浙江省東陽市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編單元測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，畫一條線段AB=，使點A，B在小正方形的頂點上，設AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角為α，則不同角度的α有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2、我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為尺，將它向前水平推送尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設秋千的繩索長為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．3、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．154、如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．5、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤126、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形7、有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”（如圖1）；再分別以這兩個正方形的邊為斜邊，向外各自作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第二次“生長”（如圖2）……如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．1 B．2020 C．2021 D．2022第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，已知中，，，動點M滿足，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為_________．2、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．3、如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號）．4、學習完《勾股定理》后，尹老師要求數(shù)學興趣小組的同學測量學校旗桿的高度．同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面并多出了一段，但這條繩子的長度未知．如圖，經(jīng)測量，繩子多出的部分長度為1米，將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端4米，則旗桿的高度為______米．5、如圖，已知，那么數(shù)軸上點所表示的數(shù)是________．6、如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，將△ABC折疊，使點C與點A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為．7、把一根長12厘米的木棒，從一端起順次截下3厘米和5厘米的兩段，用得到的三根木棒首尾依次相接，擺成的三角形形狀是______．8、如圖，在的網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，的頂點、、都在格點上，點為邊的中點，則線段的長為________．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、在邊長為8的等邊ABC中，點D是邊AB上的一動點，點E在邊AC上，且CE=2AD，射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°交BC邊于F．（1）如圖1，求證：∠AED=∠BDF；（2）如圖2，在射線DF上取DP=DE，連接BP，①求∠DBP的度數(shù)；②取邊BC的中點M，當PM取最小值時，求AD的長.2、有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？3、如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，，且．(1)求證：．(2)若，，，求BE的長．4、如圖，中，，，是邊上一點，且，若．求的長．5、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ356、如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF．(1)求證：；(2)連接EF，取EF中點G，連接DG并延長交BC于H，連接BG．①依題意，補全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數(shù)量關系，請直接寫出結(jié)論．7、我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛．他趕緊拿出紅外線測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？-參考答案-一、單選題1、C【解析】【詳解】如圖，（1）當AB=時，AB與網(wǎng)格線相交所成的兩個銳角：∠=45°；（2）當AB=時，AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角∠有2個不同的角度；綜上所述，AB與網(wǎng)格線相交所成的銳角的不同角度有3個.故選C.2、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【考點】本題主要考查了勾股定理的應用，讀懂題意是解題的關鍵．3、D【解析】【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【考點】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理的應用并能得出平面展開圖是解題的關鍵．4、C【解析】【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點A、C之間的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=π，∴AC=，故選C．【考點】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是會將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．5、B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時筷子的位置，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點】本題考查了勾股定理的實際應用問題，解答此題的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度．6、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形定義即可．【詳解】解：A、∵∠A-∠B=∠C，∴∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項正確；B、如果a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此選項不正確；C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，設∠A=x，則∠B=3x，∠C=2x，則x+3x+2x=180°，解得：x=30°，則3x=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項正確；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，則a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，此選項正確；故選：B．【考點】本題考查了三角形內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．7、D【解析】【分析】根據(jù)題意可得每“生長”一次，面積和增加1，據(jù)此即可求得“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和．【詳解】解：如圖，由題意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，則“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得：“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2022，故選：D【考點】本題考查了勾股數(shù)規(guī)律問題，找到規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題1、##【解析】【分析】證明△AMC≌△BNC，可得，再根據(jù)三角形三邊關系得出當點N落在線段AB上時，最小，求出最小值即可．【詳解】解：∵線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵，，∴，∴△AMC≌△BNC，∴，∵∴的最小值為；故答案為：．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關鍵是證明三角形全等，得出，根據(jù)三角形三邊關系取得最小值．2、【解析】【分析】設，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【考點】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關鍵是利用翻折不變性解決問題，學會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．3、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．4、7.5；【解析】【分析】旗桿、拉直的繩子與地面構成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖，設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗桿的高度為7.5m，故答案為7.5．【考點】本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關鍵．5、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理得：OB=．即OA=．又點A在數(shù)軸的負半軸上，則點A對應的數(shù)是-．【詳解】解：由圖可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC=1，故，∵A在x的負半軸上，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是-．故答案為：-．【考點】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股富士蝗應用，熟練運用勾股定理，同時注意根據(jù)點的位置以確定數(shù)的符號．6、7【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得BC，再根據(jù)折疊性質(zhì)得到AE=CE，進而由三角形的周長=AB+BC求解即可．【詳解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周長=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．【考點】本題考查勾股定理、折疊性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答的關鍵．7、直角三角形【解析】【分析】首先計算出第三條鐵絲的長度，再利用勾股定理的逆定理可證明擺成的三角形是直角三角形．【詳解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴這三條鐵絲擺成的三角形是直角三角形，故答案為：直角三角形．【考點】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．8、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，則AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵點O為AB邊的中點，∴CO=AB=2.5，故答案為：2.5．【考點】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．三、解答題1、（1）見解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①方法一：連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，證明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，當時，PM取得最小值，得到PM=2，PB=2，過點G作GH⊥BP于點H，利用直角三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】解：（1）在等邊△ABC中，∵AB=AC，∠A=∠ABC=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=∠ADE+∠AED=120°，∴∠AED=∠BDF；（2）①方法一：如答題圖1，連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，∴∠AED=∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，∴可證：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），∴AD=GP=QE，∵CE=2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；方法二：如答題圖2，在DB上取DG=AE，∵∠AED=∠BDF又∵DP=DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），∴PG=AD，∠PGD＝60°，∵CE=AC-AE=AB-DG=AD+BG=2AD，∴BG=AD=PG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；②如答圖3，在DB上取DG=AE，由①可知∠MBP＝30°，AD=BG=PG；當時，PM取得最小值；在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM=4，∴PM=2，PB=2；過點G作GH⊥BP于點H，∵BG=PG，∴BH=；在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH=∴BG=2，∴AD=BG=2.【考點】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的綜合應用，準確計算是解題的關鍵．2、它至少需要5.2s才能趕回巢中．【解析】【分析】根據(jù)題意，構建直角三角形，利用勾股定理解答．【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．過A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，3、(1)見解析(2)6【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用證明即可；（2）根據(jù)勾股定理求解即可．(1)證明：∵．∴，∵，∴，又∵，∴(2)解：∵，，且，∴由勾股定理得，∴，∴【考點】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理解直角三角形，掌握以上知識是解題的關鍵．4、AC2=CE2+AE2=102+24∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．【考點】本題考查了勾股定理的應用．關鍵是構造直角三角形，同時注意：時間=路程÷速度．2．2【解析】【分析】過點作于點，則，，結(jié)合可得出，進而可得出，在中，利用勾股定理可求出的長，即，結(jié)合可求出的長．【詳解】解：過點作于點，如圖所示．，，，．，，．在中，∵，，即，，．又，，．【考點】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，在中，利用勾股定理求出的長是解題的關鍵．5、A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運算法則求出A，進而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當2n＝8時，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；當n2﹣1＝35時，n＝±6（負值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ15817勾股數(shù)組Ⅱ351237故答案為：15，17；12，37．【考點】本題考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．6、(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）證△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再證∠EDF＝90°，即可得出結(jié)論；（2）①依題意，補全圖形即可；②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DG＝EF，BG＝EF，即可得出結(jié)論；③先證△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再證DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后證△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