數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用題專項(xiàng)訓(xùn)練一、引言不等式應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一，也是連接數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的重要橋梁。在中考中，這類題目通常占比10%-15%，主要考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，涉及“分配、利潤、方案設(shè)計、行程、濃度”等五大常見場景。解決這類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別不等關(guān)系（如“至少”“最多”“不超過”“不低于”），并通過建立不等式（組）求解。本文將系統(tǒng)梳理不等式應(yīng)用題的解題邏輯，結(jié)合典型例題與專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握解題技巧，提升實(shí)戰(zhàn)能力。二、解不等式應(yīng)用題的一般步驟解不等式應(yīng)用題的核心流程可概括為“設(shè)、找、列、解、驗(yàn)”五步：1.設(shè)變量：根據(jù)問題所求，設(shè)出合適的未知數(shù)（通常設(shè)為\(x\)、\(y\)等，注意變量的實(shí)際意義，如人數(shù)、數(shù)量為非負(fù)整數(shù)）；2.找不等關(guān)系：通讀題目，圈畫“至少（≥）”“最多（≤）”“不超過（≤）”“不低于（≥）”“多于（>）”“少于（<）”等關(guān)鍵詞，確定約束條件；3.列不等式（組）：根據(jù)不等關(guān)系，結(jié)合已知條件（如總量、單價、速度等），列出不等式或不等式組；4.解不等式（組）：通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟求解，注意不等式兩邊乘（除）負(fù)數(shù)時，不等號方向改變；5.驗(yàn)與答：檢驗(yàn)解集是否符合變量的實(shí)際意義（如人數(shù)不能為小數(shù)、銷售量不能為負(fù)），并寫出簡潔的答案。三、常見類型及專項(xiàng)訓(xùn)練（一）分配問題：資源分配中的“邊界條件”核心模型：分配某種資源（如書本、房間、物資）時，存在“剩余”或“不足”的情況，需通過不等式表示“未分配完”或“不夠分配”的狀態(tài)。例題：某學(xué)校為學(xué)生分配宿舍，若每間住4人，則剩余20人無房可??；若每間住6人，則有一間房住不滿（即該房間人數(shù)大于0且小于6）。求宿舍間數(shù)與學(xué)生人數(shù)的范圍。思路分析：設(shè)宿舍間數(shù)為\(x\)，則學(xué)生人數(shù)為\(4x+20\)（根據(jù)“每間住4人，剩余20人”）；當(dāng)每間住6人時，前\(x-1\)間住滿，最后一間住的人數(shù)為\(4x+20-6(x-1)=26-2x\)；根據(jù)“住不滿”的條件，列不等式：\(0<26-2x<6\)。解答過程：解不等式\(0<26-2x<6\)：左邊：\(26-2x>0\Rightarrowx<13\)；右邊：\(26-2x<6\Rightarrow2x>20\Rightarrowx>10\)；因此，\(10<x<13\)。由于\(x\)為整數(shù)，\(x=11\)或\(12\)：當(dāng)\(x=11\)時，學(xué)生人數(shù)\(=4×11+20=64\)；當(dāng)\(x=12\)時，學(xué)生人數(shù)\(=4×12+20=68\)。結(jié)論：宿舍間數(shù)為11或12間，學(xué)生人數(shù)為64或68人。易錯點(diǎn)提醒：忽略“最后一間房人數(shù)大于0”的條件，導(dǎo)致解集擴(kuò)大（如僅解\(26-2x<6\)，得到\(x>10\)，但未限制\(x<13\)）；變量\(x\)必須為整數(shù)（宿舍間數(shù)不能為小數(shù)）。專項(xiàng)訓(xùn)練1：某班同學(xué)去植樹，若每人種5棵，則剩余3棵；若每人種6棵，則有同學(xué)種不到6棵（即至少有一人種的棵數(shù)小于6）。求該班同學(xué)人數(shù)的范圍。（答案：\(4≤人數(shù)≤8\)，人數(shù)為整數(shù)）（二）利潤問題：成本與售價的“平衡術(shù)”核心模型：利潤=（售價-成本）×銷售量，通常涉及“售價變化影響銷售量”的關(guān)系（如售價上漲，銷售量減少；售價下降，銷售量增加），需通過不等式表示“利潤不低于某一值”或“成本不超過某一值”。例題：某商店銷售一種玩具，成本為每個10元，售價為每個15元時，每天可售出200個。若售價每上漲1元，銷售量減少10個，求售價定為多少時，每天的利潤不低于1200元。