第1頁、共2頁2008年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）sin330°等于（）A． B． C． D．2．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}3．（5分）某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．154．（5分）已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8=28，則該數(shù)列前10項(xiàng)和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．1205．（5分）直線與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于（）A．或 B．或 C．或 D．或6．（5分）“a=1”是“對(duì)任意的正數(shù)x，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）已知函數(shù)f（x）=2x+3，f﹣1（x）是f（x）的反函數(shù)，若mn=16（m，n∈R+），則f﹣1（m）+f﹣1（n）的值為（）A．10 B．4 C．1 D．﹣28．（5分）長方體ABCD﹣A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中AB：AD：AA1=2：1：，則兩A，B點(diǎn)的球面距離為（）A． B． C． D．9．（5分）雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．（5分）如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距離分別是a和b．AB與α、β所成的角分別是θ和φ，AB在α、β內(nèi)的射影分別是m和n．若a＞b，則（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n11．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，則f（﹣3）等于（）A．2 B．3 C．6 D．912．（5分）為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=，b=，B=120°，則a=________．14．（4分）的展開式中的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）15．（4分）關(guān)于平面向量，，，有下列三個(gè)命題：①若?=?，則=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，則k=﹣3．③非零向量和滿足||=||=|﹣|，則與+的夾角為60°．其中真命題的序號(hào)為________．（寫出所有真命題的序號(hào)）16．（4分）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有__________種．（用數(shù)字作答）．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（12分）已知函數(shù)f（x）=2sin?cos+cos．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．18．（12分）一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球，3個(gè)黑球和4個(gè)白球，從口袋中一次摸出一個(gè)球，摸出的球不再放回．（Ⅰ）連續(xù)摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出紅球，則停止摸球，求摸球次數(shù)不超過3次的概率．19．（12分）三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A﹣CC1﹣B的大?。?0．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，an+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）證明：數(shù)列{﹣1}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．21．（12分）已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N．（Ⅰ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k使，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．22．（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中實(shí)數(shù)a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且g（x）存在最小值時(shí)，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．以下內(nèi)容，題后含答案、解析2008年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）sin330°等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)330°=360°﹣30°，由誘導(dǎo)公式一可得答案．【解答】解：∵故選B．2．（5分）（2008?四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，則集合?U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}【分析】根據(jù)交集的含義求A∩B、再根據(jù)補(bǔ)集的含義求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}?A∩B={3}；所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故選D3．（5分）某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．15【解答】解：設(shè)樣本中松樹苗的數(shù)量為x，則故選C4．（5分）已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8=28，則該數(shù)列前10項(xiàng)和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．120【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求出a1和d，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可．【解答】解：設(shè)公差為d，則由已知得，故選B．5．（5分）直線與圓x2+y2﹣2x﹣2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于（）A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：圓的方程（x﹣1）2+y2=3，圓心（1，0）到直線的距離等于半徑或者故選C．