北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)比例知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、比例的基本概念1.比例的定義表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。形式上，若\(a:b=c:d\)（或\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，\(b,d\neq0\)），則稱\(a,b,c,d\)成比例。項(xiàng)：比例中的四個(gè)數(shù)\(a,b,c,d\)稱為比例的項(xiàng)，其中\(zhòng)(a\)和\(d\)是外項(xiàng)，\(b\)和\(c\)是內(nèi)項(xiàng)。比例中項(xiàng)：若比例中兩內(nèi)項(xiàng)相等（即\(b=c\)），則\(a:b=b:d\)，此時(shí)\(b\)稱為\(a\)和\(d\)的比例中項(xiàng)，滿足\(b^2=ad\)（\(a,d\)同號(hào)）。2.比例的意義比例反映了兩個(gè)比的等價(jià)關(guān)系，本質(zhì)是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。例如，\(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\)表示“2是3的\(\frac{2}{3}\)，4是6的\(\frac{2}{3}\)”，二者的倍數(shù)關(guān)系一致。二、比例的基本性質(zhì)1.核心性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積）若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)（\(b,d\neq0\)），則\(ad=bc\)。反之，若\(ad=bc\)（\(b,d\neq0\)），則\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)。示例：若\(\frac{x}{5}=\frac{3}{4}\)，則\(4x=15\)，解得\(x=\frac{15}{4}\)。2.比例的變形定理（拓展性質(zhì)）通過基本性質(zhì)可推導(dǎo)以下常用變形（\(b,d\neq0\)）：合比定理：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，則\(\frac{a+b}=\frac{c+d}z3jilz61osys\)；分比定理：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)，則\(\frac{a-b}=\frac{c-d}z3jilz61osys\)；合分比定理：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\)（\(a\neqb,c\neqd\)），則\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)；等比定理：若\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys=\cdots=\frac{m}{n}\)（\(b+d+\cdots+n\neq0\)），則\(\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}\)。注：等比定理需滿足分母之和不為0，否則不能直接應(yīng)用。三、比例在幾何中的應(yīng)用——相似圖形1.相似多邊形的定義對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比（記為\(k\)）。示例：若四邊形\(ABCD\sim\)四邊形\(A'B'C'D'\)，則\(\angleA=\angleA'\)，\(\angleB=\angleB'\)，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=k\)。2.相似三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）對(duì)應(yīng)邊成比例：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，則\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)；對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線成比例：對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比均等于相似比\(k\)；面積比：面積比等于相似比的平方（\(k^2\)）。示例：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比\(k=\frac{2}{3}\)，則\(\triangleABC\)與\(\triangleDEF\)的面積比為\(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)。四、比例在實(shí)際問題中的應(yīng)用1.比例尺比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比，公式為：\[\text{比例尺}=\frac{\text{圖上距離}}{\text{實(shí)際距離}}\]注：計(jì)算時(shí)需統(tǒng)一單位（如1厘米對(duì)應(yīng)1千米，需轉(zhuǎn)換為1厘米:____厘米）。示例：圖上距離為5厘米，實(shí)際距離為2千米（____厘米），則比例尺為\(\frac{5}{____}=\frac{1}{____}\)（即1:____）。2.比例分配問題將一個(gè)總量按一定比例分成若干部分，步驟如下：計(jì)算總份數(shù)：比例各部分之和（如比例為\(a:b:c\)，總份數(shù)為\(a+b+c\)）；計(jì)算每部分占總量的比例（如第一部分占\(\frac{a}{a+b+c}\)）；計(jì)算每部分的實(shí)際量（總量×對(duì)應(yīng)比例）。示例：將120元按3:5分配，總份數(shù)為8，第一部分為\(120\times\frac{3}{8}=45\)元，第二部分為\(120\times\frac{5}{8}=75\)元。3.增長(zhǎng)率問題增長(zhǎng)率是增長(zhǎng)的量與初始量的比，公式為：\[\text{增長(zhǎng)率}=\frac{\text{增長(zhǎng)后的量}-\text{初始量}}{\text{初始量}}\times100\%\]若初始量為\(a\)，年增長(zhǎng)率為\(r\)，則\(n\)年后的量為：\[a(1+r)^n\]示例：某商品原價(jià)100元，每年增長(zhǎng)率為5%，則2年后的價(jià)格為\(100\times(1+5\%)^2=110.25\)元。4.濃度問題濃度是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比，公式為：\[\text{濃度}=\frac{\text{溶質(zhì)質(zhì)量}}{\text{溶液質(zhì)量}}\times100\%\]注：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；稀釋或濃縮前后，溶質(zhì)質(zhì)量不變（核心等量關(guān)系）。示例：將10克鹽溶于90克水，濃度為\(\frac{10}{10+90}\times100\%=10\%\)；若再加入10克水，溶質(zhì)仍為10克，溶液變?yōu)?10克，濃度變?yōu)閈(\frac{10}{110}\times100\%\approx9.1\%\)。五、比例問題的解題方法1.設(shè)\(k\)法（常用）若比例為\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys=k\)，則設(shè)\(a=bk\)，\(c=dk\)，代入所求表達(dá)式化簡(jiǎn)。示例：若\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{x+y}{y}\)。設(shè)\(x=2k\)，\(y=3k\)，則\(\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}\)（或直接用合比定理：\(\frac{x+y}{y}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}\)）。2.利用比例性質(zhì)轉(zhuǎn)化通過比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)積=外項(xiàng)積）或變形定理（合比、分比等），將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為已知比例的形式。示例：若\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)，求\(\frac{2a-b}\)。用分比定理：\(\frac{2a}-1=2\times\frac{3}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\)。3.相似圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決相似問題時(shí)，先確定對(duì)應(yīng)邊（通常由對(duì)應(yīng)角或圖形位置判斷），再計(jì)算相似比，最后應(yīng)用相似性質(zhì)（如面積比=相似比平方）。示例：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，\(AB=4\)，\(DE=6\)，則相似比\(k=\frac{AB}{DE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)，面積比為\(k^2=\frac{4}{9}\)。六、易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.分母不為0：比例中的分母（如\(b,d\)）不能為0，應(yīng)用比例性質(zhì)時(shí)需注意條件；2.等比定理的條件：分母之和不為0，否則需單獨(dú)驗(yàn)證；3.相似比的順序：相似比是“前一個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊比后一個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊”，如\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)的相似比是\(\frac{AB}{DE}\)，而非\(\frac{DE}{AB}\)；4.比例尺的單位：圖上距離與實(shí)際距離需統(tǒng)一單位（如厘米與千米），否則會(huì)出錯(cuò)。七、總結(jié)比例是七年級(jí)數(shù)學(xué)的核心概念之一，貫穿于代數(shù)（比例變形、實(shí)際問題）與幾何（相似圖形）中。掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)積=外項(xiàng)積）、變形定理（合比、等比）及應(yīng)用（相似、比例尺、濃度），是后續(xù)學(xué)習(xí)（如八年級(jí)相似三角形、九年級(jí)三角函數(shù)）的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)比例時(shí)，應(yīng)注重理解本質(zhì)（倍數(shù)關(guān)系）而非死記公式，通過設(shè)\(k\)法、比例轉(zhuǎn)化等方法，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知比例的形式，提高解題效率。附錄：常用比例公式匯總比例基本性質(zhì)：\(\frac{a}=\frac{c}z3jilz61osys\Leftrightarrowad=bc\)（\(b,d\ne