第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同類型函數(shù)增長(zhǎng)的含義.

2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=+b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axn+b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2.幾種函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較

函數(shù)性質(zhì)

y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0，+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_____平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<axy軸x軸常用結(jié)論

“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小.自主檢測(cè)

√√√

√3.已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，當(dāng)x∈(4，+∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是

A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)√當(dāng)x∈(4，+∞)時(shí)，易知增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x).故選B．

80

8

返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程

自主練透水位由高變低，排除C、D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快.故選B．1.(2024·廣東廣州綜合檢測(cè))如圖，一高為H且裝滿水的魚(yú)缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T.若魚(yú)缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t，則函數(shù)h=f(t)的圖象大致是

√

√

x23456y1.402.565.311121.303.(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：

根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，正確的是A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒√√√從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，故A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)時(shí)的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，故B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故C正確；第1次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，故D錯(cuò)誤.故選ABC．判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的方法1.構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

2.驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際情況的答案.規(guī)律方法考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

師生共研典例1

√

√√

根據(jù)給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的技巧1.認(rèn)清函數(shù)模型，明確其中的變量，弄清楚哪些為待定系數(shù).

2.根據(jù)已知條件，確定模型中的待定系數(shù).

3.分析函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練1.(2024·內(nèi)蒙古包頭三模)冰箱空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量Q呈指數(shù)型變化.當(dāng)氟化物排放量維持在某種水平時(shí)，臭氧量滿足關(guān)系式Q=Q0·e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，t是時(shí)間，以年為單位.若按照關(guān)系式Q=Q0·e－0.0025t推算，經(jīng)過(guò)t0年臭氧量還保留初始量的四分之一，則t0的值約為(ln2≈0.693)A．584年 B．574年

C．564年 D．554年√

√

考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

多維探究典例2

數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題的步驟第一步：分析：正確理解并簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息.根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)；第二步：建立數(shù)學(xué)模型：在上述基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；規(guī)律方法第三步：解模：求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解；第四步：回歸：將求解時(shí)分析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性.即：注意：構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域.規(guī)律方法典例3

√

√

應(yīng)用指、對(duì)函數(shù)模型應(yīng)注意的問(wèn)題1.指、對(duì)函數(shù)模型的應(yīng)用類型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指、對(duì)函數(shù)模型來(lái)解決.

2.應(yīng)用指、對(duì)函數(shù)模型的關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型.

3.y=a(1+x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練3.(1)(2024·山東濟(jì)南模擬)酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，國(guó)家有關(guān)規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的駕駛行為為酒后駕車，80mg/100mL及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)________個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車.(參考數(shù)據(jù)：lg5≈0.7，lg7≈0.85)

4.7

37.5

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√√聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060~90混合動(dòng)力汽車1050~60電動(dòng)汽車1040√

返回教材呈現(xiàn)(湘教版必修一P120例9)地震的強(qiáng)烈程度通常用里氏震級(jí)M=lgA－lgA0表示，這里A是距離震中100km處所測(cè)量地震的最大振幅，A0是該處的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.(1)若一次地震測(cè)得A=25mm，A0=0.001mm，該地震的震級(jí)是多少(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)？(2)計(jì)算里氏8級(jí)地震的最大振幅是里氏5級(jí)地震最大振幅的多少倍.點(diǎn)評(píng)：該高考題及教材例題分別以聲壓級(jí)和震級(jí)為背景考查對(duì)數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，是教材例題的拓展，解法相似.課時(shí)測(cè)評(píng)1.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為

y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程”而不是位移，故排除A、C．又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，故排除B．故選D．√

√

√

4.(2024·四川成都一模)海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用ID=

I0e－KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數(shù)(也稱衰減系數(shù))，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強(qiáng).已知某海區(qū)10米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的30%，則該海區(qū)消光系數(shù)K的值約為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)A．0.12 B．0.11 C．0.07 D．0.01√

√

√

7.(多選)(2024·山東臨沂模擬)某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是A．出租車行駛2km，乘客需付費(fèi)8元B．出租車行駛4km，乘客需付費(fèi)9.6元C．出租車行駛10km，乘客需付費(fèi)25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛5km的費(fèi)用之和超過(guò)他乘出租車行駛10km一次的費(fèi)用√√對(duì)于A，出租車行駛2

km，乘客需付起步價(jià)8元和燃油附加費(fèi)1元，共9元，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，出租車行駛4

km，乘客需付費(fèi)8+2.15+1=11.15元，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，出租車行駛10

km，乘客需付費(fèi)8+2.15×5+2.85×2+1=25.45(元)，故C正確；對(duì)于D，某人兩次乘出租車均行駛5

km的費(fèi)用之和為2×(8+2.15×2+1)=26.6(元)，一次行駛10

km的費(fèi)用為25.45元，26.6>25.45，故D正確.故選CD．8.(多選)(2024·河北唐山聯(lián)考)某大型商場(chǎng)開(kāi)業(yè)期間為吸引顧客，推出“單次消費(fèi)滿100元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為本商場(chǎng)現(xiàn)金購(gòu)物卡，可用于以后在該商場(chǎng)消費(fèi).已知抽獎(jiǎng)結(jié)果共分5個(gè)等級(jí)，等級(jí)x與購(gòu)物卡的面值y(元)的關(guān)系式為y=eax+b+k，三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)的面值多100元，比五等獎(jiǎng)的面值多120元，且四等獎(jiǎng)的面值是五等獎(jiǎng)的面值的3倍，則A．a(chǎn)=－ln5B．k=15C．一等獎(jiǎng)的面值為3130元D．三等獎(jiǎng)的面值為130元√√√

√√

11.(2024·四川綿陽(yáng)檢測(cè))一種藥在病人血液中的量保持1000mg以上才有療效，而低于500mg病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg，如果藥在血液中以每小時(shí)10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)________h內(nèi)向病人的血液中補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精確到0.1)

6.6

12.某核電站爆炸導(dǎo)致約8噸的強(qiáng)輻射物嚴(yán)重泄漏，事故所在地被嚴(yán)重污染.主要輻射物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%，經(jīng)專家模擬估計(jì)，輻射物中鍶90的剩余量低于原有的8.46%時(shí)，事故所在地才能再次成為人類居住的安全區(qū)，則事故所在地至少經(jīng)過(guò)________年才