6．（5分）“a=1”是“對(duì)任意的正數(shù)x，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】把a(bǔ)=1代入，不等式成立，當(dāng)a=2時(shí)也成立，可推出其關(guān)系．【解答】解：a=1，顯然a=2也能推出，所以“a=1”是“對(duì)任意的正數(shù)x，”的充分不必要條件．故選A．7．（5分）已知函數(shù)f（x）=2x+3，f﹣1（x）是f（x）的反函數(shù)，若mn=16（m，n∈R+），則f﹣1（m）+f﹣1（n）的值為（）A．10 B．4 C．1 D．﹣2【分析】求出函數(shù)f（x）=2x+3的反函數(shù)f﹣1（x），化簡f﹣1（m）+f﹣1（n）的表達(dá)式，代入mn=16即可求值．【解答】解：f（x）=2x+3?f﹣1（x）=log2x﹣3；于是f﹣1（m）+f﹣1（n）=log2m﹣3+log2n﹣3=log2mn﹣6=log216﹣6=4﹣6=﹣2故選D．8．（5分）長方體ABCD﹣A1B1C1D1的各頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中AB：AD：AA1=2：1：，則兩A，B點(diǎn)的球面距離為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)出AD，然后通過球的直徑求出AD，解出∠AOB，可求A，B兩點(diǎn)的球面距離．【解答】解：設(shè)AD=a，則?球的直徑即，在△AOB中，，AB=2a，?OA2+OB2=AB2?∠AOB=90°從而A，B點(diǎn)的球面距離為故選C．9．（5分）雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求得a，最后根據(jù)a和c求得離心率．【解答】解：如圖在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F(xiàn)1F2=2c∴，∴∴，故選B．10．（5分）如圖，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距離分別是a和b．AB與α、β所成的角分別是θ和φ，AB在α、β內(nèi)的射影分別是m和n．若a＞b，則（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n【分析】在圖象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理與三角函數(shù)的定義建立相關(guān)等式，運(yùn)算即可．【解答】解：由題意可得，即有，故選D．11．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，則f（﹣3）等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【分析】根據(jù)關(guān)系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f（2），同樣的道理求出f（3），最終求出f（﹣3）的值．【解答】解：令x=y=0?f（0）=0，令x=y=1?f（2）=2f（1）+2=6；令x=2，y=1?f（3）=f（2）+f（1）+4=12，再令x=3，y=﹣3得0=f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）﹣18?f（﹣3）=18﹣f（3）=6故選C．12．（5分）為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【分析】首先理解⊕的運(yùn)算規(guī)則，然后各選項(xiàng)依次分析即可．【解答】解：A選項(xiàng)原信息為101，則h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為11010，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)原信息為110，則h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以傳輸信息為01100，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)原信息為011，則h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以傳輸信息為10110，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)原信息為001，則h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以傳輸信息為00011，D選項(xiàng)正確；故選C．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=，b=，B=120°，則a=．【分析】由正弦定理求得sinC的值，進(jìn)而求得C，進(jìn)而求得A推斷a=c，答案可得．【解答】解：由正弦定理，∴故答案為14．（4分）的展開式中的系數(shù)為84．（用數(shù)字作答）【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)個(gè)數(shù)求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為﹣2，求出系數(shù)．【解答】解：，令7﹣r=2?r=5，因此展開式中的系數(shù)為（﹣2）7﹣5C75=84，故答案為84．15．（4分）關(guān)于平面向量，，，有下列三個(gè)命題：①若?=?，則=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，則k=﹣3．③非零向量和滿足||=||=|﹣|，則與+的夾角為60°．其中真命題的序號(hào)為②．（寫出所有真命題的序號(hào)）【分析】①向量不滿足約分運(yùn)算，但滿足分配律，由此我們利用向量的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷平面向量，，的關(guān)系；②中，由∥，我們根據(jù)兩個(gè)向量平行，坐標(biāo)交叉相乘差為0的原則，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若||=||=|﹣|，我們利用向量加減法的平行四邊形法則，可以畫出滿足條件圖象，利用圖象易得到兩個(gè)向量的夾角；【解答】解：①若?=?，則?（﹣）=0，此時(shí)⊥（﹣），而不一定=，①為假．②由兩向量∥的充要條件，知1×6﹣k?（﹣2）=0，解得k=﹣3，②為真．③如圖，在△ABC中，設(shè)，，，由||=||=|﹣|，可知△ABC為等邊三角形．由平行四邊形法則作出向量+=，此時(shí)與+成的角為30°．③為假．綜上，只有②是真命題．答案：②16．（4分）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有96種．（用數(shù)字作答）．【分析】根據(jù)題意，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分為兩類，分別計(jì)算其情況數(shù)目，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【解答】解：分兩類：第一棒是丙有C11?C21?A44=48，第一棒是甲、乙中一人有C21?C11?A44=48因此共有方案48+48=96種；故答案為96．