試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年浙江省高中提前自主招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共7小題，每小題6分，共42分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．關(guān)于x，y的方程組有無數(shù)組解，則（

）A．， B．，C．， D．，2．若，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定3．如果a，b，c，d是正數(shù)，且滿足a+b+c+d=2，+=4，那么+的值為（）A．1 B． C．0 D．44．如圖，點是正方形內(nèi)一點，，，，則的長為（

）A． B． C． D．5．當(dāng)三個非負(fù)實數(shù)x，y，z滿足關(guān)系式與時，的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．已知2024個數(shù)，每個數(shù)只能取或兩個值之一，那么它們的兩兩之積的和的最小正值為（

）A． B． C．44 D．467．設(shè)四位數(shù)滿足，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本題有7個小題，每小題6分，共42分）8．如圖，在中，D、分別是、的中點，已知，，．則的面積為．9．我們把自變量為的函數(shù)記作，表示自變量時函數(shù)的值，對于實數(shù)、令表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，令，那么．10．如圖，四邊形是菱形，，，為對角線上任意一點，則的最小值為．11．已知，則的最小值為．12．團(tuán)體購買公園門票，票價如下表：購票人數(shù)1~5051~100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人現(xiàn)某單位要組織其市場部和生產(chǎn)部的員工游覽該公園，這兩個部門人數(shù)分別為a和，若按部門作為團(tuán)體，選擇兩個不同的時間分別購票游覽公園，則共需支付門票費為1290元；若兩個部門合在一起作為一個團(tuán)體，同一時間購票游覽公園，則需支付門票費為990元，那么這兩個部門的人數(shù)的乘積．13．已知，則的值為．14．在的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．11213140122233421322334315243444三、解答題（本大題共3題，共36分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．如圖，三個等腰直角三角形，，的直角頂點分別為D，P，E，且它們直角邊長度均不相等，不平行，求證：P是的中點．16．如圖，正方形的邊，在坐標(biāo)軸上，點的坐標(biāo)為，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸向點運動；點從點同時出發(fā)，以相同的速度沿軸的正方向運動，規(guī)定點到達(dá)點時，點停止運動，點也停止運動.連接，過點作的垂線，與過點平行于軸的直線相交于點D，與軸交于點，連接，設(shè)點運動的時間為.（1）求的度數(shù)及點的坐標(biāo)（用表示）.（2）當(dāng)為何值時，為等腰三角形？（3）探索周長是否隨時間的變化而變化.若變化，說明理由；若不變，試求出這個定值.17．已知，且，作二次方程．(1)若方程有實數(shù)根，求證：；(2)當(dāng)方程有實數(shù)根，時，求正整數(shù)，，的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵；由題意可得，然后問題可求解．【詳解】解：由可得，∵關(guān)于x，y的方程組有無數(shù)組解，∴，∴；故選B．2．A【分析】借助因式分解，換元，逆用冪的乘方，用作差法比較大小即可．【詳解】解：設(shè)，則，，則，，故，，，故，故，故選：A．【點睛】本題考查了作差法的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用，換元，逆用冪的乘方，作差法是是比較代數(shù)式大小常用的方法，要求學(xué)生掌握．3．D【分析】根據(jù)a+b+c+d=2，，將所求式子變形便可求出．【詳解】∵a+b+c+d=2，，∴==﹣1+﹣1+﹣1+﹣1=2×（）﹣4=2×4﹣4=8﹣4=4，故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．4．C【分析】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形，，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則是等腰直角三角形∴∴，∴∵∴∴故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，和勾股定理，正確的作出輔助線是本題的關(guān)鍵．5．C【分析】本題考查函數(shù)最值問題，涉及三元一次方程組，一元一次不等式組，非負(fù)數(shù)等知識點．解題的關(guān)鍵是用表示出和．根據(jù)關(guān)系式與求出和與的關(guān)系式，又因，，均為非負(fù)實數(shù)，求出的取值范圍，于是可以求出的最大值．【詳解】解：∵，解得：，∴，又∵，，均為非負(fù)實數(shù)，∴，解得：，當(dāng)時，有最大值為：．∴的最大值為．故選：C．6．D【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，記，將轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，，中有個，個，則，求出，結(jié)合為正整數(shù)，當(dāng)時，有最小正值，即可解答．【詳解】解：記，∴，∵，每個數(shù)只能取或兩個值之一，∴，∴，設(shè)，，，中有個，個，∴，∴，由題意可得兩兩之積都是整數(shù)，∴是整數(shù)，是偶數(shù)，要使為最小正值，∴，即，∵為正整數(shù)，∴當(dāng)時，有最小正值，∴，故選：D．7．