人教版七年級數(shù)學(xué)下冊期末解答題綜合復(fù)習(xí)一、解答題1．如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一個長方形紙板的面積為162平方厘米，求正方形紙板的邊長．2．（1）若一圓的面積與這個正方形的面積都是，設(shè)圓的周長為，正方形的周長為，則______．（填“=”或“<”或“>”號）（2）如圖，若正方形的面積為，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請說明理由．3．如圖是一塊正方形紙片．（1）如圖1，若正方形紙片的面積為1dm2，則此正方形的對角線AC的長為dm．（2）若一圓的面積與這個正方形的面積都是2πcm2，設(shè)圓的周長為C圓，正方形的周長為C正，則C圓C正(填“＝”或“＜”或“＞”號)（3）如圖2，若正方形的面積為16cm2，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請說明理由？4．如圖，用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形．（1）則大正方形的邊長是___________；（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為？5．喜歡探究的亮亮同學(xué)拿出形狀分別是長方形和正方形的兩塊紙片，其中長方形紙片的長為，寬為，且兩塊紙片面積相等．（1）亮亮想知道正方形紙片的邊長，請你幫他求出正方形紙片的邊長；（結(jié)果保留根號）（2）在長方形紙片上截出兩個完整的正方形紙片，面積分別為和，亮亮認為兩個正方形紙片的面積之和小于長方形紙片的總面積，所以一定能截出符合要求的正方形紙片來，你同意亮亮的見解嗎？為什么？（參考數(shù)據(jù)：，）二、解答題6．如圖1，已知直線m∥n，AB是一個平面鏡，光線從直線m上的點O射出，在平面鏡AB上經(jīng)點P反射后，到達直線n上的點Q．我們稱OP為入射光線，PQ為反射光線，鏡面反射有如下性質(zhì)：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即∠OPA=∠QPB．（1）如圖1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度數(shù)；（3）如圖3，再放置3塊平面鏡，其中兩塊平面鏡在直線m和n上，另一塊在兩直線之間，四塊平面鏡構(gòu)成四邊形ABCD，光線從點O以適當?shù)慕嵌壬涑龊螅鋫鞑ヂ窂綖镺→P→Q→R→O→P→…試判斷∠OPQ和∠ORQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個直角三角形和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動，如圖，已知兩直線，且是直角三角形，，操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，請說明理由．（3）如圖3，若∠A=30°，平分，此時發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．8．綜合與實踐背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個公共點，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推理的基礎(chǔ)．已知：AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．問題解決：（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，則∠EBC＝．9．已知，．點在上，點在上．（1）如圖1中，、、的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）；如圖2中，、、的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，平分，平分，且，求的度數(shù)；（3）如圖4中，，平分，平分，且，則的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出么的度數(shù)．10．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數(shù)；（2）若在的內(nèi)部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過點作，分別交、于點、，繞著點旋轉(zhuǎn)，但與、始終有交點，問：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．三、解答題11．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關(guān)系．12．如圖1，，E是、之間的一點．（1）判定，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若、的兩條平分線交于點F．直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）將圖2中的射線沿翻折交于點G得圖3，若的余角等于的補角，求的大小．13．已知兩條直線l1，l2，l1∥l2，點A，B在直線l1上，點A在點B的左邊，點C，D在直線l2上，且滿足．（1）如圖①，求證：AD∥BC；（2）點M，N在線段CD上，點M在點N的左邊且滿足，且AN平分∠CAD；（Ⅰ）如圖②，當時，求∠DAM的度數(shù)；（Ⅱ）如圖③，當時，求∠ACD的度數(shù)．14．如圖，已知AM∥BN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．（1）①∠ABN的度數(shù)是；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠；（2）求∠CBD的度數(shù)；（3）當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律；（4）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是．15．如圖所示，已知，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分和，分別交射線AM于點C、D，且（1）求的度數(shù)．（2）當點P運動時，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律．（3）當點P運動到使時，求的度數(shù)．四、解答題16．己知:如圖①，直線直線，垂足為，點在射線上，點在射線上(、不與點重合)，點在射線上且，過點作直線.點在點的左邊且(1)直接寫出的面積;(2)如圖②，若，作的平分線交于，交于，試說明;(3)如圖③，若，點在射線上運動，的平分線交的延長線于點,在點運動過程中的值是否變化?若不變，求出其值;若變化，求出變化范圍.17．如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1．（1）當∠A為70°時，∵∠ACD-∠ABD=∠______∴∠ACD-∠ABD=______°∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=______°；（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得A4、…、An，請寫出∠A與∠An的數(shù)量關(guān)系______；（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=______．（4）如圖3，若E為BA延長線上一動點，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q-∠A1的值為定值．其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．18．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=°；（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由.（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：.19．如圖，△ABC和△ADE有公共頂點A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，則∠EAC＝；（2）如圖1，過AC上一點O作OG⊥AC，分別交AB、AD、AE于點G、H、F．①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求線段OF的長；②如圖2，∠AFO的平分線和∠AOF的平分線交于點M，∠FHD的平分線和∠OGB的平分線交于點N，∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若改變，請說明理由．20．如圖，直線，一副直角三角板中，．（1）若如圖1擺放，當平分時，證明：平分．