基礎(chǔ)橢圓知識專項練習題匯編前言橢圓是解析幾何中二次曲線的重要類型之一，也是高考數(shù)學的核心考點（占比約8%-10%）。其知識體系圍繞“定義—標準方程—幾何性質(zhì)—直線與橢圓位置關(guān)系”展開，強調(diào)數(shù)形結(jié)合與代數(shù)運算的結(jié)合。本練習題匯編聚焦基礎(chǔ)知識點，精選典型題型（概念理解、軌跡方程、方程求解、性質(zhì)應用、直線與橢圓關(guān)系），旨在幫助學習者鞏固核心概念、掌握解題方法、規(guī)避常見誤區(qū)。一、橢圓的定義及軌跡方程橢圓的第一定義是核心邏輯起點：平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數(shù)（常數(shù)大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡。兩定點稱為焦點，焦點間距離稱為焦距（\(2c\)），常數(shù)稱為長軸長（\(2a\)），滿足\(a>c>0\)。（一）概念理解題題目1（判斷對錯）：平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡一定是橢圓。（）解答：錯。思路分析：定長需滿足“大于兩定點間距離”（\(2a>2c\)），若定長等于兩定點距離，則軌跡為線段\(F_1F_2\)；若定長小于兩定點距離，則無軌跡。（二）軌跡方程題題目2（直接應用定義）：已知平面內(nèi)兩定點\(F_1(-3,0)\)，\(F_2(3,0)\)，動點\(P\)滿足\(|PF_1|+|PF_2|=8\)，求點\(P\)的軌跡方程。解答：由橢圓定義，軌跡為橢圓，焦點在\(x\)軸上。長軸長\(2a=8\)，故\(a=4\)；焦距\(2c=|F_1F_2|=6\)，故\(c=3\)；短半軸\(b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)。因此，軌跡方程為\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1\)。思路分析：1.確定焦點位置（\(x\)軸，因焦點在\(x\)軸上）；2.計算\(a,c\)的值；3.利用\(a^2=b^2+c^2\)求\(b\)；4.代入對應標準方程形式。題目3（定義的靈活應用）：已知點\(A(0,1)\)，\(B(0,-1)\)，動點\(M\)滿足\(|MA|+|MB|=4\)，求點\(M\)的軌跡方程。解答：焦點在\(y\)軸上（\(A,B\)在\(y\)軸），\(2a=4\)（\(a=2\)），\(2c=|AB|=2\)（\(c=1\)），故\(b=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)。軌跡方程為\(\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{x^2}{3}=1\)。思路分析：焦點位置由定點所在坐標軸決定，若定點在\(y\)軸，則標準方程為\(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。二、橢圓的標準方程橢圓的標準方程分兩種形式，核心是焦點位置的判斷：1.焦點在\(x\)軸上：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），焦點坐標\((\pmc,0)\)；2.焦點在\(y\)軸上：\(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），焦點坐標\((0,\pmc)\)；其中\(zhòng)(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。（一）已知焦點位置求方程題目4：橢圓焦點在\(x\)軸上，長半軸\(a=5\)，焦距\(2c=6\)，求橢圓標準方程。解答：\(c=3\)，\(b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25-9}=4\)，故方程為\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\)。思路分析：直接代入焦點在\(x\)軸的標準方程形式，計算\(b\)即可。題目5：橢圓焦點在\(y\)軸上，短半軸\(b=2\)，離心率\(e=\dfrac{1}{2}\)，求橢圓標準方程。解答：由\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\)，得\(c=\dfrac{a}{2}\)；又\(a^2=b^2+c^2\)，代入\(b=2\)得：\(a^2=4+\dfrac{a^2}{4}\)，解得\(a^2=\dfrac{16}{3}\)。故方程為\(\dfrac{y^2}{\dfrac{16}{3}}+\dfrac{x^2}{4}=1\)（或化為整數(shù)分母：\(\dfrac{3y^2}{16}+\dfrac{x^2}{4}=1\)）。思路分析：通過離心率建立\(a,c\)關(guān)系，結(jié)合\(a^2=b^2+c^2\)求解\(a\)，再代入焦點在\(y\)軸的標準方程。（二）未知焦點位置求方程題目6：橢圓過點\((2,0)\)和\((0,1)\)，求其標準方程。解答：設橢圓方程為\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1\)（\(m>0,n>0,m\neqn\)）。代入\((2,0)\)：\(\dfrac{4}{m}+0=1\)，得\(m=4\)；代入\((0,1)\)：\(0+\dfrac{1}{n}=1\)，得\(n=1\)。故方程為\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)（焦點在\(x\)軸，因\(m>n\)）。思路分析：未知焦點位置時，設一般形式\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1\)，通過代入點坐標求解\(m,n\)，再根據(jù)\(m,n\)大小判斷焦點位置。三、橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)圍繞頂點、焦點、離心率、準線展開，核心參數(shù)為\(a\)（長半軸）、\(b\)（短半軸）、\(c\)（半焦距），關(guān)系為\(a^2=b^2+c^2\)，離心率\(e=\dfrac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越大橢圓越扁）。（一）基本性質(zhì)應用題目7：求橢圓\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)的頂點坐標、焦點坐標、離心率。解答：焦點在\(x\)軸上，\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{25-9}=4\)；頂點坐標：長軸頂點\((\pm5,0)\)，短軸頂點\((0,\pm3)\)；焦點坐標：\((\pm4,0)\)；離心率：\(e=\dfrac{4}{5}\)。思路分析：先確定焦點位置，再根據(jù)\(a,b\)計算\(c\)，依次寫出頂點、焦點、離心率。題目8：橢圓\(\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{9}=1\)的準線方程是什么？（注：準線方程為\(y=\pm\dfrac{a^2}{c}\)，焦點在\(y\)軸時）解答：\(a=4\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)，故準線方程為\(y=\pm\dfrac{16}{\sqrt{7}}=\pm\dfrac{16\sqrt{7}}{7}\)。