B【分析】本題主要考查了代數(shù)式表示四位數(shù)，根據(jù)題意可知是兩位數(shù)，且a，b，c，d是小于5的自然數(shù)，再分情況討論得出符合題意的結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意可知a，b，c，d是小于10的自然數(shù)，∵，∴是兩位數(shù)，且a，b，c，d是小于5的自然數(shù)，當(dāng)，時，則，此時這個四位數(shù)是2110；當(dāng)，時，則，此時這個四位數(shù)是1210；當(dāng)，時，則，此時這個四位數(shù)是2111；當(dāng)，時，則，此時這個四位數(shù)是1211；當(dāng)時，找不到符合題意的數(shù)；當(dāng)時，找不到符合題意的數(shù)；當(dāng)時，則，不符合題意.所以符合題意的數(shù)可能是2110或1210或2111或1211故選：B.8．【分析】本題考查了勾股定理，解二元二次方程組．設(shè)，，根據(jù)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方得出，，解方程組可求得、，再利用三角形面積公式結(jié)合三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)，，，在中，，在中，，即，解得：，∴，，∴，∴，∵點是的中點，∴，故答案為：．9．【分析】本題考查了求函數(shù)值，先求出，，當(dāng)時，，即，代入計算即可得解．【詳解】解：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，∴，故答案為：．10．【分析】過點M作于點E，判定是等邊三角形，過點C作于點G，根據(jù)軸對稱原理，垂線段最短原理，特殊角的三角函數(shù)解答即可．．【詳解】解：過點M作于點E，連接，∵四邊形是菱形，，，∴，，是等邊三角形，∴；過點C作于點G，∴；∵，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴點A，點C關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵，∴當(dāng)M，C，E三點共線時，取得最小值，且最小值為，根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)時，取得最小值，故當(dāng)點E與點G重合時，取得最小值，此時，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，軸對稱原理，垂線段最短原理，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握菱形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)絕對值的意義得出最小值為，的最小值為，根據(jù)題意可得當(dāng)時，取得最小值，取最大值，進(jìn)而代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵要使的最小，∴取最小值，取最大值，∴當(dāng)時，最小值為，最小為當(dāng)時，的最小值為，最大為∴的最小值為故答案為：．12．【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵；先判斷，且，為正整數(shù)，再分，，再建立方程組解題即可．【詳解】解：∵，∴兩個部門的人數(shù)和超過人，∴，且，為正整數(shù)，當(dāng)時，∴，∴①，∵，當(dāng)兩部門的人都小于人時，不是整數(shù)，不符合題意；∴，，∴②，聯(lián)立①②可得：，不符合題意，當(dāng)時，∴，∴③，∵，當(dāng)，，∴④，聯(lián)立③④可得：，∴，當(dāng)，時，∴，此時不符合題意，舍去，當(dāng)時，則，∴⑤，聯(lián)立③⑤可得：，不符合題意，舍去，綜上：，故答案為：．13．【分析】本題考查了解無理方程，算術(shù)平方根的非負(fù)性，由題意得出，再將兩邊平方求解即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，∴將方程兩邊同時平方可得：，即，∴，∴，兩邊同時平方可得：，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去）或（不符合題意，舍去）或，故答案為：．14．112【分析】本題主要考查了選數(shù)求和．熟練掌握選數(shù)規(guī)則，分類討論求和，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，選中方格中的4個數(shù)求和有8種情況，分別計算比較即得．【詳解】解：選中4個數(shù)分以下8種情況：圖1：，圖2：，圖3：，圖4：，圖5：，圖6：，圖7：，圖8：，∴4個數(shù)和的最大值為112．故答案為：112．15．見解析【分析】本題考查了全等三角形．熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．延長交于點F，連接，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得，，，得，得，得，得，，得，得，得，得，得，得，得P是的中點．【詳解】證明：如圖，延長交于點F，連接，∵等腰直角三角形中，，∴，∵等腰直角三角形中，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵等腰直角三角形中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴點P在上，∴P是的中點．16．（1）（2）當(dāng)為4秒或秒時，為等腰三角形（3）周長是定值，該定值為8【分析】（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點D的坐標(biāo)．（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的t值．（3）由（2）已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．【詳解】（1）如圖①.由題可得，.四邊形是正方形，，.，..，，.在和中，.，.，，.，.點坐標(biāo)為.（2）①若，則..，.點與點重合.點與點重合.與條件“軸”矛盾，這種情況應(yīng)舍去.②若，則...在和中，≌.，..點與點重合（）.點與點重合（）.點，.此時.③若，在和中，..，..，.延長到點，使得，連接，如圖②所示.在和中，.，.，，...在和中，，解得，當(dāng)為4秒或秒時，為等腰三角形.（3），.周長是定值，該定值為8.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識，考查了分類討論的思想，考查了利用基本活動經(jīng)驗解決問題的能力，綜合性非常強(qiáng)．熟悉正方形與一個度數(shù)為45°的角組成的基本圖形（其中角