（2）若如圖2擺放時，則（3）若圖2中固定，將沿著方向平移，邊與直線相交于點，作和的角平分線相交于點（如圖3），求的度數(shù)．（4）若圖2中的周長，現(xiàn)將固定，將沿著方向平移至點與重合，平移后的得到，點的對應(yīng)點分別是，請直接寫出四邊形的周長．（5）若圖2中固定，（如圖4）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間．【參考答案】一、解答題1．正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據(jù)正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設(shè)小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據(jù)題意得：，∴，取正值，可得，解析：正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據(jù)正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設(shè)小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據(jù)題意得：，∴，取正值，可得，∴答：正方形紙板的邊長是18厘米．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟悉正方形的面積公式．2．（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于解析：（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于的方程，解得的值，從而可得長方形的長和寬，將其與正方形的邊長比較，可得答案．【詳解】解：（1）圓的面積與正方形的面積都是，圓的半徑為，正方形的邊長為，，，，，．（2）不能裁出長和寬之比為的長方形，理由如下：設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得：，解得或（不合題意，舍去），長為，寬為，正方形的面積為，正方形的邊長為，，不能裁出長和寬之比為的長方形．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）＜；（3）不能；理由見解析．【分析】（1）由正方形面積，易求得正方形邊長，再由勾股定理求對角線長；（2）由圓面積公式，和正方形面積可求周長，比較兩數(shù)大小可以采用比商法；（3）采解析：（1）；（2）＜；（3）不能；理由見解析．【分析】（1）由正方形面積，易求得正方形邊長，再由勾股定理求對角線長；（2）由圓面積公式，和正方形面積可求周長，比較兩數(shù)大小可以采用比商法；（3）采用方程思想求出長方形的長邊，與正方形邊長比較大小即可.【詳解】解：（1）由已知AB2＝1，則AB＝1，由勾股定理，AC＝；故答案為：.（2）由圓面積公式，可得圓半徑為，周長為，正方形周長為4．；即C圓<C正；故答案為：＜（3）不能；由已知設(shè)長方形長和寬為3xcm和2xcm∴長方形面積為：2x?3x＝12解得x＝∴長方形長邊為3＞4∴他不能裁出．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根在正方形、圓、長方形面積中的應(yīng)用，靈活的進行算術(shù)平方根的計算與無理數(shù)大小比較是解題的關(guān)鍵.4．（1）；（2）不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形，理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知得到大正方形的面積為400，求出算術(shù)平方根即為大正方形的邊長；（2）設(shè)長方形紙片的長為，寬為，根據(jù)解析：（1）；（2）不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形，理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知得到大正方形的面積為400，求出算術(shù)平方根即為大正方形的邊長；（2）設(shè)長方形紙片的長為，寬為，根據(jù)面積列得，求出，得到，由此判斷不能裁出符合條件的大正方形.【詳解】（1）∵用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形，∴大正方形的面積為400，∴大正方形的邊長為故答案為：20cm；（2）設(shè)長方形紙片的長為，寬為，，解得：，，答：不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形.【點睛】此題考查利用算術(shù)平方根解決實際問題，利用平方根解方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.5．（1）；（2）不同意，理由見解析【分析】（1）設(shè)正方形邊長為，根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值；（2）根據(jù)兩個正方形紙片的面積計算出兩個正方形的邊長，計算兩個解析：（1）；（2）不同意，理由見解析【分析】（1）設(shè)正方形邊長為，根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值；（2）根據(jù)兩個正方形紙片的面積計算出兩個正方形的邊長，計算兩個正方形邊長的和，并與3比較即可解答．【詳解】解：（1）設(shè)正方形邊長為，則，由算術(shù)平方根的意義可知，所以正方形的邊長是．（2）不同意．因為：兩個小正方形的面積分別為和，則它們的邊長分別為和．，即兩個正方形邊長的和約為，所以，即兩個正方形邊長的和大于長方形的長，所以不能在長方形紙片上截出兩個完整的面積分別為和的正方形紙片．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意并熟知算術(shù)平方根的概念．二、解答題6．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根據(jù)∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度數(shù)；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為（1）來解解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根據(jù)∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度數(shù)；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為（1）來解決問題；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，從而∠OPQ=∠ORQ．【詳解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，（2）作PC∥m，∵m∥n，∴m∥PC∥n，∴∠AOP=∠OPC=43°，∠BQP=∠QPC=49°，∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，∴∠OPQ=∠ORQ．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和入射角等于反射角的規(guī)定，解決本題的關(guān)鍵是注意問題的設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設(shè)置目的．7．（1）42°；（2）見解析；（3）∠1=∠2，理由見解析【分析】（1）由平角定義求出∠3=42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過點B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2+∠ABD=180°解析：（1）42°；（2）見解析；（3）∠1=∠2，理由見解析【分析】（1）由平角定義求出∠3=42°，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）過點B作BD∥a．由平行線的性質(zhì)得∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC，則∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，進而得出結(jié)論；（3）過點C

作CP∥a，由角平分線定義得∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，由平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAM=60°，∠PCA=∠CAM=30°，∠2=∠BCP=60°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°；（2）理由如下：過點B作BD∥a．如圖2所示：則∠2+∠ABD=180°，∵a∥b，∴b∥BD，∴∠1=∠DBC，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，∴∠2+60°-∠1=180°，∴∠2-∠1=120°；（3）∠1=∠2，理由如下：過點C