思路分析：設(shè)售價上漲\(x\)元，則售價為\(15+x\)元，銷售量為\(200-10x\)個（售價每漲1元，銷量減10個）；利潤=（售價-成本）×銷售量=\((15+x-10)(200-10x)=(5+x)(200-10x)\)；根據(jù)“利潤不低于1200元”，列不等式：\((5+x)(200-10x)≥1200\)。解答過程：化簡不等式：\((5+x)(200-10x)≥1200\)展開得：\(1000+200x-50x-10x2≥1200\)合并同類項(xiàng)：\(-10x2+150x-200≥0\)兩邊除以-10（注意不等號方向改變）：\(x2-15x+20≤0\)解二次方程\(x2-15x+20=0\)，得根為：\(x=\frac{15±\sqrt{225-80}}{2}=\frac{15±\sqrt{145}}{2}≈\frac{15±12.04}{2}\)即\(x_1≈1.48\)，\(x_2≈13.52\)。因此，不等式解集為\(1.48≤x≤13.52\)。由于\(x\)為整數(shù)，\(x=2\)到13。售價范圍：\(15+2=17\)元到\(15+13=28\)元。結(jié)論：售價定為17元到28元之間時，每天利潤不低于1200元。易錯點(diǎn)提醒：銷售量不能為負(fù)，需補(bǔ)充約束條件\(200-10x≥0\Rightarrowx≤20\)（本題中\(zhòng)(x≤13.52\)，已滿足）；二次不等式求解時，注意開口方向（本題開口向上，解集為兩根之間）。專項(xiàng)訓(xùn)練2：某服裝成本為每件20元，售價為30元時，每天可售出100件。若售價每下降1元，銷售量增加10件，求售價定為多少時，每天利潤不低于800元。（答案：26元到30元之間）（三）方案設(shè)計問題：多變量的“組合優(yōu)化”核心模型：涉及兩種或多種方案（如購買兩種設(shè)備、選擇兩種材料），需滿足多個約束條件（如總費(fèi)用不超過預(yù)算、數(shù)量不少于需求），求可行方案的數(shù)量。例題：某工廠要購買A、B兩種設(shè)備，A設(shè)備每臺10萬元，每天生產(chǎn)50件產(chǎn)品；B設(shè)備每臺8萬元，每天生產(chǎn)40件產(chǎn)品。工廠至少要生產(chǎn)400件產(chǎn)品，總費(fèi)用不超過80萬元，求有多少種購買方案（設(shè)備數(shù)量為非負(fù)整數(shù)）。思路分析：設(shè)購買A設(shè)備\(x\)臺，B設(shè)備\(y\)臺（\(x,y\)為非負(fù)整數(shù)）；約束條件1：生產(chǎn)總量≥400件，即\(50x+40y≥400\)（化簡為\(5x+4y≥40\)）；約束條件2：總費(fèi)用≤80萬元，即\(10x+8y≤80\)（化簡為\(5x+4y≤40\)）。解答過程：由約束條件1和2，得\(5x+4y=40\)（等式是不等式組的解）。求非負(fù)整數(shù)解：當(dāng)\(x=0\)時，\(4y=40\Rightarrowy=10\)；當(dāng)\(x=4\)時，\(20+4y=40\Rightarrowy=5\)；當(dāng)\(x=8\)時，\(40+4y=40\Rightarrowy=0\)。因此，可行方案為：1.\(x=0\)，\(y=10\)（購買10臺B設(shè)備）；2.\(x=4\)，\(y=5\)（購買4臺A設(shè)備、5臺B設(shè)備）；3.\(x=8\)，\(y=0\)（購買8臺A設(shè)備）。結(jié)論：共有3種購買方案。易錯點(diǎn)提醒：忽略變量為整數(shù)的條件，導(dǎo)致解為小數(shù)（如\(x=2\)時，\(y=(40-10)/4=7.5\)，不符合實(shí)際）；約束條件需同時滿足（本題中兩個不等式合并為等式，簡化了求解）。專項(xiàng)訓(xùn)練3：某學(xué)校購買電腦，A型每臺5000元，B型每臺4000元，至少買10臺，總費(fèi)用不超過____元，求有多少種購買方案。（答案：15種）（四）行程問題：時間與速度的“追趕游戲”核心模型：涉及“追及”或“相遇”問題，需通過不等式表示“某方先到達(dá)”或“在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)”。例題：甲、乙兩人從A地出發(fā)去B地，甲速度為每小時5千米，乙速度為每小時7千米。甲先走1小時，乙出發(fā)后，要求在甲到達(dá)B地前追上甲，B地距離A地21千米。求乙最晚出發(fā)時間。思路分析：甲到達(dá)B地的時間為\(21÷5=4.2\)小時；設(shè)乙晚出發(fā)\(t\)小時，則乙出發(fā)后追上甲的時間為\(\frac{5t}{7-5}=2.5t\)小時（追及時間=路程差÷速度差）；乙總共用的時間\(2.5t\)必須小于甲剩余的時間\(4.2-t\)（否則甲已到達(dá)B地），列不等式：\(2.5t<4.2-t\)。解答過程：解不等式\(2.5t<4.2-t\)：\(3.5t<4.2\Rightarrowt<1.2\)。