第七節(jié)向量與夾角高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第七章立體幾何與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用．0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

3.兩個(gè)平面所成的角如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90?的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β所成的角即向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______．

常用結(jié)論最小角定理

如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.自主檢測(cè)

√2.已知AO為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，直線OC在平面α內(nèi)，且∠AOB＝∠BOC＝45?，則∠AOC的大小為A．30? B．45?C．60? D．90?√

3.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的角的余弦值等于

________．

4.若PA，PB，PC是從點(diǎn)P發(fā)出的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60?，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為______．

返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一直線與直線的夾角

自主練透

√

√

3.有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB與CD所成角的正弦值為________．

規(guī)律方法考點(diǎn)二直線與平面所成的角

師生共研典例1

利用空間向量求線面角的解題步驟規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練1.(2025·廣東高州模擬)如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC與△A1B1C1是分別以AB和A1B1為斜邊的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，BC1與B1C交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在棱AB上，且EB＝2EA.(1)求證：DE∥平面ACC1A1；

考點(diǎn)三兩個(gè)平面所成的角

師生共研典例2

向量法求平面與平面所成角的方法1.找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?.找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．規(guī)律方法

對(duì)點(diǎn)練3.(2024·山東威海模擬)如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，下底面ABCD是菱形，∠ABC＝120?，BC＝2B1C1＝2，DD1＝3.(1)求四棱錐A-BB1D1D的體積；解：因?yàn)锳BCD是菱形，則AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，BD，AC?平面ABCD，則BD⊥DD1，AC⊥DD1，而BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BB1D1D，于是AC⊥平面BB1D1D，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BB1D1D為直角梯形，在菱形ABCD中，∠ABC＝120?，

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課時(shí)測(cè)評(píng)1.(13分)(2024·山東濟(jì)南模擬)如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，AB＝2，F(xiàn)A＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60?.(1)求證：AC⊥平面BDEF；(5分)證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)，因?yàn)镕A＝FC，所以AC⊥FO，又FO∩BD＝O，F(xiàn)O，BD?面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.(2)求AD與平面ABF所成角的正弦值．(8分)解：連接DF，因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且∠DBF＝60?，所以△DBF為等邊三角形，因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以FO⊥BD，又AC⊥FO，BD∩AC＝O，AC，BD?平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD.所以O(shè)A，OB，OF兩兩垂直，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

3.(17分)(2025·江西紅色十校聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1A1＝C1B1，AC＝AB1，AB1⊥平面ABC，AC＝3，∠CAC1＝90?，M，E分別是AB，B1C1的中點(diǎn)．(1)證明：AC⊥平面AB1C1；(5分)證明：因?yàn)锳B1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AB1⊥AC.因?yàn)椤螩AC1＝90?，則AC⊥AC1，又AB1∩AC1＝A，AB1?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1，所以AC⊥平面AB1C1.

5.(20分)(2024·湖南湘潭3月質(zhì)量檢測(cè))在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，△ABC為等邊三角形，AB＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABC，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BCC1B1∥平面A1MN；(6分)證明：在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，AB＝2A1B1＝2,N為AC的中點(diǎn)，所以A1C1＝CN，且A1C1∥CN，則四邊形A1C1CN為平行四邊形，所以CC1∥A1N，又A1N?平面A1NM，CC1?平面A1NM，所以C1C∥平面A1NM，因?yàn)镸，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以BC∥MN，又MN?平面A1NM，BC?平面A1NM，所以BC∥平面A1NM，因?yàn)锽C?平面BCC1B1，C1C?平面BCC1B1，CB∩CC1＝C，所以平面BCC1B1∥平面A1MN.(2)若A1B⊥AC1，設(shè)D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，求A1D與平面BCC1B1所成的角的正弦值的最大值．(14分)解：連接BN，A1B，AC1，C1N，由題意知四邊形A1ANC1為矩形，因?yàn)锳A1⊥平面ABC，且AA1?平面AA1C1C，所以平面ABC⊥平面AA1C1C，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，N為AC的中點(diǎn)，所以BN⊥AC，又平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BN?平面ABC，所以BN⊥平面AA1C1C，又AC1?平面AA1C1C，所以BN⊥AC1，

6.(20分)在△ABC中，∠ACB＝45?，BC＝3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，交線段BC于點(diǎn)D(如圖①)，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90?(如圖②)，點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)．(1)求證：