四年級(jí)數(shù)學(xué)競賽題庫與解析一、數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)是四年級(jí)數(shù)學(xué)競賽的核心板塊，重點(diǎn)考查整數(shù)運(yùn)算、簡便計(jì)算、數(shù)列規(guī)律、倍數(shù)因數(shù)及盈虧問題等內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)計(jì)算能力與邏輯推理的結(jié)合。（一）簡便計(jì)算核心方法：利用乘法分配律、結(jié)合律、交換律等運(yùn)算定律，將復(fù)雜算式轉(zhuǎn)化為簡單計(jì)算。例題1：計(jì)算\(99\times37+37\)解析：觀察式子，兩項(xiàng)均含公因數(shù)37，可提取公因數(shù)簡化計(jì)算：\[99\times37+37=(99+1)\times37=100\times37=3700\]此處用到乘法分配律逆應(yīng)用（\(a\timesc+b\timesc=(a+b)\timesc\)），通過湊整100降低計(jì)算難度。答案：3700例題2：計(jì)算\(125\times88\)解析：將88拆分為\(80+8\)，利用乘法分配律展開：\[125\times88=125\times(80+8)=125\times80+125\times8=____+1000=____\]或拆分為\(8\times11\)，利用\(125\times8=1000\)湊整：\[125\times88=125\times8\times11=1000\times11=____\]答案：____（二）等差數(shù)列核心公式：項(xiàng)數(shù)：\(\text{項(xiàng)數(shù)}=\frac{\text{末項(xiàng)}-\text{首項(xiàng)}}{\text{公差}}+1\)和：\(\text{和}=\frac{(\text{首項(xiàng)}+\text{末項(xiàng)})\times\text{項(xiàng)數(shù)}}{2}\)例題3：求\(1+3+5+\dots+19\)的和解析：這是首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為19、公差為2的等差數(shù)列。項(xiàng)數(shù)：\(\frac{19-1}{2}+1=10\)（項(xiàng)）和：\(\frac{(1+19)\times10}{2}=100\)答案：100（三）倍數(shù)與因數(shù)核心概念：最大公因數(shù)（GCD）：兩個(gè)數(shù)的公共因數(shù)中最大的一個(gè)；最小公倍數(shù)（LCM）：兩個(gè)數(shù)的公共倍數(shù)中最小的一個(gè)。例題4：求18和24的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)解析：用短除法分解質(zhì)因數(shù)：\(18=2\times3^2\)，\(24=2^3\times3\)最大公因數(shù)：取公共質(zhì)因數(shù)的最小指數(shù)，即\(2\times3=6\)；最小公倍數(shù)：取所有質(zhì)因數(shù)的最大指數(shù)，即\(2^3\times3^2=72\)。答案：最大公因數(shù)6，最小公倍數(shù)72（四）盈虧問題核心公式：\(\text{人數(shù)}=\frac{\text{盈}+\text{虧}}{\text{兩次分配差}}\)（適用于“一盈一虧”）；\(\text{人數(shù)}=\frac{\text{大盈}-\text{小盈}}{\text{兩次分配差}}\)（適用于“兩盈”）；\(\text{人數(shù)}=\frac{\text{大虧}-\text{小虧}}{\text{兩次分配差}}\)（適用于“兩虧”）。例題5：小朋友分蘋果，每人分5個(gè)多12個(gè)，每人分8個(gè)少3個(gè)，求小朋友人數(shù)及蘋果總數(shù)。解析：此為“一盈一虧”問題，代入公式：人數(shù)：\(\frac{12+3}{8-5}=5\)（人）；蘋果總數(shù)：\(5\times5+12=37\)（個(gè)）或\(5\times8-3=37\)（個(gè)）。答案：5個(gè)小朋友，37個(gè)蘋果二、圖形與幾何圖形與幾何板塊重點(diǎn)考查長方形、正方形的周長與面積計(jì)算，以及組合圖形的面積轉(zhuǎn)化（割補(bǔ)法），強(qiáng)調(diào)空間想象能力。（一）長方形與正方形的周長和面積核心公式：長方形：周長\(=2\times(\text{長}+\text{寬})\)，面積\(=\text{長}\times\text{寬}\)；正方形：周長\(=4\times\text{邊長}\)，面積\(=\text{邊長}\times\text{邊長}\)。例題6：一個(gè)長方形的長是15厘米，寬是10厘米，求其周長與面積。解析：周長：\(2\times(15+10)=50\)（厘米）；面積：\(15\times10=150\)（平方厘米）。