結(jié)論：乙最晚晚出發(fā)1.2小時（即甲出發(fā)1.2小時后乙出發(fā)），才能在甲到達(dá)前追上。易錯點(diǎn)提醒：時間關(guān)系搞反（如誤將“乙用的時間”與“甲總時間”比較，而非“甲剩余時間”）；速度差的方向（追及問題中，速度快的一方減去速度慢的一方）。專項(xiàng)訓(xùn)練4：甲速度為每小時4千米，乙速度為每小時6千米，甲先走2小時，乙出發(fā)后要在甲到達(dá)B地前追上甲，B地距離A地30千米。求乙出發(fā)時，甲已走的最大距離。（答案：甲已走8千米）（五）濃度問題：溶質(zhì)與溶液的“比例約束”核心模型：濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶液質(zhì)量，涉及“混合兩種溶液”，需通過不等式表示“混合后濃度在某一范圍內(nèi)”。例題：有濃度為10%的鹽水200克，要混合成濃度為15%到20%之間的鹽水，需加入濃度為30%的鹽水多少克？思路分析：設(shè)加入\(x\)克30%的鹽水，混合后溶液質(zhì)量為\(200+x\)克；溶質(zhì)質(zhì)量=原溶質(zhì)+新增溶質(zhì)=\(200×10\%+30\%x=20+0.3x\)；混合后濃度=\(\frac{20+0.3x}{200+x}\)，需滿足\(15\%≤\frac{20+0.3x}{200+x}≤20\%\)。解答過程：解左邊不等式\(\frac{20+0.3x}{200+x}≥15\%\)：\(20+0.3x≥0.15(200+x)\)\(20+0.3x≥30+0.15x\)\(0.15x≥10\Rightarrowx≥\frac{10}{0.15}≈66.67\)。解右邊不等式\(\frac{20+0.3x}{200+x}≤20\%\)：\(20+0.3x≤0.2(200+x)\)\(20+0.3x≤40+0.2x\)\(0.1x≤20\Rightarrowx≤200\)。結(jié)論：需加入30%的鹽水67克到200克之間（取整數(shù)）。易錯點(diǎn)提醒：濃度公式記錯（誤將“溶質(zhì)質(zhì)量÷溶劑質(zhì)量”作為濃度）；混合后溶液質(zhì)量=原溶液質(zhì)量+新增溶液質(zhì)量（不能忽略新增的溶劑）。專項(xiàng)訓(xùn)練5：有濃度為20%的糖水100克，要混合成濃度為12%到18%之間的糖水，需加入濃度為5%的糖水多少克？（答案：16克到114克之間）四、易錯點(diǎn)總結(jié)1.變量實(shí)際意義：人數(shù)、數(shù)量、臺數(shù)等必須為非負(fù)整數(shù)，需檢驗(yàn)解集是否符合；2.不等關(guān)系方向：“不超過”對應(yīng)“≤”，“不低于”對應(yīng)“≥”，“多于”對應(yīng)“>”，“少于”對應(yīng)“<”，切勿搞反；3.公式記憶：利潤=（售價-成本）×銷售量、濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶液質(zhì)量、路程=速度×?xí)r間等公式需牢記；4.約束條件：需考慮所有限制（如銷售量不能為負(fù)、生產(chǎn)總量不能低于需求），避免遺漏。五、專項(xiàng)訓(xùn)練題及答案解析（一）分配問題題目：某班同學(xué)去劃船，若每條船坐4人，則剩余3人；若每條船坐5人，則有一條船坐不滿。求該班同學(xué)人數(shù)的范圍。答案：設(shè)船數(shù)為\(x\)，人數(shù)為\(4x+3\)，列不等式\(0<4x+3-5(x-1)<5\)，解得\(3<x<8\)，\(x\)為整數(shù)，故人數(shù)為15、19、23、27、31人（\(x=4\)到7）。（二）利潤問題題目：某文具成本5元，售價8元時每天售100件，售價每漲0.5元，銷量減5件。求售價定為多少時，利潤不低于200元。答案：設(shè)上漲\(x\)個0.5元，售價為\(8+0.5x\)，銷量為\(100-5x\)，利潤為\((3+0.5x)(100-5x)≥200\)，解得\(x=0\)到16，售價為8元到16元。（三）方案設(shè)計問題題目：某工廠用A、B機(jī)器生產(chǎn)零件，A每臺每天產(chǎn)10個，成本200元；B每臺每天產(chǎn)15個，成本300元。至少產(chǎn)100個，總費(fèi)用不超過2000元，求方案數(shù)。答案：設(shè)A\(x\)臺，B\(y\)臺，列不等式組\(2x+3y≥20\)、\(2x+3y≤20\)，得\(2x+3y=20\)，非負(fù)整數(shù)解為(10,0)、(7,2)、(4,4)、(1,6)，共4種。（四）行程問題題目：甲速度5千米/小時，乙速度7千米/小時，甲先走t小時，乙出發(fā)后要在甲到達(dá)21千米外的B地前追上甲，求t的最大值。答案：甲到達(dá)時間7小時，乙追及時間2.5t小時，列不等式\(2.5t<7-t\)，解得\(t