第三節(jié)圓的方程高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第八章平面解析幾何課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.0403考教銜接精研教材課時(shí)測評02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.圓的定義與方程

定長(a，b)

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在_____，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圓外.(2)|MC|=r?M在_____，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圓上.(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在圓內(nèi).圓外圓上常用結(jié)論(1)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.(3)圓心在任一弦的垂直平分線上.自主檢測

√√√2.下列各點(diǎn)中，在圓(x-1)2+(y+2)2=25的外部的是

A．(0，2)

B．(3，3)C．(-2，2)

D．(4，1)√由(0-1)2+(2+2)2=17<25知(0，2)在圓內(nèi)；由(3-1)2+(3+2)2=29>25知(3，3)在圓外；由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2，2)在圓上；由(4-1)2+(1+2)2=18<25知(4，1)在圓內(nèi).故選B．3.圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的方程是A．(x-1)2+(y-1)2=1B．(x+1)2+(y+1)2=1C．(x+1)2+(y+1)2=2D．(x-1)2+(y-1)2=2√

4.若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________________.

由題意，知(2a)2+(-4a)2-4×(-10a)>0，解得a<-2或a>0.(-∞，-2)∪(0，+∞)返回

√考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一圓的方程

自主練透

1.圓心在x軸上，且過點(diǎn)(-1，-3)的圓與y軸相切，則該圓的方程是A．x2+y2+10y=0

B．x2+y2-10y=0C．x2+y2+10x=0

D．x2+y2-10x=0√

√

3.(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在☉M上，則☉M的方程為

.

(x-1)2+(y+1)2=5

4.若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線y=-2x+3上運(yùn)動，則當(dāng)圓的半徑最小時(shí)圓的方程為

.

求圓的方程的兩種方法規(guī)律方法考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問題

多維探究典例1角度1

直接法已知A(-2，0)，B(2，0)，動點(diǎn)M滿足|MA|=2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是

.

角度2

定義法已知圓C：(x-1)2+(y-1)2=1，點(diǎn)M是圓上的動點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|=2，則點(diǎn)A的軌跡方程是A．y2=4x B．x2+y2-2x-2y-3=0C．x2+y2-2y-3=0 D．y2=-4x√

典例2

典例3

圓有關(guān)的軌跡問題的四種求法規(guī)律方法

考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問題

多維探究

典例4

與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法規(guī)律方法角度2

利用對稱性求最值已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)Q在圓C：x2+y2-4x-2y=0上，則|PA|+|PQ|的最小值是

.

典例5

求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均為動點(diǎn))且與圓C上動點(diǎn)有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：1.“動化定”：把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離.2.“曲化直”：即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.規(guī)律方法

12典例6建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用二次函數(shù)或基本不等式求最值.規(guī)律方法

√

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足x2+y2-|x|-|y|=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PO|的最大值是

.

10返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)(2022·全國乙卷)過四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

___________________________________________________________.

返回教材呈現(xiàn)(湘教版選擇性必修一P93練習(xí)3)求過A(1，0)，B(2，1)，C(-2，3)三點(diǎn)的圓的方程，并指出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).點(diǎn)評：這兩題考查相同的知識點(diǎn)，設(shè)問的本質(zhì)也是一樣的，都是考查求過三個(gè)點(diǎn)的圓的方程，兩題的相似度極高.課時(shí)測評1.已知p：t>1，q：關(guān)于x，y的方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圓，則p是q的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√關(guān)于x，y的方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圓等價(jià)于(-6t)2+(8t)2-4×25>0，即t2>1，顯然由t>1可推出t2>1，反之由t2>1不一定能得到t>1(可能是t<-1).故p是q的充分不必要條件.故選A．

√

3.圓C：x2+y2-2x-3=0關(guān)于直線l：y=x對稱的圓的方程為A．x2+y2-2y-3=0

B．x2+y2-2y-15=0C．x2+y2+2y-3=0

D．x2+y2+2y-15=0√由題意，得圓C：(x-1)2+y2=4的圓心為(1，0)，半徑為2，故其關(guān)于直線l：y=x對稱的圓的圓心為(0，1)，半徑為2，故對稱圓的方程為x2+(y-1)2=4，即x2+y2-2y-3=0.故選A．4.(2025·四川廣元模擬)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點(diǎn)A(1，2)的圓的方程是A．x2+(y-2)2=1 B．x2+(y+2)2=1C．(x-1)2+(y-3)2=1 D．x2+(y-3)2=4√根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=1.因?yàn)閳A過點(diǎn)A(1，2)，所以12+(2-b)2=1，解得b=2，所以所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.故選A．5.(多選)(2024·陜西西安模擬)設(shè)有一組圓Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命題正確的是A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3，0)C．經(jīng)過點(diǎn)(2，2)的圓Ck有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為4π√√對于A，圓心為(k，k)，一定在直線y=x上，故A正確；對于B，將(3，0)代入得2k2-6k+5=0，其中Δ=-4<0，方程無解，即所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3，0)，故B正確；對于C，將(2，2)代入得k2-4k+2=0，其中Δ=16-8=8>0，故經(jīng)過點(diǎn)(2，2)的圓Ck有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；所有圓的半徑均為2，面積均為4π，故D正確.故選ABD．√

√√√

7.已知等腰△ABC，其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，0)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，1)，則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為

__

.

設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|=|AC|，可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2，即x2+y2=2.考慮到A，B，C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)C不能為(1，1)和(-1，-1).所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(-1，-1)).x2+y2=2(除去點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(-1，-1))8.(2025·浙江紹興模擬)已知直線l1：y=kx+1，l2：y=kx+5均垂直于圓x2+(y-b)2=9的某條直徑，且l1，l2三等分該條直徑，則b=

，k2=

.

33

11.(多選)關(guān)于曲線C：x2+y2=2|x|+2|y|，下列說法正確的是A．曲線C圍成圖形的面積為4π+8B．曲線C所表示的圖形有且僅有2條對稱軸C．曲線C所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線C是以(1，1)為圓心，2為半徑的圓√√曲線C：x2+y2=2|x|+2|y|的圖象如圖所示：

12.(多選)已知圓M與直線x+y+2=0相切于點(diǎn)A(0，-2)，圓M被x軸所截得的弦