第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.

2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.

3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且F(－x)=_______關(guān)于_____對(duì)稱奇函數(shù)F(－x)=_______關(guān)于_____對(duì)稱F(x)y軸－F(x)原點(diǎn)微提醒函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，x±T都有意義，并且_____________，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)__________就叫作f(x)的最小正周期.f(x±T)=f(x)最小正數(shù)常用結(jié)論(1)函數(shù)奇偶性常用結(jié)論①如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).②奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.③在公共定義域內(nèi)有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.

自主檢測(cè)1.(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0B．不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)C．對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在x，使f(－x)=－f(x)，則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù)D．若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N+)也是函數(shù)的一個(gè)周期√√√2.(用結(jié)論)若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上A．單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B．單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C．單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D．單調(diào)遞減，且有最大值f(2)√偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則有f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，即有最小值為f(1)，最大值為f(2).對(duì)照選項(xiàng)，A正確.

√√A選項(xiàng)，f(x)為奇函數(shù)，C選項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù).故選BD．

√

返回5.已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(－1)=2f(10)+3，則f(2024)+f(2025)+f(2026)=______.

0由題意知f(0)=0，f(10)=f(3×3+1)=f(1)，又f(－1)=2f(10)+3，且f(－1)=

－f(1)，所以f(－1)=2f(1)+3，所以－3f(1)=3，即f(1)=－1.所以f(2

024)=f(675×3－1)=f(－1)=1，f(2

025)=f(675×3)=f(0)=0，f(2

026)=f(675×3+1)=f(1)=－1，所以f(2

024)+f(2

025)+f(2

026)=1+0－1=0.考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷

自主練透

√

√√

判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法1.定義法

規(guī)律方法2.圖象法

3.性質(zhì)法

設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.規(guī)律方法考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

多維探究典例1

√

√

角度2

利用奇偶性求值(解析式)(1)(2024·河北保定模擬)已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2+ax+a+1，則f(－2)等于A．－2 B．2 C．－6 D．6因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則有f(0)=a+1=0，解得a=－1，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2－x，則f(－2)=－f(2)=－2.故選A．典例2√(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=e－x+2x－1，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=____________.

－ex+2x+1因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0.當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(x)=－f(－x)=－(ex－2x－1)=－ex+2x+1，又f(0)=－e0+2×0+1=0，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=－ex+2x+1.角度3

利用奇偶性解不等式(1)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若f(2)=1，則滿足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范圍是A．[－2，2] B．[－1，3] C．[0，2] D．[1，3]√因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，故f(－2)=－f(2)=－1.又f(x)是增函數(shù)，－1≤f(x－1)

≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，則－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3，所以x的取值范圍是[－1，3].故選B．典例3(2)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(3)=0，則滿足xf(x－2)<0的x的取值范圍為

A．(－∞，－1)∪(2，5) B．(－∞，－1)∪(0，5)C．(－1，0)∪(2，5) D．(－1，0)∪(5，+∞)√

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略規(guī)律方法

規(guī)律方法

√

(2)(2025·山東青島模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x－2，則不等式f(x)≤2的解集是__________.

[－2，2]因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x－2，所以偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(2)=2，所以f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，所以|x|≤2，解得－2≤x≤2.考點(diǎn)三函數(shù)的周期性

師生共研典例4(1)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13，且f(3)=2，則f(2025)=_______.

(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+3)+f(x+1)=f(2)，則f(2024)=______.

0

因?yàn)閒(x+3)+f(x+1)=f(2)，代入x－2，得f(x+1)+f(x－1)=f(2).兩式相減得，f(x+3)=f(x－1)，即f(x+4)=f(x)，所以4為函數(shù)f(x)的周期.因此f(2

024)=f(4×506)=f(0)，在f(x+3)+f(x+1)=f(2)中，令x=－1，則f(2)+f(0)=f(2)，所以f(0)=0，即f(2

024)=0.(3)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則函數(shù)f(x)在[2，4]上的解析式為___________________________.

f(x)=log2(5－x)，x∈[2，4]根據(jù)題意，設(shè)x∈[2，4]，則x－4∈[－2，0]，則有4－x∈[0，2]，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則f(4－x)=log2[(4－x)+1]=log2(5－x)，又f(x)是周期為4的偶函數(shù)，所以f(x)=f(x－4)=f(4－x)=log2(5－x)，x∈[2，4]，則有f(x)=log2(5－x)，x∈[2，4].函數(shù)周期性的判定及應(yīng)用1.求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練2.(1)(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－2，則A．f(2027)=0B．f(x)的值域?yàn)閇－1，2]C．f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減D．f(x)在[－6，6]上有8個(gè)零點(diǎn)√√f(2

027)=f(507×4－1)=f(－1)=f(1)=0，故A正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)

=2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2]，故B正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f(x)在[4，6]上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；令f(x)=2x－2=0，所以x=1，所以f(1)=f(－1)=0，由于函數(shù)的周期為4，所以f(5)=f(－5)=0，f(3)=f(－3)=0，所以f(x)在[－6，6]上有6個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AB．

1

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

2

返回教材呈現(xiàn)

課時(shí)測(cè)評(píng)1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是A．y=x3 B．y=|x|+1C．y=－x2+1 D．y=2－|x|√y=|x|+1是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，符合題意.故選B．2.已知定義域?yàn)閇a－4，2a－2]的奇函數(shù)f(x)=x3－sinx+b+2，則f(a)+f(b)=A．0 B．1 C．2 D．不能確定√依題意得a－4+2a－2=0，解得a=2，由f(0)=b+2=0，得b=－2，所以f(a)+f(b)=f(2)+f(－2)=0.故選A．3.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)√因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－3)=f(3)，f(－2)=f(2).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2).故選A．4.(2024·廣西南寧模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)－f(x)=f(1)，且f(0)=8，則f(99)+f(100)=A．0 B．6C．8 D．16√因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，f(x+2)－f(x)=f(1)，所以f(－1+2)－f(－1)=f(1)，解得f(1)=0，所以f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期為2，所以f(100)=f(0)=8，f(99)=f(1)=0，故f(99)+f(100)=8.故選C．

√√

6.(多選)(2024·廣東湛江檢測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2－2x+3，則下列結(jié)論正確的是A．|f(x)|≥2B．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=－x2－2x－3C．x=1是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸D．f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增√√√

－1

9.若函數(shù)f(x)=ex－e－x，則不等式f(lnx)+f(lnx－1)>0的解集是___________.

11.(14分)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+2)=－f(x).當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(3分)證明：因?yàn)閒(x+2)=－f(x)，所以f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f(x)的解析式；(5分)解：當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)=2(－x)－(－x)2=－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)=－f(x)=－2x－x2，所以f(x)=x2+2x.又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)=(x－4)2+2(x－4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)=f(x－4)=(x－4)2+2(x－4)=x2－6x+8.從而求得x∈[2，4]時(shí)，f(x)=x2－6x+8.(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2026).(6分)解：f(0)=0，

f(1)=1，f(2)=0，f(3)=－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2

020)+f(2

021)+f(2

022)+f(2

023)=0，f(2

024)+f(2

025)+f(2

026)=f(0)+f(1)+f(2)=1，所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2

026)=1.

√

13.(多選)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x+2)=－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=log2(2－x)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4B．f(2024)=1C．當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)=－log2(4－x)D．函數(shù)f(x)在[0，2023]內(nèi)有1011個(gè)零點(diǎn)√√√因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x+2)=－f(x)，所以f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，所以