重難突破一導(dǎo)數(shù)中的綜合問題突破3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù)的零點問題綜合了函數(shù)、方程、不等式等多方面的知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.函數(shù)的零點問題常與其他知識相結(jié)合綜合出題，解題難度較大，因此判斷零點存在及零點個數(shù)問題是考查的一個熱點.0４03技法三構(gòu)造函數(shù)法課時測評02技法二函數(shù)性質(zhì)法技法一數(shù)形結(jié)合法01內(nèi)容索引技法一數(shù)形結(jié)合法

典例1

含參數(shù)的函數(shù)求零點個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為求方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征得出零點個數(shù)及對應(yīng)參數(shù)的范圍.規(guī)律方法

返回技法二函數(shù)性質(zhì)法

[答題規(guī)范]

(12分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe－x.(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(－1，0)，(0，+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.思路分析

(1)求f'(x)，f'(0)，求切線方程；(2)求f'(x)→討論當(dāng)a>0，－1≤a≤0時，f(x)的零點情況→當(dāng)a<－1時，討論x∈(－1，0)與x∈(0，+∞)兩種情況.典例2

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.規(guī)律方法

返回技法三構(gòu)造函數(shù)法

典例3

1.涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而解得函數(shù)的零點問題.

2.解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.規(guī)律方法

對點練4.已知函數(shù)f(x)=ex－1+ax(a∈R).(1)當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求實數(shù)a的取值范圍；解：由題意，得f'(x)=ex+a.若a≥－1，則當(dāng)x∈[0，+∞)時，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，+∞)時，f(x)≥f(0)=0，符合題意；若a<－1，令f'(x)<0，得x<ln(－a)，所以f(x)在(0，ln(－a))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0，ln(－a))時，f(x)<f(0)=0，不符合題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍為[－1，+∞).

令φ'(x)>0，得x>1，所以φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以φ(x)min=φ(1)=1，當(dāng)x→0時，φ(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時，φ(x)→+∞.所以當(dāng)a>1時，a=x－ln

x有兩個不同的實數(shù)解.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(1，+∞).

返回課時測評1.(6分)(2024·江蘇南通第二次診斷測試)若直線y=2x－1與函數(shù)f(x)=lnx－ax的圖象有交點，則實數(shù)a的取值范圍是A．(－∞，－1] B．(－∞，1)C．[1，+∞) D．(－2，－1]√

2.(6分)(2023·全國乙卷)函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個零點，則實數(shù)a

的取值范圍是A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)√

[2，+∞)

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