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（12分）已知函數(shù)f（x）=2sin?cos+cos．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．【分析】利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)f（x）=2sin?cos+cos，為y=2sin，（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．（2）求出g（x）=f的表達(dá)式，g（x）=2cos．然后判斷出奇偶性即可．【解答】解：（1）∵f（x）=sin+cos=2sin，∴f（x）的最小正周期T==4π．當(dāng)sin=﹣1時(shí)，f（x）取得最小值﹣2；當(dāng)sin=1時(shí)，f（x）取得最大值2．（2）g（x）是偶函數(shù)．理由如下：由（1）知f（x）=2sin，又g（x）=f，∴g（x）=2sin=2sin=2cos．∵g（﹣x）=2cos=2cos=g（x），∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．18．（12分）一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球，3個(gè)黑球和4個(gè)白球，從口袋中一次摸出一個(gè)球，摸出的球不再放回．（Ⅰ）連續(xù)摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出紅球，則停止摸球，求摸球次數(shù)不超過3次的概率．【分析】（Ⅰ）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從袋中依次摸出2個(gè)球共有A92種結(jié)果，滿足條件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A31A41種結(jié)果，或者是題目按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來理解．（Ⅱ）摸球不超過三次，包括第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，第三次摸到紅球，這三個(gè)事件是互斥的，分別寫出三個(gè)事件的概率，根據(jù)互斥事件的概率得到結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從袋中依次摸出2個(gè)球共有A92種結(jié)果，滿足條件的事件是第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A31A41種結(jié)果，∴所求概率（Ⅱ）摸球不超過三次，包括第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，第三次摸到紅球，這三個(gè)事件是互斥的第一次摸出紅球的概率為，第二次摸出紅球的概率為，第三次摸出紅球的概率為，則摸球次數(shù)不超過3次的概率為．19．（12分）三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，∠BAC=90°，A1A⊥平面ABC，，，AC=2，A1C1=1，．（Ⅰ）證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角A﹣CC1﹣B的大?。痉治觥浚á瘢┯C平面A1AD⊥平面BCC1B1，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BCC1B1內(nèi)一直線與平面A1AD垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知A1A⊥BC，AD⊥BC，又A1A∩AD=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AD，而BC?平面BCC1B1，滿足定理所需條件；（Ⅱ）作AE⊥C1C交C1C于E點(diǎn)，連接BE，由三垂線定理知BE⊥CC1，從而∠AEB為二面角A﹣CC1﹣B的平面角，過C1作C1F⊥AC交AC于F點(diǎn)，在Rt△BAE中，求出二面角A﹣CC1﹣B的平面角即可．【解答】證明：（Ⅰ）∵A1A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1A⊥BC．在Rt△ABC中，，∴，∵BD：DC=1：2，∴，又，∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．又A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AD，∵BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）如圖，作AE⊥C1C交C1C于E點(diǎn)，連接BE，由已知得AB⊥平面ACC1A1．∴AE是BE在面ACC1A1內(nèi)的射影．由三垂線定理知BE⊥CC1，∴∠AEB為二面角A﹣CC1﹣B的平面角．過C1作C1F⊥AC交AC于F點(diǎn)，則CF=AC﹣AF=1，，∴∠C1CF=60°．在Rt△AEC中，．在Rt△BAE中，．∴，即二面角A﹣CC1﹣B為．20．（12分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，an+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）證明：數(shù)列{﹣1}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．【分析】（1）化簡構(gòu)造新的數(shù)列，進(jìn)而證明數(shù)列是等比數(shù)列．（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列的遞推公式，得出an，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）設(shè)，①則，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和：．（14分）21．（12分）已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N．（Ⅰ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k使，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）設(shè)A（x1，2x12），B（x2，2x22），把直線方程代入拋物線方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2的值，進(jìn)而求得N和M的橫坐標(biāo)，表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程將y=2x2代入進(jìn)而求得m和k的關(guān)系，進(jìn)而可知l∥AB．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使成立，則可知NA⊥NB，又依據(jù)M是AB的中點(diǎn)進(jìn)而可知．根據(jù)（1）中的條件，分別表示出|MN|和|AB|代入求得k．【解答】解：（Ⅰ）如圖，設(shè)A（x