jì)算不平衡彎矩\(M_U=\sumM_F\)）→分配彎矩（\(M_D=-\muM_U\)）→傳遞彎矩（\(M_T=CM_D\)）→放松節(jié)點(diǎn)→重復(fù)分配/傳遞至收斂→疊加得最終彎矩→繪制內(nèi)力圖。六、影響線（活荷載作用下的內(nèi)力分析）（一）基本概念影響線：?jiǎn)挝灰苿?dòng)荷載（\(P=1\)）作用下，結(jié)構(gòu)某截面內(nèi)力/位移隨荷載位置變化的曲線（橫坐標(biāo)為荷載位置，縱坐標(biāo)為內(nèi)力值）。（二）靜定結(jié)構(gòu)影響線1.機(jī)動(dòng)法（快速判斷形狀）：去掉對(duì)應(yīng)約束，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沿內(nèi)力方向的位移，位移圖即為影響線形狀（正號(hào)區(qū)域=位移與荷載方向一致）。2.靜力法（精確計(jì)算數(shù)值）：將\(P=1\)放在任意位置\(x\)，建立內(nèi)力表達(dá)式（如梁截面彎矩\(M(x)\)），繪制曲線。（三）超靜定結(jié)構(gòu)影響線1.原理：用力法將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定基本體系，建立力法方程，求解多余未知力隨荷載位置的變化，進(jìn)而得到內(nèi)力影響線。2.步驟（一次超靜定梁）：選擇基本體系→建立力法方程（\(\delta_{11}X_1+\Delta_{1P}=0\)）→計(jì)算\(\delta_{11}\)、\(\Delta_{1P}\)（圖乘法）→解\(X_1=-\frac{\Delta_{1P}}{\delta_{11}}\)→建立內(nèi)力表達(dá)式（\(M=M_P+M_1X_1\)）→繪制影響線。七、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)（重點(diǎn)考點(diǎn)）（一）單自由度體系自由振動(dòng)1.無阻尼自由振動(dòng)：運(yùn)動(dòng)方程：\(m\ddot{u}+ku=0\)；解：\(u=A\sin(\omegat+\phi)\)（\(A\)為振幅，\(\phi\)為相位角）；自振頻率：\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{g}{\Delta_{st}}}\)（\(\Delta_{st}\)為靜位移）；自振周期：\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。2.有阻尼自由振動(dòng)：運(yùn)動(dòng)方程：\(m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=0\)；阻尼比：\(\xi=\frac{c}{c_c}\)（\(c_c=2\sqrt{mk}\)為臨界阻尼）；欠阻尼（\(\xi<1\)）解：\(u=e^{-\xi\omegat}(A\sin\omega_dt+B\cos\omega_dt)\)（\(\omega_d=\omega\sqrt{1-\xi^2}\)為阻尼自振頻率）。（二）單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)1.簡(jiǎn)諧荷載作用（\(F(t)=F_0\sin\thetat\)）：運(yùn)動(dòng)方程：\(m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=F_0\sin\thetat\)；解：\(u=u_{st}\beta\sin(\thetat-\phi)\)（\(u_{st}=\frac{F_0}{k}\)為靜位移，\(\beta\)為動(dòng)放大系數(shù)，\(\phi\)為相位差）；動(dòng)放大系數(shù)：\(\beta=\frac{1}{\sqrt{(1-\lambda^2)^2+(2\xi\lambda)^2}}\)（\(\lambda=\frac{\theta}{\omega}\)為頻率比）；共振：\(\lambda=1\)時(shí)，\(\beta=\frac{1}{2\xi}\)（阻尼越小，共振峰值越大）。（三）多自由度體系自由振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程：\(M\ddot{u}+Ku=0\)（\(M\)為質(zhì)量矩陣，\(K\)為剛度矩陣）；2.頻率方程：\(\det(K-\omega^2M)=0\)（解為\(n\)個(gè)自振頻率\(\omega_1<\omega_2<\cdots<\omega_n\)）；3.主振型正交性：