《實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)（第二課時(shí)）》知識(shí)回顧幾何面積最值問(wèn)題一個(gè)關(guān)鍵一個(gè)注意建立函數(shù)關(guān)系式常見(jiàn)幾何圖形的面積公式依據(jù)最值有時(shí)不在頂點(diǎn)處，則要利用函數(shù)的增減性來(lái)確定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過(guò)程中的最大利潤(rùn)問(wèn)題.2.弄清商品銷售問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及自變量的取值范圍.

課堂導(dǎo)入在日常生活中存在著許許多多的與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.商品買賣過(guò)程中，追求利潤(rùn)最大化是商家永恒的追求.如果你是商場(chǎng)經(jīng)理，如何定價(jià)才能使商場(chǎng)獲得最大利潤(rùn)呢？知識(shí)點(diǎn)1新知探究某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，則每星期銷售額是

元，銷售利潤(rùn)是

元.180006000數(shù)量關(guān)系（1）銷售額=售價(jià)×銷售量；（2）利潤(rùn)=銷售額-總成本=單件利潤(rùn)×銷售量；（3）單件利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià).知識(shí)點(diǎn)1新知探究例某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？漲價(jià)銷售①每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y元，填空：?jiǎn)渭麧?rùn)（元）銷售量（件）每星期利潤(rùn)（元）正常銷售漲價(jià)銷售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000知識(shí)點(diǎn)1新知探究②自變量x的取值范圍如何確定？營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？y=-10x2+100x+6000，當(dāng)

時(shí)，y=-10×52+100×5+6000=6250.

即定價(jià)65元時(shí)，最大利潤(rùn)是6250元.知識(shí)點(diǎn)1新知探究降價(jià)銷售①每件降價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y元，填空：?jiǎn)渭麧?rùn)（元）銷售量（件）每星期利潤(rùn)（元）正常銷售降價(jià)銷售2030020-x300+20xy=(20-x)(300+20x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.6000例某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？知識(shí)點(diǎn)1新知探究綜合漲價(jià)和降價(jià)兩種情況可知，定價(jià)65元時(shí)，利潤(rùn)最大.②自變量x的取值范圍如何確定？營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格下降，銷量上升，因此只要考慮單件利潤(rùn)就可以，故20-x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，是多少？

即定價(jià)57.5元時(shí)，最大利潤(rùn)是6125元.即：y=-20x2+100x+6000，知識(shí)點(diǎn)1新知探究

知識(shí)點(diǎn)1新知探究求解最大利潤(rùn)問(wèn)題的一般步驟：(1)建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”.(2)結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍.(3)在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤(rùn)：可以利用配方法或公式法求出最大利潤(rùn)，也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.跟蹤訓(xùn)練新知探究某青年公寓有100張床位，每張床位的日租價(jià)為10元時(shí)，公寓的床位可全部出租.若每張床位的日租價(jià)提高1元，則租出的床位就會(huì)減少5張，按此種情況，要想獲得最大收益，則每張床位的日租價(jià)需提高

元.5解：設(shè)每張床位的日租價(jià)提高x元，總收益為y元.則y=(10+x)(100-5x)=-5(x-5)2+1125.所以當(dāng)x=5時(shí)，總收益y取得最大值1125.故每張床位的日租價(jià)需提高5元，才能獲得最大收益.隨堂練習(xí)1為早日實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康的宏偉目標(biāo)，我市結(jié)合本地豐富的山水資源，大力發(fā)展旅游業(yè).王家莊在當(dāng)?shù)卣闹С窒?，辦起了民宿合作社，專門接待游客，合作社共有80間客房.根據(jù)合作社提供的房間單價(jià)x(元)和游客居住房間數(shù)y(間)的信息，樂(lè)樂(lè)繪制出y

與x

的函數(shù)圖象如圖所示.(1)求y

與x

之間的函數(shù)關(guān)系式；

隨堂練習(xí)1(2)設(shè)合作社每天獲得的利潤(rùn)為w元，則w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+110)=-0.5x2+120x-2200=-0.5(x-120)2+5000，因?yàn)?0≤x≤150，所以當(dāng)x=120時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=5000，故當(dāng)房?jī)r(jià)定為120元時(shí)，合作社每天獲利最大，最大利潤(rùn)是5000元.(2)合作社規(guī)定每個(gè)房間價(jià)格不低于60元且不超過(guò)150元，對(duì)于游客所居住的每個(gè)房間，合作社每天需要支出20元的各種費(fèi)用，房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，合作社每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？隨堂練習(xí)2某種商品每件的進(jìn)價(jià)為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x