作CP∥a，如圖3所示：∵AC平分∠BAM∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，∴∠PCA=∠CAM=30°，∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，又∵CP∥a，∴∠2=∠BCP=60°，∴∠1=∠2．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、平角的定義等知識；本題綜合性強，熟練掌握平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)解析：（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)AM與BC交于點O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案為：∠A＋∠C＝90°；（2）證明：如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案為：105°．【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，畫輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．9．（1）∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）過E作EHAB，易得EHABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)解析：（1）∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）120°（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．【分析】（1）過E作EHAB，易得EHABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FHAB，易得FHABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME＋∠END）＋∠BMF?∠FND＝180°，可求解∠BMF＝60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ＝∠BME，進而可求解．【詳解】解：（1）過E作EHAB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵ABCD，∴HECD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN?∠END．如圖2，過F作FHAB，∴∠BMF＝∠MFK，∵ABCD，∴FHCD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK?∠KFN＝∠BMF?∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN?∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF?∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF?∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF?∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQNP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN?∠NEQ＝（∠BME＋∠END）?∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據(jù)解析：（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據(jù)垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內(nèi)部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，應(yīng)用四邊形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可；【詳解】解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延長BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下圖所示：延長BA、DC使之相交于點E，延長MC與BA的延長線相交于點F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如圖所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．綜上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質(zhì)（兩直線平行內(nèi)錯角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，從而求得∠M的度數(shù)．12．（1），見解析；（2）；（3）60°【分析】（1）作EF//AB，如圖1，則EF//CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，解析：（1），見解析；（2）；（3）60°【分析】（1）作EF//AB，如圖1，則EF//CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF＝∠BAE，∠CDF＝∠CDE，則∠AFD＝（∠BAE＋∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD＝∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG＝4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD＝2∠AED－∠BAE，加上90°－∠AGD＝180°－2∠AED，從而可計算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】解：（1）理由如下：作，如圖1，，．，，；（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得，、的兩條平分線交于點F，，，，，；（3）由（1）的結(jié)論得，而射線沿翻折交于點G，，，，，．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．13．（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）（Ⅰ）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)角的和差可得解析：（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）（Ⅰ）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)即可得；（Ⅱ）設(shè)，從而可得，先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)建立方程可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】（1），，又，，；（2）（Ⅰ），，，，由（1）已得：，，；（Ⅱ）設(shè)，則，平分，，，，，由（1）已得：，，即，解得，，又，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角的和差、角平分線的定義、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（1）①②；（2）；（3）不變，，理由見解析；（4）【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可直接寫出；（2）由角平分線的解析：（1）①②；（2）；（3）不變，，理由見解析；（4）【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可直接寫出；（2）由角平分線的定義可以證明∠CBD＝∠ABN，即可求出結(jié)果；（3）不變，∠APB：∠ADB＝2：1，證∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出結(jié)論；（4）可先證明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，則可求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案為：116°；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案為：CBN；（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不變，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，當∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°，故答案為：29°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能熟練運用平行線的性質(zhì)并能靈活運用角平分線的定義等．