答案：周長50厘米，面積150平方厘米例題7：一個(gè)正方形的邊長增加2厘米，面積增加24平方厘米，求原正方形邊長。解析：設(shè)原邊長為\(x\)厘米，邊長增加后為\(x+2\)厘米，面積差為：\[(x+2)^2-x^2=4x+4=24\]解得\(x=5\)厘米。答案：5厘米（二）組合圖形的面積核心方法：割補(bǔ)法（將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)成規(guī)則圖形，如長方形、正方形）。例題8：求下圖組合圖形的面積（單位：厘米）（圖描述：一個(gè)長方形長12厘米、寬8厘米，右上角剪去一個(gè)邊長為5厘米的正方形）解析：組合圖形面積\(=\text{長方形面積}-\text{正方形面積}\)：\[12\times8-5\times5=96-25=71\]（平方厘米）。答案：71平方厘米三、統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)與概率板塊重點(diǎn)考查平均數(shù)計(jì)算、條形統(tǒng)計(jì)圖解讀及可能性判斷，強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)處理能力。（一）平均數(shù)核心公式：\(\text{平均數(shù)}=\frac{\text{總數(shù)量}}{\text{總份數(shù)}}\)例題9：某班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?0人考90分，20人考80分，10人考70分，求平均分。解析：總分：\(10\times90+20\times80+10\times70=900+1600+700=3200\)（分）；平均分：\(3200\div40=80\)（分）。答案：80分（二）可能性核心概念：事件發(fā)生的可能性大小等于目標(biāo)事件數(shù)量與總事件數(shù)量的比值。例題10：盒子里有紅球4個(gè)、黃球3個(gè)、藍(lán)球2個(gè)，任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的可能性是多少？解析：總球數(shù)\(=4+3+2=9\)（個(gè)），紅球數(shù)量為4，故可能性為\(\frac{4}{9}\)。答案：\(\frac{4}{9}\)四、綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用板塊是競賽的難點(diǎn)，融合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查解決實(shí)際問題的能力，常見題型包括雞兔同籠、行程問題、植樹問題等。（一）雞兔同籠問題核心方法：假設(shè)法（假設(shè)全是雞或全是兔，通過腳數(shù)差調(diào)整）。例題11：雞兔共25只，腳有70只，求雞兔各多少只。解析：假設(shè)全是雞，腳數(shù)為\(25\times2=50\)（只），比實(shí)際少\(70-50=20\)（只）。每把一只兔看成雞，腳數(shù)少\(4-2=2\)（只），故兔的數(shù)量為\(20\div2=10\)（只），雞的數(shù)量為\(25-10=15\)（只）。驗(yàn)證：\(10\times4+15\times2=40+30=70\)（只），正確。答案：雞15只，兔10只（二）行程問題（相遇）核心公式：\(\text{相遇時(shí)間}=\frac{\text{總路程}}{\text{速度和}}\)例題12：甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走5千米，乙每小時(shí)走3千米，兩地相距24千米，幾小時(shí)后相遇？解析：速度和\(=5+3=8\)（千米/小時(shí)），相遇時(shí)間\(=24\div8=3\)（小時(shí)）。答案：3小時(shí)（三）植樹問題核心類型：兩端都種：\(\text{棵數(shù)}=\text{間隔數(shù)}+1\)；只種一端：\(\text{棵數(shù)}=\text{間隔數(shù)}\)；兩端都不種：\(\text{棵數(shù)}=\text{間隔數(shù)}-1\)。例題13：在一條長40米的小路兩旁種樹，每隔5米種一棵，兩端都種，求一共種多少棵樹。解析：一旁的間隔數(shù)\(=40\div5=8\)，棵數(shù)\(=8+1=9\)（棵），兩旁共\(9\times2=18\)（棵）。答案：18棵五、總結(jié)與建議四年級(jí)數(shù)學(xué)競賽的題目注重基礎(chǔ)與能力的結(jié)合，以下是幾點(diǎn)備考建議：1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握整數(shù)運(yùn)算、圖形公式、平均數(shù)計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，避免因基礎(chǔ)不牢丟分。2.掌握方法：針對(duì)簡便計(jì)算、雞兔同籠、盈虧問題等經(jīng)典題型，總結(jié)解題方法（如乘法分配律、假設(shè)法、公式法