思路分析：準線方程與焦點位置相關(guān)，焦點在\(x\)軸時準線為\(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\)，焦點在\(y\)軸時為準線\(y=\pm\dfrac{a^2}{c}\)。（二）離心率計算題目9：橢圓的長軸長是短軸長的2倍，求其離心率。解答：設短軸長為\(2b\)，則長軸長\(2a=4b\)，故\(a=2b\)；\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4b^2-b^2}=\sqrt{3}b\)；離心率\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}b}{2b}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。思路分析：通過“長軸長是短軸長2倍”建立\(a,b\)關(guān)系，再計算\(c\)和離心率。題目10：橢圓過點\((\sqrt{3},\dfrac{1}{2})\)，且離心率\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，求橢圓標準方程（焦點在\(x\)軸）。解答：設方程為\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），由\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)得\(c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)，故\(b^2=a^2-c^2=a^2-\dfrac{3}{4}a^2=\dfrac{1}{4}a^2\)。代入點\((\sqrt{3},\dfrac{1}{2})\)：\(\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{(\dfrac{1}{2})^2}{\dfrac{1}{4}a^2}=1\)，化簡得\(\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}=1\)，故\(a^2=4\)，\(b^2=1\)。方程為\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)。思路分析：通過離心率建立\(a,b\)關(guān)系，減少未知數(shù)，再代入點坐標求解。四、直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系通過聯(lián)立方程判斷，核心是二次方程的判別式（\(\Delta\)）：1.\(\Delta>0\)：相交（有兩個不同交點）；2.\(\Delta=0\)：相切（有一個交點）；3.\(\Delta<0\)：相離（無交點）。常見題型：判斷位置關(guān)系、求弦長、求中點弦方程。（一）位置關(guān)系判斷題目11：判斷直線\(y=2x+1\)與橢圓\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)的位置關(guān)系。解答：聯(lián)立方程：將\(y=2x+1\)代入橢圓方程得：\(\dfrac{x^2}{4}+(2x+1)^2=1\)，化簡得：\(\dfrac{x^2}{4}+4x^2+4x+1=1\)，即\(\dfrac{17}{4}x^2+4x=0\)，乘以4得：\(17x^2+16x=0\)，計算判別式\(\Delta=16^2-0=256>0\)，故直線與橢圓相交。思路分析：聯(lián)立直線與橢圓方程，化為關(guān)于\(x\)（或\(y\)）的二次方程，計算判別式判斷。（二）弦長計算題目12：求直線\(y=x-1\)與橢圓\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)相交的弦長。解答：聯(lián)立方程：\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{(x-1)^2}{4}=1\)，通分（乘以36）得：\(4x^2+9(x^2-2x+1)=36\)，化簡得：\(13x^2-18x-27=0\)。設交點為\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則：\(x_1+x_2=\dfrac{18}{13}\)，\(x_1x_2=-\dfrac{27}{13}\)。弦長公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)（\(k\)為直線斜率），代入得：\(|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(\dfrac{18}{13})^2-4\times(-\dfrac{27}{13})}\)，計算根號內(nèi)部分：\(\dfrac{324}{169}+\dfrac{108}{13}=\dfrac{324+1404}{169}=\dfrac{1728}{169}\)，故\(|AB|=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{1728}}{13}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{12\sqrt{12}}{13}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{24\sqrt{3}}{13}=\dfrac{24\sqrt{6}}{13}\)。思路分析：1.聯(lián)立方程得二次方程；2.利用韋達定理求\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)；3.代入弦長公式（注意斜率\(k\)的取值）。（三）中點弦問題（點差法）題目13：橢圓\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)的弦\(AB\)中點為\(M(2,1)\)，求弦\(AB\)的方程。解答：設\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=4\)，\(y_1+y_2=2\)。因\(A,B\)在橢圓上，故：\(\dfrac{x_1^2}{16}+\dfrac{y_1^2}{4}=1\)，\(\dfrac{x_2^2}{16}+\dfrac{y_2^2}{4}=1\)。兩式相減得：\(\dfrac{(x_1^2-x_2^2)}{16}+\dfrac{(y_1^2-y_2^2)}{4}=0\)，因式分解：\(\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{16}+\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{4}=0\)，代入中點坐標：\(\dfrac{(x_1-x_2)\cdot4}{16}+\dfrac{(y_1-y_2)\cdot2}{4}=0\)，化簡得：\(\dfrac{x_1-x_2}{4}+\dfrac{y_1-y_2}{2}=0\)，故斜率\(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\dfrac{1}{2}\)。因此，弦\(AB\)的方程為\(y-1=-\dfrac{1}{2}(x-2)\)，即\(x+2y-4=0\)。思路分析：中點弦問題常用點差法（避免求交點），步驟為：1.設中點及兩端點坐標；2.代入橢圓方程并相減；3.因式分解后代入中點坐標，求斜率；4.用點斜式寫直線方程。五、易錯點總結(jié)與練習建議（一）常見易錯點1.焦點位置判斷錯誤：若橢圓方程為\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n