15．（1）；（2）不變化，，理由見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線性質(zhì)，得，即可完成求解解析：（1）；（2）不變化，，理由見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，；結(jié)合角平分線性質(zhì)，得，即可完成求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得；結(jié)合，推導(dǎo)得；再結(jié)合（1）的結(jié)論計算，即可得到答案．【詳解】（1）∵BC，BD分別評分和，∴，∴又∵，∴∵，∴∴；（2）∵，∴，又∵BD平分∴，∴；∴與之間的數(shù)量關(guān)系保持不變；（3）∵，∴又∵，∴，∵∴由（1）可得，∴．【點睛】本題考查了角平分線、平行線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、平行線的性質(zhì)，從而完成求解．四、解答題16．(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因為△BCD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠解析：(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因為△BCD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．詳解：（1）S△BCD=CD?OC=×3×2=3．（2）如圖②，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直線MN⊥直線PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分線，∴∠CBF=∠OBE．∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．（3）如圖③，∵直線l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC∴∠CAP=2∠DAC．∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC．∵∠H+∠HCA=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA∵CH是，∠ACB的平分線，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴=．點睛：本題主要考查垂線，角平分線和三角形面積，解題的關(guān)鍵是找準相等的角求解．17．（1）∠A；70°；35°；（2）∠A=2n∠An（3）25°（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD解析：（1）∠A；70°；35°；（2）∠A=2n∠An（3）25°（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確，Q+∠A1=180°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出規(guī)律；（3）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，從而得出結(jié)論；（4）依然要用三角形的外角性質(zhì)求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的關(guān)系．【詳解】解：（1）當∠A為70°時，∵∠ACD-∠ABD=∠A，∴∠ACD-∠ABD=70°，∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線，∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）∴∠A1=35°；故答案為：A，70，35；（2）∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠A1=80°，∴∠A1=40°，同理可得∠A1=2∠A2，即∠BAC=22∠A2=80°，∴∠A2=20°，∴∠A=2n∠An，故答案為：∠A=2∠An．（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，∴360°-（α+β）=180°-2∠F，2∠F=∠A+∠D-180°，∴∠F=（∠A+∠D）-90°，∵∠A+∠D=230°，∴∠F=25°；故答案為：25°．（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確．∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠BAC，∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-∠BAC，∴∠Q+∠A1=180°．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義的運用，根據(jù)推導(dǎo)過程對題目的結(jié)果進行規(guī)律總結(jié)對解題比較重要．18．（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義，得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義，得出∠1+∠2=∠C+∠α，進而得出即可；（2）利用（1）中所求的結(jié)論得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系即可；（3）利用三角外角的性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補角的性質(zhì)可得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．試題分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案為140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案為∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如圖③，設(shè)DP與BE的交點為M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如圖④，設(shè)PE與AC的交點為F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.19．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）①利用三角形的面積求出GH，HF，再證明AO=OG=2，可得結(jié)論．②利用角平分線的定解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）①利用三角形的面積求出GH，HF，再證明AO=OG=2，可得結(jié)論．②利用角平分線的定義求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，∵AB∥ED∴∠E=∠EAB=90°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠BAC=45°，∴∠CAE=90°-45°=45°．故答案為：45°．（2）①如圖1中，∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°，∵∠OAG=45°，∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，∵S△AHG=?GH?AO=4，S△AHF=?FH?AO=1，∴GH=4，F(xiàn)H=1，∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．②結(jié)論：∠N+∠M=142.5°，度數(shù)不變．理由：如圖2中，∵MF，MO分別平分∠AFO，∠AOF，∴∠M=180°-（∠AFO+∠AOF）=180°-（180°-∠FAO）=90°+∠FAO，∵NH，NG分別平分∠DHG，∠BGH，∴∠N=180°-（∠DHG+∠BGH）=180°-（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）=180°-（180°+∠HAG）=