元出售，可賣出(100-x)件，應(yīng)該如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？解：設(shè)最大利潤(rùn)為w元?jiǎng)tw=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225，∵30≤x≤100，∴當(dāng)x=65時(shí)，二次函數(shù)有最大值1225，∴定價(jià)是65元時(shí)，利潤(rùn)最大．隨堂練習(xí)3某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)格為25元/件時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售價(jià)格每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(1)請(qǐng)你寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w元與銷售價(jià)格x元/件之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)銷售價(jià)格為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？解：(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10x2+700x-10000.(2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250，故當(dāng)x=35時(shí)，w有最大值2250.即銷售價(jià)格為35元/件時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大.隨堂練習(xí)3某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)格為25元/件時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售價(jià)格每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(3)商場(chǎng)的營(yíng)銷部結(jié)合上述情況，提出了A，B兩種營(yíng)銷方案.方案A：該文具的銷售價(jià)格高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元/件；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種方案的最大利潤(rùn)更高.隨堂練習(xí)3

課堂小結(jié)最大利潤(rùn)問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量或總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本.確定自變量取值范圍漲價(jià)：要保證銷售量≥0；降價(jià)：要保證單件利潤(rùn)≥0.確定最大利潤(rùn)利用配方法或公式法求最大值或利用函數(shù)簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.對(duì)接中考1某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x

元(20≤x≤30，且x

為整數(shù))出售，可賣出(30-x)件，若利潤(rùn)最大，每件的售價(jià)應(yīng)為

元.25解：設(shè)利潤(rùn)為w元，則w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25，∵20≤x≤30，∴當(dāng)x=25時(shí)，二次函數(shù)有最大值25.對(duì)接中考2旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下：當(dāng)x

不超過(guò)100元時(shí)，觀光車能全部租出；當(dāng)x

超過(guò)100元時(shí)，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會(huì)減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元.(1)為使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？解：(1)由題意知，若觀光車能全部租出，則0＜x≤100，由50x-1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍數(shù)，∴每輛車的日租金至少應(yīng)為25元.對(duì)接中考2旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x(元)是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下：當(dāng)x

不超過(guò)100元時(shí)，觀光車能全部租出；當(dāng)x

超過(guò)100元時(shí)，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會(huì)減少1輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元.(2)當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí)，每天的凈收入最多？

對(duì)接中考3俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不高于30%.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10本.現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.設(shè)每天銷售量為y

本，銷售單價(jià)為x

元.(1)請(qǐng)直接寫出y

與x

之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x

的取值范圍；解：(1)y=300-10(x-44)，即y=-10x+740(44≤x≤52).對(duì)接中考3俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不高于30%.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10本.現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.設(shè)每天銷售量為y

本，銷售單價(jià)為x

元.(2)當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商店每天獲利2400元？解：(2)根據(jù)題意得(x-40)(-10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64(舍去)，答：當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)是50元時(shí)，商店每天獲利2400元.對(duì)接中考3俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀(jì)念冊(cè)，每本進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且獲利不高于30%.試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少10本.現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.設(shè)每天銷售量為y

本，銷售單價(jià)為x

元.(3)將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店每天銷售紀(jì)念冊(cè)獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？解：(3)

w=(x-40)(-10x+740)=-10x2+1140x-29600=-10(x-57)2+2890，當(dāng)x＜57時(shí)，w隨x的增大而增大，而44≤x≤52，所以當(dāng)x=52時(shí)，w有最大值，最大值為-10×(52-57)2+2890=2640.答：將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為52元時(shí)，獲得最大利潤(rùn)是2640元．

利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)中的最值問(wèn)題12345671.(承德承德縣期末)“直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，

某主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品(這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待

貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).銷售中發(fā)現(xiàn)每件售

價(jià)99元時(shí)，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品的價(jià)格每下降5元時(shí)，日

銷售量會(huì)增加10件.已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他

費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為

x

(元)，主播每天的利潤(rùn)為

w

(元)，

則

w

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系式為(

D

)DA.

w

＝(99－

x

)[200＋10(

x

－50)]B.

w

＝(

x

－50)[200＋10(99－

x

)]1234567

12345672.【教材第50頁(yè)探究2改編】某批發(fā)商銷售一種成本是40元/副的防寒手

套，當(dāng)每副防寒手套的售價(jià)定為60元時(shí)，一天內(nèi)可賣出100副.經(jīng)調(diào)研得

知，該防寒手套的單價(jià)每降低1元，每天的銷量可增加10副.(1)當(dāng)防寒手套的單價(jià)在定價(jià)的基礎(chǔ)上降低2元時(shí)，每天的銷售量

為

副；120

1234567(2)該批發(fā)商每天要獲利2240元，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，那

么這種防寒手套的售價(jià)應(yīng)降價(jià)

元；【解析】(2)設(shè)這種防寒手套的售價(jià)應(yīng)降價(jià)

x

元，則每副防寒手套的銷售

利潤(rùn)為(60－

x

－40)元，平均每天的銷售量為(100＋10

x

)副，依題意得(60－

x

－40)(100＋10

x

)＝2240，解得

x1＝4，

x2＝6.∵盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，∴每副防寒手套應(yīng)降價(jià)6元.6

1234567(3)當(dāng)每副防寒手套的定價(jià)為

元時(shí)，該批發(fā)商可獲得最大利潤(rùn).【解析】(3)設(shè)批發(fā)商獲得利潤(rùn)為

w

，依據(jù)題意，可知

w

＝(60－

x

－40)(100＋10

x

)＝－10(

x

－5)2＋2250.∵－10＜0，∴當(dāng)

x

＝5時(shí)，批發(fā)商可獲得最大利潤(rùn)，則每副防寒手套的

定價(jià)為55元.55

1234567

p

＝－2

x

＋

80

1234567

1234567(2)這20天中最大日銷售利潤(rùn)是

元.

450

12345674.2023年第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦帶熱了吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”

的銷售.某網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)亞運(yùn)會(huì)吉祥物玩偶禮盒裝，每盒進(jìn)價(jià)為30元.當(dāng)?shù)匚?/p>

價(jià)部門規(guī)定，該禮盒銷售單價(jià)最高不能超過(guò)50元/盒.在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)

該禮盒每周的銷量

y

(件)與銷售單價(jià)

x

(元)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系

y

＝－2

x

＋180(30≤

x

≤50).(1)設(shè)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤(rùn)為

w

(元)，求

w

與

x

之間的函數(shù)關(guān)

系式；解：(1)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤(rùn)為

w

＝(

x

－30)(－2

x

＋180)，∴

w

＝－2

x2＋240

x

－5400(30≤

x

≤50).1234567(2)該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲最大利潤(rùn)為多少元？解：(2)

w

＝－2

x2＋240

x

－5400＝－2(

x2－120

x

＋3600)＋1800＝－2(

x

－60)2＋1800，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線

x

＝60，∴當(dāng)30≤

x

≤50時(shí)，

w

隨

x

的增大而增大.∴當(dāng)

x

＝50時(shí)，該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為－2(50－60)2＋1800＝1600(元).1234567

5.某公司分別在A，B兩城生產(chǎn)同種產(chǎn)品，共80件.A城生產(chǎn)產(chǎn)品的總成

本

y

(萬(wàn)元)由兩部分組成，一部分與

x

(產(chǎn)品數(shù)量，單位：件)的平方成正

比，比例系數(shù)為

a

；另一部分與

x

成正比，比例系數(shù)為

b

，生產(chǎn)中得到

下表中的數(shù)據(jù).B城生產(chǎn)產(chǎn)品的每件成本為60萬(wàn)元.

x

(件)1020

y

(萬(wàn)元)50012001234567(1)

a

＝

，

b

＝

?；

(2)當(dāng)A城生產(chǎn)

件時(shí)，這批產(chǎn)品的總成本的和最少，最小值為

?

萬(wàn)元.1

40

10

4700

1234567【解析】(2)由(1)知A城生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本為

y

＝

x2＋40

x

，設(shè)A城生產(chǎn)

m

件，則B城生產(chǎn)(80－

m

)件，設(shè)這批產(chǎn)品的總成本最少，最小值為

w

萬(wàn)元，根據(jù)題意，得

w

＝

m2＋40

m

＋60(80－

m

)，則

w

＝(

m

－10)2＋4700，∵

a

＝1＞0，∴當(dāng)

m

＝10時(shí)，這批產(chǎn)品的總成本的和最少，最小值為4700萬(wàn)元.12345676.(唐山豐南區(qū)期中)某商店試銷一種新型節(jié)能燈，每盞節(jié)能燈進(jìn)價(jià)

為18元，試銷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每周銷量

y

(盞)與銷售單價(jià)

x

(元/盞)之間的關(guān)

系可以近似地看作一次函數(shù)

y

＝－2

x

＋100.(利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià))(1)寫出每周的利潤(rùn)

w

(元)與銷售單價(jià)

x

(元)之間的函數(shù)解析式；解：(1)每周的利潤(rùn)

w

(元)與銷售單價(jià)

x

(元)之間的函數(shù)解析式為

w

＝(

x

－18)

y

＝(

x

－18)(－2

x

＋100)＝－2

x2＋136

x

－1800.1234567(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，這種節(jié)能燈每周能夠獲得最大利潤(rùn)？最

大利潤(rùn)是多少元？解：(2)∵

w

＝－2

x2＋136

x

－1800＝－2(

x

－34)2＋512，

∴當(dāng)

x

＝34時(shí)，

w

取得最大值，為512.答：當(dāng)銷售單價(jià)定為34元時(shí)，這種節(jié)能燈每周能夠獲得最大利潤(rùn)，最大

利潤(rùn)是512元.1234567解：(3)根據(jù)題意，可得出

w

＝－2

x2＋136

x

－1800≥350.

解方程－2

x2＋136

x

－1800＝350，得

x1＝25，

x2＝43.∵

a

＝－2＜0，∴該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下.又∵